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安徽省蚌埠市第二中学2022-2023学年高一数学下学期第一次月考试卷(Word版附解析)

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安徽省蚌埠市第二中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试卷姓名:__________班级:__________考号:__________一、单选题(共8小题)1.(5分)如图所示,在正△ABC中,P,Q,R分别是AB,BC,AC的中点,则与向量相等的向量是(  )A.与B.与C.与D.与【答案】B【解析】由已知可得PQAC,向量相等要求模相等,方向相同,因此与都是和相等的向量.2.(5分)下列说法正确的是(  )A.两个向量相等,则表示它们的有向线段的起点和终点必相同B.若|a|=|b|,则a=bC.若=,则A,B,C,D四点能组成▱ABCDD.若四边形ABCD为平行四边形,则=【答案】D【解析】表示两个向量的有向线段的起点和终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,则表示两个向量的有向线段的起点和终点未必相同,故A错误.若a=b,则|a|=|b|;但若|a|=|b|,由于方向不确定,所以未必有a=b,故B错误.若=,则可能有A,B,C,D四点共线,故C错误.若四边形ABCD为平行四边形,则必有=,故D正确.3.(5分)已知A={与a共线的向量},B={与a长度相等的向量},C={与a长度相等、方向相反的向量},其中a是非零向量,则下列说法中错误的是(  )A.CAB.A∩B={a}C.CBD.A∩B{a}【答案】B【解析】由于与a长度相等、方向相反的向量一定与a共线,故A、C正确.又因为与a共线且长度相等的向量可以与a的方向相同,也可以与a的方向相反,故B错误,D正确.4.(5分)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,则以下说法错误的是(  ) A.与相等的向量只有1个(不含)B.与的模相等的向量有9个(不含)C.的模恰为的模的倍D.与不共线【答案】D【解析】由于=,因此与相等的向量只有,而与的模相等的向量有,,,,,,,,,因此选项A,B正确.∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,在Rt△AOD中,∵∠ADO=30°,∴||=||,故||=||,因此选项C正确.由于=,因此与是共线向量,故选D.5.(5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,且a与b的夹角为,则(a+b)·(2a-b)等于(  )A.B.-C.-D.【答案】A【解析】(a+b)·(2a-b)=2a2-b2+a·b=2-3+1××=.故选A.6.(5分)在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC的中点,则如图所示的向量中,相等向量有(  )A.一组B.二组C.三组D.四组【答案】A【解析】△ABC中,点D,E分别为边AB,AC的中点,在如图所示的向量中,相等向量是和,有一组.7.(5分)下面几个命题:①若a=b,则|a|=|b|;②若|a|=0,则a=0;③若|a|=|b|,则a=b;④若向量a,b满足则a=b.其中正确命题的个数是(  )A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】①正确.②正确.③错误.a与b的方向不一定相同.④错误.a与b的方向有可能相反.8.(5分)下面是如皋定慧寺观音塔的示意图,游客(视为质点)从地面D点看楼顶点A的仰角为30°,沿直线DB前进51米达到E点,此时看点C点的仰角为45°,若2BC=3AC,则该观音塔的高AB约为(  )(≈1.73) A.8米B.9米C.40米D.45米【答案】D【解析】不妨设AC=x,根据条件可得BC=BE=x,AB=AC+BC=x,因为tan∠ADB=ABBD,所以BD=x,所以DE=BD-BE=(-)x=51,所以x=≈18.02,所以AB=x≈45米.二、多选题(共4小题)9.(5分)下列说法正确的是(  )A.若非零向量a,b,c,有a∥b,b∥c,则a∥cB.与共线C.已知向量a,b不共线,且a∥c,b∥c,则c=0D.若||=||,则四边形ABCD是平行四边形【答案】ABC【解析】由共线向量的概念,易知选项A,B,C正确;若||=||,模相等,方向不确定,则,不一定相等,四边形ABCD不一定是平行四边形,故D错误.10.(5分)在△ABC中,下列说法正确的是(  )A.>0”是“△ABC是锐角三角形”的充分不必要条件B.<0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件C.“||=||”是“A为直角”的充要条件D.“||>||”是“A为锐角”的充要条件【答案】BCD【解析】>0,∴||||cosA>0,∴cosA>0,∴A为锐角,但是并不能判定△ABC是锐角三角形,故A不正确.由<0,可得A为钝角,即△ABC是钝角三角形. 反之,△ABC是钝角三角形不一定能得出A为钝角,故B正确.||=||⇔||=||⇔||2=||2=0⇔A为直角,故C正确.同样地,||>||>0⇔A为锐角,故D正确.11.(5分)在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,下列叙述正确的是(  )A.若=,则△ABC为等腰三角形B.若=,则△ABC为等腰三角形C.若tanA+tanB+tanC>0,则△ABC为锐角三角形D.若a=bsinC+ccosB,则∠C=【答案】ACD【解析】:=有=,即a2=b2,故△ABC为等腰三角形,正确.:=有sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,0<A,B<π,所以A=B或A+B=,△ABC不一定为等腰三角形,错误.:tanA+tanB+tanC=+=sinC·(+)=sinC·=sinC·==tanAtanBtanC>0,所以△ABC为锐角三角形,正确.:a=bsinC+ccosB知:sinA=sin(B+C) =sinBsinC+sinCcosB,所以cosC=sinC,所以tanC=1,0<C<π,有∠C=,正确.12.(5分)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,cos2A-cos2B-cos2C=cosAcosB+cosC-cos2B且c=,则下列结论中正确的是(  )A.C=B.C=C.△ABC面积的最大值为D.△ABC面积的最大值为【答案】BC【解析】因为cos2A-cos2B-cos2C=cosAcosB+cosC-cos2B,所以(1-sin2A)-(1-sin2B)-(1-sin2C)=cosAcosB-cos(A+B)-(1-2sin2B),所以sinAsinB+sin2B+sin2A-sin2C=0,由正弦定理可得ab+b2+a2-c2=0,可得cosC=-,可得C=,故A错误;B正确;又c=,可得3=a2+b2+ab≥2ab+ab,解得ab≤1,当且仅当a=b=1时取等号,所以S△ABC=absinC≤×1×=,故C正确;D错误.三、填空题(共4小题)13.(5分)如图所示,福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC,此时视角∠ABC=120°;从B处攀登200米到达D处,回头看索道AC,此时视角∠ADC=150°;从D处再攀登300米到达C处.则石竹山这条索道AC长为________米.【答案】100【解析】在△ABD中,BD=200米,∠ABD=120°.因为∠ADB=30°,所以∠DAB=30°.由正弦定理,得=,所以=. 所以AD==200(米).在△ADC中,DC=300米,∠ADC=150°,所以AC2=AD2+DC2-2AD×DC×cos∠ADC=(200)2+3002-2×200×300×cos150°=390000,所以AC=100(米).故石竹山这条索道AC长为100米.14.(5分)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,A,D分别为x轴,y轴正半轴上的动点,过点B作BE⊥OC于点E,则|OC|·|OE|的最大值为________.【答案】2【解析】设∠OAD=θ,因为|AD|=1,所以|OA|=cosθ,|OD|=sinθ,则∠BAx=-θ,|AB|=1,所以xB=cos+|OA|=sinθ+cosθ,yB=sin=cosθ,即=(sinθ+cosθ,cosθ),同理C(sinθ,sinθ+cosθ),=(sinθ,sinθ+cosθ),所以·=(sinθ+cosθ,cosθ)·(sinθ,sinθ+cosθ)=1+sin2θ,所以当sin2θ=1时,·的最大值为2,由数量积的几何意义,得|OC|·|OE|的最大值为2.15.(5分)在△ABC中,·(-4)=0,则cosA的最小值为________.【答案】【解析】在△ABC中,=-,所以·(-4)=(-)·(-4)=-4||2-||2+5·=-4||2-||2+5||||cosA=0,在△ABC中,设||=b,||=c,则有-4b2-c2+5bccosA=0,所以cosA=≥=,当且仅当2b=c时,等号成立.16.(5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,=,则·的最小值为________. 【答案】【解析】根据题意,可知DC=1,·=(+)·(+)=(+λ)·=·+·+λ·+·=1++-≥1+2-=,当且仅当λ=时,等号成立.四、解答题(共6小题)17.(10分)已知|a|=1,a·b=,(a+b)·(a-b)=.(1)求|b|的值;(2)求向量a-b与a+b夹角的余弦值.【答案】解 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=.因为|a|=1,所以1-|b|2=,所以|b|=.(2)因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×+=2,|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2×+=1,所以|a+b|=,|a-b|=1.令a+b与a-b的夹角为θ,则cosθ===,即向量a-b与a+b夹角的余弦值是.18.(10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且bsinA=acosB.(1)求B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.【答案】解(1)∵bsinA=acosB,∴sinBsinA=sinAcosB.∵A为△ABC的内角,∴sinA>0,∴tanB=,∵0<B<π,∴B=.(2)∵sinC=2sinA,∴c=2a. 由(1)知B=,∵b2=a2+c2-2accosB,∴a2+(2a)2-2a·2a·=9,∴a=,c=2.19.(10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinA∶sinB∶sinC=2∶1∶,b=.(1)求a的值;(2)求cosC的值;(3)求sin的值.【答案】解 (1)∵sinA∶sinB∶sinC=2∶1∶,由正弦定理可得a∶b∶c=2∶1∶,又b=,∴a=2,c=2.(2)由余弦定理的推论可得cosC===.(3)由(2)得cosC=,∴sinC==,∴sin2C=2sinCcosC=2××=,cos2C=2cos2C-1=2×-1=,∴sin=sin2Ccos-cos2Csin=×-×=.20.(12分)在海岛A上有一座海拔1km的山峰,山顶设有一个观察站P.有一艘船按一固定方向做匀速直线航行,上午11:00时,测得此船在岛北偏东15°,俯角为30°的B处,到11:10时,又测得该船在岛北偏西45°且俯角为60°的C处.(1)求船的航行速度;(2)求船从B到C的行驶过程中与观察站P的最短距离.【答案】解(1)如图,在Rt△PAB中,∠PBA=30°,所以AB==(km).同理,在Rt△PCA中,AC==km.在△ACB中,∠CAB=15°+45°=60°,所以由余弦定理得BC==km,所以÷=2km/h, 所以船的航行速度为2km/h.(2)作AD⊥BC于点D,连接PD.当船行驶到D时,离A点距离最小,从而离P点距离最小.此时,cos∠CBA===,所以sin∠CBA=,即=,所以AD=km.所以PD==km.即船在行驶过程中与观察站P的最短距离为km.21.(14分)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)nmile的两个观测点.现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20nmile的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30nmile/h,该救援船到达D点需要多长时间?【答案】解 由题意知AB=5(3+)nmile,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,在△DAB中,由正弦定理得=,∴DB=====10(nmile),又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20(nmile), 在△DBC中,由余弦定理得CD2=DB2+BC2-2DB·BC·cos∠DBC=300+1200-2×10×20×=900,∴CD=30(nmile).则需要的时间t==1(h).答:救援船到达D点需要1h.22.(14分)某海轮以30海里/时的速度航行,在点A测得海上油井P在南偏东60°,向北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30°,海轮改为北偏东60°的航向再行驶40分钟到达C点.(1)求PC间的距离;(2)在点C测得油井的方位角是多少?【答案】解(1)在△ABP中,AB=30×=20海里,∠APB=30°,∠BAP=120°,根据正弦定理得:=,则BP==20(海里).在△PBC中,BC=30×=20(海里),由已知∠PBC=90°,所以PC===40(海里).(2)在△PBC中,∠PBC=90°,BC=20海里,PC=40海里,所以sin∠BPC=,所以∠BPC=30°.因为∠ABP=∠BPC=30°,所以CP∥AB.所以在点C测得油井P在C的正南方向40海里处.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-04-27 09:18:02 页数:10
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文章作者:随遇而安

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