浙江省台州市2021-2022学年高三数学下学期4月二模试题（Word版附解析）

2022年4月台州市高三年级教学质量评估数学试题一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用集合交集定义计算即可【详解】故选：A2.设复数满足为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可；【详解】解：因为，所以，所以复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限；故选：D3.已知直线：，：，若，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用一般式下两直线垂直的充要条件“”即可求解【详解】故选：C 4.若实数满足则的最小值为（）A.B.C.1D.2【答案】B【解析】【分析】先画出可行域，再结合图像求出目标函数最小值；【详解】画出可行域：由图可知：过点时，.故选：B.5.已知双曲线的渐近线为，则双曲线的离心率为（）A.B.C.或D.或【答案】C【解析】【分析】根据给定的双曲线渐近线方程，分焦点位置，求出双曲线的虚半轴长与实半轴长的比，再利用离心率公式计算作答.【详解】因双曲线的渐近线为，当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线的方程：， 其渐近线为：，于是得，离心率，当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线的方程：，其渐近线为：，于是得，离心率，所以双曲线的离心率为或.故选：C6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定三视图画出原几何体，再借助几何体体积公式计算作答.【详解】依题意，三视图所对几何体是下部是棱长为1的正方体，上部接上以正方体上底面一对角线分上底面所成的二等腰直角三角形为底面，过直角顶点的侧棱垂直于底面且长为1的两个三棱锥组合而成，如图， 在直观图中，是正方体，棱长为1，三棱锥与中，侧棱都垂直于平面，且，所以，几何体的体积是.故选：C7.已知的三个内角为，则“”是“或”的（）A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】充要条件的判断既要判断由前者能否推后者，也要判断由后者能否推前者【详解】当，时，，即，但且所以或 所以或即“”是“或”必要不充分条件故选：B8.函数的图象如图所示，则其解析式可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数图象性质，排除法选择解析式【详解】由图象得，函数定义域为，故排除B，有一解，当或时，，当时或时，，故排除C， 当无限接近负无穷大时，无限接近，故排除D，故选：A9.已知.若在处取到最小值，则下列恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用导数结合函数零点存在性定理解决即可【详解】，令，则故g(x)上单增，在上存在唯一零点，且在上，，在上，所以在上递减，在上递增，故在处取得最小值，所以又所以故选:C.10.已知平面向量.若对区间内的三个任意的实数,都有,则向量与夹角的最大值的余弦值为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】建立直角坐标系,设出相关向量,通过分析位置,寻求临界值.详解】设.如图,不妨设.设为AB的中点,为OC的中点,为BD的中点,为AD的中点.则.,点在平行四边形内(含边界).由题知恒成立.为了使最大,则思考为钝角,即思考点在第一或第四象限.思考临界值即与重合,与重合,且GM不能充当直角三角形斜边,否则可以改变的位置，使得所以,即即,即.所以.所以 所以向量与夹角的最大值的余弦值为故选:A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用已知条件转化出所在的位置.二､填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分；单空题每小题4分.11.离散型随机变量的分布列如下表：01则实数___________；___________.【答案】①.##0.25②.##0.25【解析】【分析】第一空根据概率和等于1计算即可；第二空根据期望计算公式计算即可【详解】由,得 故答案为：；12.在中，，则___________；___________.【答案】①.##0.6875②.【解析】【分析】利用余弦定理求出，再用同角公式计算作答.【详解】在中，，由余弦定理得：，，而，则.故答案为：；13.已知三个整数，且.若以为三条边的长可以构成一个三角形，则这样的数组有___________组.【答案】7【解析】【分析】根据a、b、c大小关系和三角形三边关系即可列举出所有满足条件的的组合.【详解】若三角形为等腰三角形，则可以为(2，2，3)，(3，3，4)，(3，3，5)，(4，4，5)，若三角形不为等腰三角形，则可以为(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5).∴满足条件的数组有7组.故答案为：7. 14.已知等差数列的各项均为正数，且数列的前项和为，则数列的最大项为___________.（用数字作答）【答案】1【解析】【分析】由等差数列各项均为正数可判定该数列为递增数列，结合等差数列的通项公式和前和公式，可判定数列为递减数列，进而可得到该数列的最大项.【详解】由题，等差数列的各项均为正数，所以，，且，所以数列是递增数列，又，所以，即是递减数列，所以当时，得到数列的最大项为，故答案为：115.已知正实数满足，则的最大值为___________；的最大值为___________.【答案】①.##0.5；②.##【解析】【分析】①由基本不等式直接计算即可；②先由基本不等式计算的最大值，再由两部分取等条件相同得到整体的最大值即可. 【详解】①由，得，当且仅当，即时取等；②，当且仅当，即时取等，又由上知，故，当且仅当时取等，所以，当且仅当时取等.故答案为：；.16.设展开式中各项系数和为的系数为，则___________；___________.【答案】①.1024②.5400【解析】【分析】令，即可得到展开式各项系数和，从而求出，再由，写出展开式的通项，再令，求出、，再代入计算可得；【详解】解：依题意令得，所以；又，所以展开式的通项为令，解得，所以，故的系数；故答案为：；； 17.空间四面体中，，二面角的大小为，在平面内过点作的垂线，则与平面所成的最大角的正弦值___________.【答案】##【解析】【分析】通过空间想象确定与平面所成角最大时平面ABC与平面的关系，从而得到所求角和的关系，然后设棱长，利用二面角和直接计算可得.【详解】记过点B作的垂线l，垂足为E，过点E作垂直于直线CE的平面，交平面于直线BF，则当平面ABC时，与平面所成角最大，且与互余.此时，因为平面ACB，平面所以平面ACB平面，则由点E向平面作垂线，垂足H在CB上，过H作CD垂线HG，垂足为G，连接EG.由题知，，记，则在中，又，所以在中，，在中，记此时与平面所成角为，则.故答案为： 三､解答题：本大题共5小题，共74分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数的性质求解（2）由三角恒等变换公式化简，根据三角函数性质求解【小问1详解】∴函数的最小正周期为.【小问2详解】 .∵，∴，即.∴函数在上的最大值为.19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，,,，二面角的平面角的大小为,和均为等边三角形，,分别为线段,的中点.（1）证明：平面；（2）设直线与平面所成角为，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）构造中位线，利用线面平行的判定定理即可证明（2）利用等腰三角形的三线合一性质构造出二面角的平面角，此角所在的平面与平面垂直，利用面面垂直的性质定理可以作平面的垂线，从而建立空间直角坐标系，即可求解【小问1详解】 连接并延长交于点，连接因为，所以，所以为中点又为中点所以又平面，平面所以平面【小问2详解】取中点，，.∵和均为等边三角形.∴，.∴为二面角的平面角.∴.因为，，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面如图建立空间直角坐标系，， 则，，，，，∴，，，.设平面的法向量为，由，得取，则，.∴平面的一个法向量为.∵，∴.20.在数列中，，且对任意的正整数，都有.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）等式两侧同时除以，即可得证，根据等比数列的通项公式求出其通项；（2）根据第（1）问求出，并对其进行裂项，之后根据裂项求和进行计算．【小问1详解】解：（1）由，得.又因为，所以数列是以2为首项，为公比的等比数列.故，即.【小问2详解】由，故，故．21.已知抛物线的焦点为，且过的弦长的最小值为4. （1）求的值；（2）如图，经过点且不过原点的直线与抛物线相交于两点，且直线的斜率分别为.问：是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标.【答案】（1）（2）存在，其坐标为或【解析】【分析】（1）设过点F的直线l的方程为，与抛物线方程联立，表达出焦点弦，再用基本不等式即可求解；（2）设直线l方程为，表达出斜率乘积，根据定值与变量无关可得方程组即可求解.【小问1详解】设过点F的直线l的方程为，记l交抛物线于，两点，直线l方程代入抛物线方程得：，所以有，所以则，当且仅当时取等号.所以.【小问2详解】 假设存在定点P，其坐标为，设直线l方程为，，.将直线l方程代入抛物线方程，得.∴，.∴.∵点为定点，∴，∴，即.∵直线l不过原点，∴.∴.∵为定值，∴∴，.∴存在定点P.其坐标为或.22.已知函数有两个不同的极值点.（1）求实数的取值范围； （2）记函数的导函数为.若函数有两个不同的零点，函数有两个不同的零点，证明：（i）；（ii）.（注：是自然对数的底数）【答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数有两个不同的极值点，推得有两个零点，即即方程有两个解,构造函数，利用导数判断单调性，数形结合，求得答案；（2）（i）由是方程的两个解，推出，是方程中的两根，结合，是方程的两根，构造函数，利用导数判断函数单调性，推出，证明结论；（ii），是方程的两根，推出，方程的两根，结合，是方程的两根，利用的单调性可得，从而推得，，证明结论.【小问1详解】由题意知有两个零点.即方程有两个解,设，则, 当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，当时，，当时，，又，所以的图象如图所示：所以实数a的取值范围为.【小问2详解】（i）由（1）得是方程的两个解，有，，且，即，是方程中的两根，由题意知，是方程的两根，即是方程的两根.，记，则，所以在上递增，在上递减，且有，，因为，，所以.又因为，，所以；（ii）由题意知，是方程的两根.，即，方程的两根, 因为在上递增，在上递减，且.由，是方程的两根知，，而，所以，又因为，，，，所以，，故有.【点睛】本题考查了利用导数解决根据极值点求参数问题以及根据函数的零点证明不等式的问题，综合性强，思维能力要求较高，计算量大，要求能灵活应用导数的相关知识，解答的关键是对函数式或方程进行恰当的变式，从而将零点问题转化为方程的根的问题.