浙江省衢州、丽水、湖州三地市2021-2022学年高三数学下学期4月二模试题（Word版附解析）

衢州、丽水、湖州2022年4月三地市高三教学质量检测数学试题卷考生须知：1．全卷分试卷和答题卷，考试结束后，将答题卷上交．2．试卷共4页，22题．满分150分，考试时间120分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上．4．请将答案写在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效．参考公式：若事件，互斥，则柱体的体积公式若事件，相互独立，则其中为柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式若事件在一次试验中发生的概率是，则次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中为锥体的底面积，表示锥体的高球的表面积公式台体的体积公式球的体积公式其中，分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高其中表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.或【答案】A【解析】 【分析】由交集运算直接求出两集合的交集即可.【详解】由集合，集合则故选：A2.已知是虚数单位，则A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算计算复数的值即可.【详解】由复数的运算法则有：.故选B.【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.3.已知直线平面，点平面，且P不在l上，那么过点且平行于直线的直线（）A.有无数条，仅有一条在平面内B.只有一条，且不在平面内C.有无数条，均不在平面内D.只有一条，且在平面内【答案】D【解析】【分析】根据过直线外一点作与直线平行的直线只有一条.可排除AC.再由线面平行的性质定理即可选出答案.【详解】过直线与点的平面有且只有一个,记该平面为.又因直线平面，点平面所以过点且平行于直线的直线只有一条，且这条线为平面与平面的相交线.故选：D.【点睛】本题考查线面平行的性质定理.属于基础题. 4.若实数，满足不等式组，则的最小值是（）A.B.0C.1D.【答案】C【解析】【分析】作出可行域,利用几何法求出最小值.【详解】作出可行域如图所示：记，可化为，看成斜率为的直线l，平移直线l经过点A时，纵截距最小，此时A满足，解得：，即，代入可得：.即的最小值是1.故选：C5.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据侧视图(左视图)的定义，从几何体的左侧平视观察几何体，得到左视图，注意被遮挡的线段要画成虚线.【详解】将几何体各顶点字母标记如图，从左侧观察，得到如图所示的侧视图，其中，对角线被几何体左侧面遮挡，应当为虚线，故选：C.6.已知等比数列满足，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合等比数列通项公式可求得的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果.【详解】设等比数列的公比为，由，即，又，则，即则当时，由，此时 即由“”可得到“”成立.由，即，即，即或若时，，成立若时，，则不成立所以若“”则“”不成立.所以“”是“”的充分不必要条件故选：A7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线在第一象限交点为，直线与另一条渐近线交于点．若点是线段中点，则双曲线的离心率是（）A.B.2C.D.3【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用圆的性质及双曲线的对称性求出即可计算作答.【详解】如图，点Q是以为直径的圆的弦中点，则，于是得，因直线是双曲线的渐近线，由双曲线对称性知，因此有，则有直线的斜率，离心率，双曲线的离心率是2故选：B 8.已知函数．则当时，的图象不可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】取，分别判断出函数奇偶性，再分析函数的函数值的符号可得到不成立的选项，从而得出答案.【详解】设，由，则的定义域为所以函数为奇函数由选项A,B可得其图像关于原点成中心对称，则函数为奇函数.则函数为偶函数，又，则或由时，则，，则当，时，，故选项B有可能成立.当，时，，故选项A有可能成立.由选项C,D可得其图像关于轴对称，则函数为偶函数.则函数为奇函数，又，则当时，，此时偶函数当时，则，，则则当时，，则选项C有可能成立，显然选项D不成立.故选：D 9.已知，，且，则下列结论正确的个数是（）①的最小值是4；②恒成立；③恒成立；④的最大值是．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】分析】①利用基本不等式求解判断；②令，得到，用导数法判断；③利用基本不等式结合对数运算求解判断；④由，令，用导数法求解判断.【详解】①,当且仅当，即，即等号成立，而，故错误；②令，因为，，且，所以，，则，所以在上递减，则，即，故正确；③因为，，且，所以，当且仅当时，等号成立，则，故正确；④因为，令，则，令，解得当时，，当时，，所以当时，取得最大值，故正确．故选：C 10.已知为非常数数列且，，，下列命题正确的是（）A.对任意的，，数列为单调递增数列B.对任意的正数，存在，，，当时，C.存在，，使得数列的周期为2D.存在，，使得【答案】B【解析】【分析】对于A选项：取.即可判断数列为单调递减数列.对于B选项：令，记,根据的单调性结合其与的交点，即可说明总能找到一个，使得的极限为1.即可判断出结论.对于C选项：先假设存在，利用化简后即可说明矛盾.对于D选项：利用等式表示出,即可判断结论.【详解】当时：恒成立.此时数列为单调递减数列.A错误.令，记，，则，.，令，取则在上单调递增.令或. 如图所示：在区间内总能找到一个，使得的极限为1.B正确.假设存在，，使得数列的周期为2，即.则②-①：，又.化简得：.记,恒成立.故在上单调递增.要使，则需.与为非常数数列矛盾.C错误.因为所以则.不存在，，使得.D错误.【点睛】本题考查递推关系.属于难题.本类题型常常借助函数的单调性来说明问题.第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.【答案】120【解析】【分析】利用扇形的面积公式求解.【详解】由题意得：扇形的弧长为30，半径为8，所以扇形的面积为：， 故答案为：12012.设，函数．则________；若，则实数的取值范围是________．【答案】①.2②.【解析】【分析】直接将代入即可，先求出，然后再代入通过解解指数不等式即可得出答案.【详解】，由，则，所以故答案为：2；13.设．若，则实数________，________．【答案】①.##0.5②.【解析】【分析】令，即可求出的值.再分别求出与展开式中的的系数，再求和即为的值.【详解】令，则解得：.的第项系数为.所以展开式中的的系数为;的第项系数为.所以展开式中的的系数为; 故答案为：；.【点睛】本题考查二项式定理.属于基础题.14.袋子中有除颜色外形状完全相同的3个红球，2个白球．每次拿一个球，不放回，共拿两次．设拿出的白球个数为，则________，________．【答案】①.##②.##【解析】【分析】依题意可能取值为0，1，2，求出所对应的概率，即可得到的分布列，即可求出的数学期望；【详解】解：依题意白球的个数为，可能取值为0，1，2．所以，，，可得的分布列012所以故答案为：；15.在中，为的中点，若，，，则________，________．【答案】①.5②.【解析】【分析】由题意可求出的正弦和余弦，由和角公式求出，利用正弦定理可求出；在中由余弦定理求出，再由正弦定理可得答案.【详解】由，则则，所以 所以在中，所以在中，所以所以由,即故答案为：5，16.已知平面向量，，满足，，，则的最小值是________．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，使，求出向量满足.设，，，，得 到A、B、C、D、E的坐标，求出E关于直线AB的对称点F，把转化为，利用几何意义得到：当C位于短轴上顶点时，最小.【详解】由，，不妨建立平面直角坐标系，使.设，则，整理化简得：.不妨设，，则,.因为=.记,所以A、B、D三点共线.由可得：直线AB为，所以点D落在直线AB上.记,则.所以表示CD间的距离，表示DE间的距离，所以表示. 设为E关于直线AB的对称点，则，解得：，即.所以.所以.如图示，当C位于直线直线AB右上方的椭圆上时，能取得最小值.由椭圆的几何性质，可知：当C位于短轴上顶点时，最小，所以最小值为.故答案为：.【点睛】距离的计算方法有两类：（1）几何法：利用几何图形求最值；（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值.17.已知函数，函数．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】由题意，设，利用导数得出的单调性，作出其大致图像，从而得出的大致图像，得出的最大值，当时，得出的范围，即由即可得出答案.【详解】当时，当时，当时，所以当时， ，设则令，解得所以在单调递增，在上单调递减，在上单调递增.且，当时，当时，故函数的图像如图.则的图像如图.又所以当时，对任意，恒成立，即，解得 故答案为：三、解答题（本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18.已知函数，．（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由辅助角公式化简的解析式，然后由正弦函数的单调性可得答案.（2）由题意，代入函数解析式化简，由正弦函数的性质可得答案.【小问1详解】由由得所以函数的单调递增区间为：【小问2详解】由，则所以 由，则所以函数值域为19.如图，已知三棱台中，二面角的大小为，点在平面内的射影在上，，，．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）过作交于，连，则四点、、、共面，通过证明、可证平面；（2）以为原点，分别为轴，过且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量公式计算可得结果.【小问1详解】 过作交于，连，因为在三棱台中，，所以，所以四点、、、共面，因为，所以，所以，因为点在平面内的射影在上，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面，即平面.【小问2详解】由（1）可知，平面，又平面，所以，结合可知，是二面角的平面角，所以，在直角三角形中，，，所以，，在直角三角形中，有，，以为原点，分别为轴，过且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，所以，得，令，则，所以，所以直线与平面所成角正弦值为.20.已知等差数列的前项和为，满足，．数列满足，，．（1）求数列，的通项公式；（2）设数列满足，，记数列的前项和为，若，求的最小值．【答案】（1）；；（2）6.【解析】 【分析】（1）利用基本量代换列方程组求出列的通项公式；用累乘法求出数列的通项公式；（2）先用裂项相消法求出，判断单调性，解不等式求出的最小值.【小问1详解】设等差数列的公差为d，由题意可得：，解得：，所以，所以数列的通项公式为；因为数列满足，，，所以当时，，又满足，所以数列的通项公式为.【小问2详解】由（1）可得:，所以，所以.所以，即为.又因为恒成立，所以单调递减,且，所以解得n≥6,故n的最小值为6.21.如图，抛物线上的点到其准线的距离为2．过点作直线交 抛物线于，两点，直线与直线交于点．（1）求证：直线轴；（2）记，的面积分别为，．若，求直线的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）x-1=0或.【解析】【分析】（1）先求出抛物线方程为.设直线AB的方程为，则由解得.由,解得:.又B,M,C共线,所以求得,即可证明.（2）分别求出，由，解得：或，即可求出直线AB的方程.【小问1详解】由条件可知：,得p=2.故m=2,即A(1,2).所以抛物线方程为.设直线AB的方程为，则由得：,有,所以且.由,解得:.又B,M,C共线,所以. 又,则,化简可得:,解得:或(舍去),所以,因此PC⊥y轴.【小问2详解】由题意可知AM⊥y轴,所以,,所以，解得：或，所以所求直线AB的方程为x-1=0或.22.已知函数．（1）若，求函数的极小值点；（2）当时，讨论函数的图象与函数的图象公共点的个数，并证明你的结论．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；【解析】【分析】（1）由，得到，然后求导求解；（2）令，求导，分，讨论求解.【小问1详解】解：当时，，所以，令，得， 当时，，当时，，所以是函数的极小值点；【小问2详解】当时，令，则，当时，时，，时，，所以当时，取得极小值，且，，当，即，函数的图象与函数的图象无公共点；当，即时，函数的图象与函数的图象有1个公共点；当，即时，函数的图象与函数的图象有2个公共点；当，即，函数的图象与函数的图象有1个公共点；当，即时，或时，，时，，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，且，，因为恒成立，所以函数的图象与函数的图象只有1个公共点；综上：当时，函数的图象与函数的图象无公共点；当或或时，的图象与函数的图象只有1个公共点；