四川省德阳市2022届高三文科数学第二次质量监测考试试题（Word版附解析）

德阳市高中2019级质量监测考试（二）数学试卷（文史类）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则下列结论正确的是（）A.B.C.或D.【答案】C【解析】【分析】根据子集、补集、并集的定义逐一判断即可.【详解】A：显然，所以不成立，因此本选项结论不正确；B：因为，所以，因此本选项结论不正确；C：因为，所以或，因此本选项结论正确；D：因为集合，，所以，因此本选项结论不正确，故选：C2.若复数z满足（i是虚数单位），则z的共轭复数是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】解：由，得，，故选：． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题．3.已知变量满足约束条件，则的最小值为（）A.12B.11C.8D.【答案】C【解析】【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，再根据目标函数的几何意义计算得选项.【详解】解：画出不等式组表示的可行域如下图阴影部分所示，由得，平移直线，由图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值．由，解得，故点A的坐标为A(2,2)．∴．故选：C．4.设双曲线的左、右焦点分别为，，若点P在双曲线上，且，则（）A.1或5B.1C.4D.5【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】解：由题易知，，，因为根据双曲线定义有且所以或，因为，所以．故选：D5.已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得进而求得的大小.根据三角恒等变换化简，由此求得取值范围.【详解】依题意，由正弦定理得，所以，由于三角形是锐角三角形，所以.由.所以 ，由于，所以，所以.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数值域的求法，两角差的正弦公式，属于中档题.6.下列结论错误的是（）A.“”是“”的充要条件B.若，则方程一定有实根是假命题C.在中，若“”则“”D命题：“，”，则：“，”【答案】D【解析】【分析】对于A,，故A正确﹔对于B，∵时，的符号不能确定，故B正确；对于C，利用正弦定理可以判断C正确；对于D，利用存在量词命题的否定可以判断D错误.【详解】解：对于A,∵，∴，∴A正确﹔对于B，∵时，，不能确定方程是否有根，∴B正确；对于C，在中，∵，∴C正确；对于D，：，，∴D错误.故选：D.7.如图所示，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则　　 A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据条件，可对的两边平方得出，，对两边同时点乘即可得出，联立①②即可解出的值．【详解】与的夹角为，与的夹角为，且；对两边平方得：；对两边同乘得：，两边平方得：；得：；根据图象知，，，代入得，；．故选C．【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的概念，向量加法的平行四边形法则．8.已知函数，定义城为的函数满足，若函数与图象的交点为、、、，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】分析可知函数与图象的交点也关于点对称，利用对称性可求得结果.【详解】令，其中，且恒不为零，所以，函数在上单调递增，且，当时，；当时，.所以，函数的定义域为，因为，所以，函数，故函数的图象关于点对称，由题意可知，函数的图象也关于点对称，所以，函数与图象的交点也关于点对称，所以，.故选：B.9.已知是球面上的四个点，平面，，，则该球的表面积为（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据可证三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，将三棱锥补形成以为长宽高的长方体，又是球面上的四个点，所以球的直径为该长方体的体对角线，再根据题意可求出该长方体的体对角线长，进而求出球的表面积.【详解】由题意，作出三棱锥，如图所示， 因为平面，所以，又，所以，又，所以平面；同理平面，则两两互相垂直，将三棱锥补形成以为长宽高的长方体，如下图所示，又是球面上的四个点，所以球的直径为该长方体的体对角线，又，，所以该长方体的体对角线长为，即球的直径，其中是球的半径； 所以球的表面积为.故选:B.10.函数图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及的值来确定正确选项.【详解】由题意，函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C、D项，，所以排除B项．故选：A11.以双曲线（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦距为直径的圆与双 曲线在第一象限内交于M点，、分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴的垂线，垂足恰为的中点，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】由题意的坐标为，代入双曲线方程可得的方程，即可求出双曲线的离心率．【详解】解：由题意可得圆的半径为，圆心为，依题意可得的横坐标为，纵坐标为，即的坐标为，代入双曲线方程可得，即有，，，或，因为，所以，故选：C12.设，，，则下列选项正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，根据其单调性判断大小关系；再构造，根据其单调性即可判断，的大小关系. 【详解】令，则，令，解得，故当时，单调递减，故，即，则.令，则，故当时，单调递增，时，单调递减，则，即.，故；，故；综上所述：.故选：D.【点睛】本题考察利用导数研究函数单调性，且利用函数单调性比较大小，其中解决问题的关键是构函数，从而用作差法比较大小.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上．13.在中，若，则的最大值是______．【答案】##【解析】【分析】根据诱导公式以及二倍角正弦公式化简，再根据正弦函数性质求最值【详解】解：因为在中，若，所以， 所以，即的最大值是故答案为：##14.若是奇函数，则实数=_____________．【答案】【解析】【详解】试题分析：依题意可得,．考点：奇函数．15.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是_______．【答案】【解析】【详解】，若函数在上单调递减，则，，若，则，，，，若函数在上单调递减，则满足，即，即，故答案为.【方法点晴】本题主要考查三角函数的性质及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式或 恒成立问题求参数范围，本题是利用方法①求解的．16.如图，矩形中，，为边的中点，将沿翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是______．①翻折到某个位置，使得②翻折到某个位置，使得平面③四棱锥体积的最大值为④点M在某个球面上运动【答案】①③④【解析】【分析】对于①，当时，即时满足条件；对于②，由于不成立，进而可判断；对于③，当平面平面时，四棱锥体积的最大，再求解即可；对于④，取中点，连接，即可得在以点为球心的球面上．【详解】解：对于①，由题知，若存在某个位置使得，由于，平面，所以平面，又平面，即，由于，故，由于在折叠过程中，，所以存在某个位置，使得，故存在某个位置，使得，故①正确；对于②，若存在某个位置，使得平面，因为平面，所以，另一方面，在矩形中，， 故不成立，所以②错误；对于③，四棱锥体积的最大时，平面平面，由于是等腰直角三角形，所以此时点到平面的距离为，所以四棱锥体积的最大值为，故③正确；对于④，取中点，连接，由于为线段的中点，所以，所以在以点为球心的球面上，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.2021年9月以来，多地限电的话题备受关注，广东省能源局和广东电网有限责任公司联合发布《致全省电力用户有序用电、节约用电倡议书》，目的在于引导大家如何有序节约用电．某市电力公司为了让居民节约用电，采用“阶梯电价”的方法计算电价，每户居民每月用电量不超过标准用电量x（千瓦时）时，按平价计费，每月用电量超过标准电量x（千瓦时）时，超过部分按议价计费．随机抽取了100户居民月均用电量情况，已知每户居民月均用电量均不超过450度，将数据按照[0，50），[50，100），…[400，450]分成9组，制成了频率分布直方图（如图所示）． （1）求直方图中m的值；（2）如果该市电力公司希望使85%的居民每月均能享受平价电费，请估计每月的用电量标准x（千瓦时）的值；（3）在用电量不小于350（千瓦时）的居民样本中随机抽取2户，求其中不小于400（千瓦时）的恰好有1户居民的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出．（2）由频率分布直方图求出的频率为0.73，的频率为0.15，该市电力公司希望使的居民每月均能享受平价电费，由此能估计每月的用电量标准的值．（3）根据频率分布直方图求出用电量不小于350（千瓦时）的居民户数，与不小于400（千瓦时）的居民户数，再用列举方程列出所有可能结果，最后根据古典概型的概率公式计算可得；【小问1详解】解：由频率分布直方图得：．解得．【小问2详解】解：的频率为，的频率为，该市电力公司希望使的居民每月均能享受平价电费， 估计每月的用电量标准．【小问3详解】解：用电量不小于350（千瓦时）的居民样本有：户，其中不小于400（千瓦时）的有户，记的4户为、、、，的2户为、，从6户中随机抽取户可能结果有、、、、、、、、、、、、、、共15个；其中不小于400（千瓦时）的恰好有1户居民的有、、、、、、、共8个，故其中不小于400（千瓦时）的恰好有1户居民的概率；18.已知等差数列的前n项和为．(1)求的通项公式；(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式与前项和公式得，解得，从而求出；（2）由（1）得，由，利用裂项相消法得，若，则，整理得，由 得，从而可求出答案．【详解】解：（1）设等差数列的公差为d，由得，解得，；（2），，，若，则，整理得，又，，整理得，解得，又，，，∴存在满足题意．【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和，考查裂项相消法求和，属于中档题．19.如图，在四棱锥P－ABCD中，已知AB//CD，AD⊥CD，AB＝AD＝1，DC＝DP＝2，PD⊥平面ABCD． （1）求证：BC⊥平面PBD；（2）设M，N分别为棱PA，PC的中点，点T满足，求证：B，N，T，M四点共面．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取中点，连结，则，且，由勾股定理得，由此能证明面.（2）取中点，连接，，，，由，知为中点，，再证明且，所以四边形是平行四边形，进而，故结论成立.【小问1详解】面，又面，，取中点，连结，则，且， 在中，，在中，，，，平面．【小问2详解】取中点，连接，，，，由，所以知为中点，又是中点，所以，又分别为棱的中点，所以且，又，，，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以，，，四点共面．20.在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且.（1）求的方程；（2）平面上的点满足，直线，且与交于、两点，若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题为求椭圆方程，则需找出，，可由条件，先求出，再利用，求出两曲线的交点坐标，利用椭圆的定义求出．得出方程.（2）问题为算直线方程，需两个条件．由条件及可得：直线的斜 率：，再设出直线的斜截式方程：，与椭圆方程联立，结合条件，建立关于的方程，可得所求的直线方程．【详解】（1）的焦点，，，，，代入抛物线方程，有，，，椭圆的方程为；（2）点满足，所以易知与关于原点对称，所以，设直线方程：，设，，联立直线和椭圆方程，得到：，，，，因为，所以，代入韦达定理有，，满足判别式大于0所以直线方程为.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若对于任意的，恒成立，求的最小值.【答案】（1）单调速增区间是，单调递减区间是；（2）最小值为.【解析】【分析】（1）求出，进一步求出的解，即可得出结论；（2）先由，得出，通过二次求导并结合隐零点方法，求出，转化为与隐零点的函数关系，再次用导数法，即可求解.【详解】解：（1）因为，所以，.令，得.当时，；当时，.故的单调速增区间是，单调递减区间是.（2）.因为，，又，所以，则.令，则在上单调递增.因为当时，， 所以.因为，所以，使得.且当时，，则，当时，，则，所以上单调递增，在上单调递减.故.由，得.由，得，即.结合，得，所以.令.则，所以在上单调递增，所以，即.故的最小值为.【点评】关键点点睛：（1）函数不等式恒成立问题，要注意应用必要条件探路，这样可以缩小参数的范围，减少分类讨论情况，甚至无需分类讨论；（2）含参函数的最值经常涉及到隐零点，要注意隐零点范围的确定，如（2）由确定出隐零点的范围，是解题的关键.请考生在22、23二题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． [选修4－4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）22.已知曲线C的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C上的点到直线的距离的最大值；（2）设P，Q是曲线C上的两点，若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设曲线上任意一点为，根据点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解；（2）设，求得，即可求解【小问1详解】解：由曲线的参数方程为（为参数），设曲线上任意一点为，则点到直线的距离，当时，可得.【小问2详解】解：由曲线的参数方程为（为参数），消去参数可得曲线的普通方程为，即， 又由，可得曲线的极坐标方程为，即由点,是曲线上的两点，且，设，所以.[选修4－5：不等式选讲]（本题满分10分）23.已知函数．（1）求函数的解集；（2）记函数的最小值为，若实数，，满足．证明．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）用分类讨论的方法解绝对值不等式；（2）求出最小值，由柯西不等式证明结论成立．【小问1详解】当时，；当时，；当时，.综合可知：的解集为：【小问2详解】 由（1），所以，即，，由柯西不等式得：，即，当且仅当时取“=”，即.