四川省德阳市高中2022-2023学年高三文科数学上学期第一次诊断考试试题（Word版附解析）

德阳市高中2020级第一次诊断考试数学试卷（文史类）说明：1．本试卷分第1卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．2．本试卷满分150分，120分钟完卷．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.QB.{－3，－2，－1，0，1，3}C.PD.{－3，－2，－1，2}【答案】A【解析】【分析】化简集合，然后根据交集的定义运算即得.【详解】因，又，所以.故选：A.2.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是（）A.样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化C.利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高D.调查影院中观众观后感时，从15排（每排人数相同）每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法【答案】C【解析】【分析】按照中位数，平均数和方差的计算方法判断选项A，B的正误，根据残差图的含义判 断选项C的正误，区分不同抽样方法的概念判断D的正误.【详解】对于A，样本数据1、3、5、7、8、9、10、12、13、18的中位数为，A错误；对于B，每个数据都减去同一个数后，平均数也应为原平均数减去这个数，B错误；对于C，残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则拟合精度高，C正确；对于D，每排任意抽取一人应为简单随机抽样，D错误；故答案为：C.3.复数的共轭复数是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，根据共轭复数的概念可得答案.【详解】,故的共轭复数为，故选：B4.已知等比数列的前n项和为，且，，则=.A.90B.125C.155D.180【答案】C【解析】【分析】由等比数列的性质，成等比数列，即可求得，再得出答案.【详解】因为等比数列的前项和为，根据性质所以成等比数列，因为，所以，故故选C【点睛】本题考查了等比数列的性质，若等比数列的前项和为，则也成等比数列，这是解题的关键，属于较为基础题. 5.已知x、y满足约束条件，则的最小值为（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，数形结合求出的最小值.【详解】由约束条件作出可行域如图，表示可行域内的点与点连线的斜率，联立方程，得交点坐标，由图得，当过点时，斜率最小为，所以的最小值为.故选：D.6.已知，点关于的对称点为，点关于的对称点为，那么（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的线性运算可得结果.【详解】因为点关于的对称点为，点关于的对称点为，所以为的中点，为的中点， 所以，，所以，，所以.故选：D7.德阳市文庙广场设置了一些石凳供游人休息，这些石凳是由正方体形石料（如图1）截去8个一样的四面体得到的（如图2），则下列对石凳的两条边AB与CD所在直线的描述中正确的是（）①直线AB与CD是异面直线②直线AB与CD是相交直线③直线AB与CD成60°角④直线AB与CD垂直A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】C【解析】【分析】根据异面直线和异面直线所成角的定义判断即可.【详解】如图所示，延长、和正方体的一条边，会交于点，所以直线与是相交直线，故①错，②对；连接，设正方体的边长为1，所以，即三角形为等边三角形，所以直线与成角，故③对，④错.故选：C. 8.已知某曲线方程为，则下列描述中不正确的是（）A.若该曲线为双曲线，且焦点在x轴上，则B.若该曲线为圆，则m＝4C.若该曲线为椭圆，则其焦点可以在x轴上，也可以在y轴上D.若该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的标准方程结合条件可判断AD，根据圆及椭圆的方程结合曲线方程可判断BC.【详解】对于A，若该曲线为双曲线，且焦点在x轴上，则，解得，故A正确；对于B，若该曲线为圆，则，即，故B错误；对于C，由，可得，此时该曲线为椭圆，且焦点在x轴上；由，可得，此时该曲线为椭圆，且焦点在y轴上；故C正确；对于D，该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故D正确.故选：B.9.函数的大致图象为（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】根据特质排除法和诱导公式可得答案.【详解】，因为，根据图象可知，A和B不正确；因为，根据图象可知，D不正确.故选：C10.如图是旌湖边上常见的设施，从两个高为1米的悬柱上放置一根均匀铁链，让其自然下垂轻触地面（视为相切）形成的曲线称为悬链线（又称最速降线）．建立恰当的直角坐标系后，其方程可以是，那么两悬柱间的距离大致为（）（可能会用到的数据）A.2.5米B.2.6米C.2.8米D.2.9米【答案】B【解析】【分析】根据条件建立直角坐标系，可得，根据条件结合参考数据可得，进而即得. 【详解】因为，，所以函数为偶函数，如图建立直角坐标系，则时，，所以，即，所以，由题可设，，又，，由题可知时函数单调递增，所以，，所以两悬柱间的距离大致为2.6米.故选：B.11.已知奇函数定义域为，其图象是一条连续不断的曲线．若，则函数在区间内的零点个数至少为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据奇函数的定义域为R可得，由和奇函数的性质可得、，利用零点的存在性定理即可得出结果.【详解】奇函数的定义域为R，其图象为一条连续不断的曲线，得，由得，所以，故函数在之间至少存在一个零点，由奇函数的性质可知函数在之间至少存在一个零点， 所以函数在之间至少存在3个零点.故选：C12.已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的性质结合条件逐项分析即得.【详解】因为，a、b、c是正实数，所以，，对于A，若，则，满足题意；对于B，若，则，满足题意；对于C，若，则，满足题意；对于D，若，则，不满足题意.故选：D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上．13.设函数，则______．【答案】2【解析】【分析】将0代入函数解析式，根据分段函数的解析式计算结果.【详解】由题，因为，所以， 故答案为：2.14.已知,是单位向量，且，若，那么当时，______．【答案】##0.5【解析】【分析】根据以及可求出结果.【详解】因为,是单位向量，所以，当时，，所以，所以，所以，所以，解得.故答案为：.15.已知函数（，）的部分图象如图所示，则f（x）＝______．【答案】【解析】【分析】由函数图象得函数的最小正周期，求得，再由函数在时取最大值，求得，得函数解析式. 【详解】由函数图象得，因为，所以，又由图象知当时函数取最大值，所以，，因为，所以，所以.故答案为：.16.如图，矩形ABCD中，AC是对角线，设∠BAC＝α，已知正方形S1和正方形S2分别内接于Rt△ACD和Rt△ABC，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】设两个正方形边长分别为，，用，表示AC建立方程，将两个三角形的周长比表示为的三角函数，求取值范围.【详解】设两个正方形，边长分别为，，则在中，有，在中，有，所以，的周长与的周长比为，设，因为，所以， 则，因为在上单调递增，所以，，所以周长比为.故答案为：.【点睛】注意到的关系，换元用表示，注意换元后新未知数的取值范围.17.已知等差数列的首项为1，公差d≠0，前n项和为，且为常数．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件知，据此求出d；（2）运用错位相减法求和.【小问1详解】由题意知：，即，，化简得：，； 经检验，成立.【小问2详解】由（1）知：，…①，…②，①-②得：，；综上，，.18.在△ABC中，边a、b、c对应角分别为A、B、C，且．（1）求角B的大小；（2）从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知条件，使得△ABC存在且唯一，求AC边上的高．条件①：，b＝1；条件②：b＝2，；条件③：a＝3，c＝2．注：若选多个条件分别作答，则按第一个解答给分．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后整理计算可得答案；（2）若选择条件①：由三角形的三角一边可得△ABC唯一确定，再利用正弦定理计算求答案；若选择条件②：根据正弦定理计算得，得到△ABC不存在；若选择条件③：由三角 形的两边及其夹角确定可得△ABC存在且唯一，再利用正弦定理计算求答案.【小问1详解】由正弦定理边化角得，，得，，，【小问2详解】若选择条件①：，b＝1，，，，则△ABC中均唯一确定，又，则△ABC存在且唯一，由正弦定理，AC边上的高为；若选择条件②：b＝2，，由正弦定理得，△ABC不存在；若选择条件③：a＝3，c＝2，， 由a＝3，c＝2，可得△ABC存在且唯一，由余弦定理，则，由正弦定理得，AC边上的高为；19.买盲盒是当下年轻人的潮流之一，每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性，某礼品店2022年1月到8月售出的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：月份／月12345678月销售量／百个45678101113月利润／千元4.14.64.95.76.78.08.49.6（1）求出月利润y（千元）关于月销售量x（百个）的回归方程（精确到0.01）；（2）2022年“一诊”考试结束后，某班数学老师购买了装有“五年高考三年模拟”和“教材全解”玩偶的两款盲盒各3个，从中随机选出3个作为礼物赠送给同学，求3个盲盒中装有“五年高考三年模拟”玩偶的个数至少为2个的概率．参考公式：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，．参考数据：，．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）将表格数据代入公式，计算回归方程；（2）列举从6个盲盒中抽取3个的所有结果，由所有基本事件个数和“五年高考三年模拟”玩偶个数至少为2个的基本事件个数，求得概率.【小问1详解】由题，，，所以，，，，所以回归方程为.【小问2详解】记装有“五年高考三年模拟”玩偶的3个盲盒为，，，记装有“教材全解”玩偶的3个盲盒为，，，从中选出3个，共有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20个基本事件，其中，“五年高考三年模拟”玩偶个数至少为2个的基本事件有10个，故所求事件发生的概率.20.已知函数．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a＞1时，记f（x）在区间[－1,2]的最大值为M，最小值为m．已知．设f（x）的三个零点为x1，x2，x3，求 的取值范围．【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）.【解析】【分析】（1）求导，根据单调性得到当时取得极大值，时取得极小值，然后代入求极值即可；（2）根据在上的单调性得到，，然后列不等式得到的范围，令，结合韦达定理得到，，最后根据的范围求的范围即可.【小问1详解】，令，解得或，令，解得，所以在，上单调递增，在上单调递减，当时取得极大值，，当时取得极小值，，所以的极大值为，极小值为.【小问2详解】因为，所以在上单调递减，上单调递增，，因为，，所以，，解得，设，令，所以，，， 在上单调递减，当，所以取值范围为.21.已知函数，．（1）判断函数的单调性；（2）证明：．【答案】（1）在上单调递减，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，构造函数利用导数判断函数的单调性，从而判断原函数导数的正负，进而即得；（2）将不等式转化为，然后构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而证明不等式.【小问1详解】函数在给定区间内单调递减，理由如下：因为函数，，所以，设，则，所以在区间上单调递减，故，即，所以函数在区间上单调递减；【小问2详解】 ，，先证时，，即，设，则，所以在区间上单调递增，所以，即；再证时，，即，设，则，所以在上单调递增，所以，所以；综上，.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.请考生在22、23二题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22.在平面直角坐标系中，曲线C1的方程为，曲线C2的参数方程为（t为参数），直线l过原点O且与曲线C1交于A、B两点，点P在曲线C2上且OP⊥AB．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C1的极坐标方程并证明为常数；（2）若直线l平分曲线C1，求△PAB的面积． 【答案】（1），证明见解析（2）【解析】【分析】（1）写出的极坐标方程，设直线l的极坐标方程为，代入的方程，利用韦达定理证明为定值；（2）直线l平分曲线得直线l的方程，因为，得直线OP的方程，求得点P的坐标，计算三角形面积.小问1详解】的一般方程为，由，，得的极坐标方程为，证明：设直线l的极坐标方程为，点，，将代入，得，为方程的两个根，.【小问2详解】因为直线l平分曲线，所以直线l过点，直线l的方程为，因为，所以直线OP为，曲线的普通方程为，与直线OP的方程联立，得，点P到直线l的距离，圆的直径，所以的面积.23.已知函数．（1）画出的图象，并根据图象写出不等式 的解集；（2）若恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）图象见解析，不等式解集为；（2）.【解析】【分析】（1）分类讨论得到，然后画图，根据图象解不等式即可；（2）分、、、和五种情况求解即可.【小问1详解】当时，，当时，，当时，，所以，图象如下所示，不等式的解集为.【小问2详解】 当时，，整理得恒成立，所以；当时，，整理得；当时，，成立，所以；当时，，整理得；当时，，整理得恒成立，即，所以，综上可得，的取值范围为.