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四川省德阳市高中2022-2023学年高三理科数学上学期第一次诊断考试试题(Word版附解析)

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德阳市高中2020级第一次诊断考试数学试卷(理工农医类)说明:1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷,共4页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将答题卡交回.2.本试卷满分150分,120分钟完卷.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A.QB.{-3,-2,-1,0,1,3}C.PD.{-3,-2,-1,2}【答案】A【解析】【分析】化简集合,然后根据交集的定义运算即得.【详解】因为,又,所以.故选:A.2.关于统计数据的分析,有以下几个结论,其中正确的是()A.样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,平均数与方差均没有变化C.利用残差进行回归分析时,若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内,则说明线性回归模型的拟合精度较高D.调查影院中观众观后感时,从15排(每排人数相同)每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法【答案】C【解析】【分析】按照中位数,平均数和方差的计算方法判断选项A,B的正误,根据残差图的含义判 断选项C的正误,区分不同抽样方法的概念判断D的正误.【详解】对于A,样本数据1、3、5、7、8、9、10、12、13、18的中位数为,A错误;对于B,每个数据都减去同一个数后,平均数也应为原平均数减去这个数,B错误;对于C,残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内,则拟合精度高,C正确;对于D,每排任意抽取一人应为简单随机抽样,D错误;故答案为:C.3.复数共轭复数是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算化简,根据共轭复数的概念可得答案.【详解】,故的共轭复数为,故选:B4.已知等比数列的前n项和为,且,,则=.A.90B.125C.155D.180【答案】C【解析】【分析】由等比数列的性质,成等比数列,即可求得,再得出答案.【详解】因为等比数列的前项和为,根据性质所以成等比数列,因为,所以,故故选C【点睛】本题考查了等比数列的性质,若等比数列的前项和为,则也成等比数列,这是解题的关键,属于较为基础题. 5.已知x、y满足约束条件,则的最小值为()A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域,数形结合求出的最小值.【详解】由约束条件作出可行域如图,表示可行域内的点与点连线的斜率,联立方程,得交点坐标,由图得,当过点时,斜率最小为,所以的最小值为.故选:D.6.已知点关于的对称点为,点关于的对称点为,那么()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意分析之间的关系,将转化为,进而转化为即可.【详解】解:由题知是的中点,是的中点,故 .故选:D7.德阳市文庙广场设置了一些石凳供游人休息,这些石凳是由正方体形石料(如图1)截去8个一样的四面体得到的(如图2),则下列对石凳的两条边AB与CD所在直线的描述中正确的是()①直线AB与CD是异面直线②直线AB与CD是相交直线③直线AB与CD成60°角④直线AB与CD垂直A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】C【解析】【分析】根据异面直线和异面直线所成角的定义判断即可.【详解】如图所示,延长、和正方体的一条边,会交于点,所以直线与是相交直线,故①错,②对;连接,设正方体的边长为1,所以,即三角形为等边三角形,所以直线与成角,故③对,④错.故选:C.8.已知某曲线方程为,则下列描述中不正确的是() A.若该曲线为双曲线,且焦点在x轴上,则B.若该曲线为圆,则m=4C.若该曲线为椭圆,则其焦点可以在x轴上,也可以在y轴上D.若该曲线为双曲线,且焦点在y轴上,则【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的标准方程结合条件可判断AD,根据圆及椭圆的方程结合曲线方程可判断BC.【详解】对于A,若该曲线为双曲线,且焦点在x轴上,则,解得,故A正确;对于B,若该曲线为圆,则,即,故B错误;对于C,由,可得,此时该曲线为椭圆,且焦点在x轴上;由,可得,此时该曲线为椭圆,且焦点在y轴上;故C正确;对于D,该曲线为双曲线,且焦点在y轴上,则,解得,故D正确.故选:B.9.函数的大致图像为()A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出定义域,由解析式得到,判断出图像关于对称.排除C、D;再利用特殊点,的正负排除B,即可得到正确答案.【详解】要使函数有意义,只需,解得:,即函数的定义域为.因为,所以的图像关于对称.排除C、D;令,解得:.所以.又,,.对照选项A、B的图像,选A.故选:A10.如图是旌湖边上常见的设施,从两个高为1 米的悬柱上放置一根均匀铁链,让其自然下垂轻触地面(视为相切)形成的曲线称为悬链线(又称最速降线).建立恰当的直角坐标系后,其方程可以是,那么两悬柱间的距离大致为()(可能会用到的数据)A.2.5米B.2.6米C.2.8米D.2.9米【答案】B【解析】【分析】根据条件建立直角坐标系,可得,根据条件结合参考数据可得,进而即得.【详解】因为,,所以函数为偶函数,如图建立直角坐标系,则时,,所以,即,所以,由题可设,,又,,由题可知时函数单调递增,所以,,所以两悬柱间的距离大致为2.6米.故选:B.11.已知函数则在 上的零点个数为()A.0B.1C.2D.2023【答案】B【解析】【分析】先求导,分和两种情况进行讨论的正负,进而判断单调性,再判断正负,即可判断零点个数.【详解】解:由题知所以,当时,当时,,当时,,;当时,,;故,综上,在上单调递增,因为,故函数上有1个零点.故选:B12.已知a、b、c是正实数,且,则a、b、c的大小关系不可能为()A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的性质结合条件逐项分析即得.【详解】因为,a、b、c是正实数,所以,,对于A,若,则,满足题意;对于B,若,则,满足题意;对于C,若,则,满足题意;对于D,若,则,不满足题意.故选:D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分,第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答,二、填空题:共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡上.13.已知二项式的展开式中最后三项的二项式系数和为79,则n=______.【答案】12【解析】【分析】根据后三项二项式系数和为79,建立等式,解出即可.【详解】解:由题知二项式的展开式中最后三项的二项式系数和为79,所以,即,化简可得:,解得:(舍)或. 故答案为:1214.已知是单位向量,且,若,那么当时,______.【答案】##0.5【解析】【分析】根据题意求出模,根据,可得向量数量积为0,将代入化简求值即可.【详解】解:由题知,将代入可得:,即,将,代入上式可得:,即.故答案为:15.已知函数的部分图象如图所示,则f(x)=______.【答案】【解析】 【分析】根据对称轴和过点,求出的值,再根据求的范围,确定的具体值.【详解】根据图像可得函数的对称轴为,并且经过点所以,所以,用因为又因为故答案为:16.如图,矩形ABCD中,AC是对角线,设∠BAC=α,已知正方形S1和正方形S2分别内接于Rt△ACD和Rt△ABC,则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】设两个正方形边长分别为,,用,表示AC建立方程,将两个三角形的周长比表示为的三角函数,求取值范围.【详解】设两个正方形,边长分别为,,则在中,有, 在中,有,所以,的周长与的周长比为,设,因为,所以,则,因为在上单调递增,所以,,所以周长比为.故答案为:.【点睛】注意到的关系,换元用表示,注意换元后新未知数的取值范围.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的首项为1,公差d≠0,前n项和为,且为常数.(1)求数列通项公式;(2)若,求数列的前n项和.【答案】(1)(2) 【解析】【分析】(1)根据条件知,据此求出d;(2)运用错位相减法求和.【小问1详解】由题意知:,即,,化简得:,;经检验,成立.【小问2详解】由(1)知:,…①,…②,①-②得:,;综上,,.18.在△ABC中,边a、b、c对应角分别为A、B、C,且.(1)求角B的大小;(2)从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知条件,使得△ABC存在且唯一,求AC边上的高.条件①:,b=1;条件②:b=2,; 条件③:a=3,c=2.注:若选多个条件分别作答,则按第一个解答给分.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角,然后整理计算可得答案;(2)若选择条件①:由三角形的三角一边可得△ABC唯一确定,再利用正弦定理计算求答案;若选择条件②:根据正弦定理计算得,得到△ABC不存在;若选择条件③:由三角形的两边及其夹角确定可得△ABC存在且唯一,再利用正弦定理计算求答案.【小问1详解】由正弦定理边化角得,,得,,,【小问2详解】若选择条件①:,b=1,,,,则△ABC中均唯一确定,又,则△ABC存在且唯一,由正弦定理, AC边上的高为;若选择条件②:b=2,,由正弦定理得,△ABC不存在;若选择条件③:a=3,c=2,,由a=3,c=2,可得△ABC存在且唯一,由余弦定理,则,由正弦定理得,AC边上的高为;19.买盲盒是当下年轻人的潮流之一,每个系列的盲盒分成若干个盒子,每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片,或者设计师单独设计出来的玩偶,消费者不能提前得知具体产品款式,具有随机属性,某礼品店2022年1月到8月售出的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示:月份/月12345678月销售量/百个45678101113月利润/千元4.14.64.95.76.78.08.49.6(1)求出月利润y(千元)关于月销售量x(百个)的回归方程(精确到0.01);(2)2022年“一诊”考试结束后,某班数学老师购买了装有“五年高考三年模拟”和“教材全解”玩偶的两款盲盒各4个,从中随机选出3个作为礼物赠送给同学,用ξ表示3个中装有“五年高考三年模拟”玩偶的盲盒个数,求ξ的分布列和数学期望.参考公式:回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为: 参考数据:【答案】(1);(2)分布列见解析,.【解析】【分析】(1)将表格数据代入公式,计算回归方程;(2)由题可得的所有可能取值,然后根据古典概型概率公式结合组合数公式求概率,进而可得分布列及期望.小问1详解】由题可知,,,所以,,,,故月利润y(千元)关于月销售量x(百个)的回归方程为;【小问2详解】由题可知的所有可能取值为0,1,2、3,则,,,,故的分布列为:0123P 所以的数学期望.20.已知函数.(1)求函数f(x)的极值;(2)当a>1时,记f(x)在区间[-1,2]的最大值为M,最小值为m.已知.设f(x)的三个零点为x1,x2,x3,求的取值范围.【答案】(1)极大值为,极小值为;(2).【解析】【分析】(1)求导,根据单调性得到当时取得极大值,时取得极小值,然后代入求极值即可;(2)根据在上的单调性得到,,然后列不等式得到的范围,令,结合韦达定理得到,,最后根据的范围求的范围即可.【小问1详解】,令,解得或,令,解得,所以在,上单调递增,在上单调递减,当时取得极大值,,当时取得极小值,,所以的极大值为,极小值为.【小问2详解】因为,所以在上单调递减,上单调递增,, 因为,,所以,,解得,设,令,所以,,,在上单调递减,当,所以的取值范围为.21.已知函数设.(1)若在上单调递增,求实数的取值范围;(2)求证:;对,使得总成立.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)先写出解析式,根据在上单调递增,即在上恒成立,全分离,设新函数,求导求单调性求最值即可;(2)因为,即只需时,,时,成立即可,取,分时,求导可知在上单增,即得证,时,由(1)结论,在上单调递增,即时,,对求导后分析的正负,分析范围即可证明.【小问1详解】 解:由题可知因为在上单调递增,所以在上恒成立,因为时,,故只要上恒成立,令,,因为,,令,即,解得,故在上单增,在上单减,所以,即实数的取值范围为;【小问2详解】由题意,因为,所以只要找出,使得时,; 时,即可,当时,显然成立;现证,满足题意,即证当时,若时,成立,若时,也成立,当时,若,则,所以,因为,故,即恒成立,所以在上单增,故,即时,成立;当时,若,,由(1)知当时,在上单调递增,因为等价于,即等价于,所以在上单调递增, 故当时,,因为当时,,且,因为等价于,所以,即当时,也有.综上,,对,,使得总成立.【点睛】思路点睛:该题考查导数的综合应用,属于难题,关于存在性问题的思路如下:(1)分析题意,找到关键信息;(2)将关键信息转化为数学语言;(3)存在问题取特殊值,取特殊值时参考第一问结论,并且好算的数;(4)根据问题进行分情况讨论.请考生在22、23二题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.在平面直角坐标系中,曲线C1的方程为,曲线C2的参数方程为(t为参数),直线l过原点O且与曲线C1交于A、B两点,点P在曲线C2上且OP⊥AB.以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线C1的极坐标方程并证明为常数;(2)若直线l平分曲线C1,求△PAB的面积.【答案】(1),证明见解析(2) 【解析】【分析】(1)写出的极坐标方程,设直线l的极坐标方程为,代入的方程,利用韦达定理证明为定值;(2)直线l平分曲线得直线l的方程,因为,得直线OP的方程,求得点P的坐标,计算三角形面积.【小问1详解】的一般方程为,由,,得的极坐标方程为,证明:设直线l的极坐标方程为,点,,将代入,得,为方程的两个根,.【小问2详解】因为直线l平分曲线,所以直线l过点,直线l的方程为,因为,所以直线OP为,曲线的普通方程为,与直线OP的方程联立,得,点P到直线l的距离,圆的直径,所以的面积.23.已知函数.(1)画出的图象,并根据图象写出不等式的解集;(2)若恒成立,求实数k的取值范围. 【答案】(1)图象见解析,不等式解集为;(2).【解析】【分析】(1)分类讨论得到,然后画图,根据图象解不等式即可;(2)分、、、和五种情况求解即可.【小问1详解】当时,,当时,,当时,,所以,图象如下所示,不等式的解集为.【小问2详解】当时,,整理得恒成立,所以; 当时,,整理得;当时,,成立,所以;当时,,整理得;当时,,整理得恒成立,即,所以,综上可得,的取值范围为.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-03-05 02:45:02 页数:24
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文章作者:随遇而安

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