四川省资阳市2022-2023学年高三理科数学上学期第二次诊断考试试题（Word版带答案）

资阳市高中2020级第二次诊断性考试数学（理工类）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，i是虚数单位，若与互为共轭复数，则（）．A．B．C．D．2．已知集合，，则（）．A．B．C．D．3．采购经理指数（PMI），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用．制造业PMI高于50％时，反映制造业较上月扩张；低于50％，则反映制造业较上月收缩，下图为我国2021年1月－2022年6月制造业采购经理指数（PMI）统计图．根据统计图分析，下列结论最恰当的一项为（）．A．2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩B．2021年第四季度各月制造业在逐月扩张C．2022年1月至4月制造业逐月收缩D．2022年6月PMI重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张4．已知函数，则的图象（）．A．关于直线对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于原点对称5．党的二十大报告既鼓舞人心，又催人奋进．为学习贯彻党的二十大精神，某宣讲小分队将5名宣讲员分配到4个社区宣讲，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（）．A．480种B．240种C．120种D．60种6．函数在区间上的图象大致为（）． A．B．C．D．7．已知，则的值为（）．A．B．C．D．8．如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，如图所示的程序框图给出了计算“三角垛”小球总数的一个算法，执行该程序框图，输出的S即为小球总数，则S＝（）．A．35B．56C．84D．1209．过抛物线的焦点F且倾斜角为锐角的直线与C交于两点A，B（横坐标分别为，，点A在第一象限），为C的准线，过点A与垂直的直线与相交于点M．若，则（）．A．3B．6C．9D．1210．如图，在长方体中，底面ABCD为正方形，E，F分别为，CD的中点，直线BE与平面所成角为45°，给出下列结论：①平面；②；③异面直线BE与所成角为60°； ④三棱锥的体积为长方体体积的．其中，所有正确结论的序号是（）．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④11．已知椭圆的左焦点为，离心率为e，直线与C交于点M，N，且，．当取最小值时，椭圆C的离心率为（）．A．B．C．D．12．设，，，则a，b，c的大小关系是（）．A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x，y满足约束条件，则的最大值为______．14．已知向量，，则向量与向量的夹角为______．15．若函数的最小正周期为，则满足条件“是偶函数”的的一个值为______（写出一个满足条件的即可）．16．已知O是边长为3的正三角形ABC的中心，点P是平面ABC外一点，平面ABC，二面角的大小为60°，则三棱锥外接球的表面积为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）某企业为改进生产，现就某产品及成本相关数据进行统计．现收集了该产品的成本费y（单位：万元/吨）及同批次产品生产数量x（单位：吨）的20组数据．现分别用两种模型①，②进行拟合，据收集到的数据，计算得到如下值： 14.5100.086650.044表中，．若用刻画回归效果，得到模型①、②的值分别为，．（1）利用和比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求y关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值．附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．18．（12分）已知为等差数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求的前n项和．19．（12分）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，从下列三个条件中选择一个并解答问题：①；②；③．（1）求角A的大小；（2）若，且的面积为，求的周长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20．（12分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，． （1）试在棱BC上确定一点M，使得平面平面PBD，并说明理由．（2）在第（1）问的条件下，求二面角的余弦值．21．（12分）已知函数．（1）若是的极小值点，求a的取值范围；（2）若，，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C相交于A，B两点，．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若，求直线l的斜率．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知，，且．（1）证明：；（2）若不等式对任意恒成立，求m的取值范围．数学（理工类）参考答案1．C2．A3．D4．A5．B6．B7．D8．B9．C10．D11．B12．D13．814．15．或，等，满足条件的任何一个值即可．16．17．解析：（1）应该选择模型②． 由题可知，，则模型②中样本数据的残差平方和比模型①中样本数据的残差平方和小，即模型②拟合效果最好．（2）由已知，成本费y与t可用线性回归来拟合，有．，所以，则y关于t的线性回归方程为．成本费y与同批次生产数量x的回归方程为，当（吨）时，（万元/吨）．所以，同批次产品生产数量为25吨时y的预报值为6万元/吨．18．解析：（1）设等差数列的公差为d，由已知有：，，，因为，即，所以，所以数列的通项公式．（2）由（1）知，又，所以①当时，，当时，有②①②两式相减，得，所以．所以．19．解析：（1）如选择①有，即有， 所以，又，所以，所以．如选择②有，由正弦定理有，所以，化简得，因，所以，所以．如选择③由余弦定理有，所以，所以，所以．（2）由（1）知，因为，且的面积为，由，所以，所以，由余弦定理得，所以，所以的周长．20．解析：（1）当M为棱BC上靠近点B的三等分点时，平面平面PBD．证明：若M为棱BC上靠近点B的三等分点，，所以．又，，所以∽．所以．又，所以，所以．因为底面ABCD，所以，所以平面PBD．而平面PAM，所以平面平面PBD． （2）由（1），以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，．，，．设平面MPA的法向量，由得令，得，，即．设平面CPA的法向量，由得令，得，，即．设二面角的平面角为，则．21．解析：（1）由题得，，当时，，可知时，，单调递减；时，，单调递增，是的极小值点，符合题意；当时，，知时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增， 此时，是的极小值点，符合题意；当时，，，单调递增，不符合题意；当时，，知时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增，此时，是的极大值点，不符合题意．综上，是的极小值点时，a的取值范围是．（2）由（1），，由于时，，当时，可知，函数单调递增，故时，，所以，满足条件；当时，可知时，，单调递减；时，，单调递增，所以，在区间上，当时，取得极小值，也即为最小值．由于，恒成立，则，即有，得，解得，综上，a的取值范围是．选考题22．解析：（1）由得，即，即．将，代入上式，得．（2）将直线l的参数方程为（t为参数）代入曲线C的方程，整理得．由t的几何意义可设，．因点M在椭圆内，方程必有两个实根， 所以，①．②由知，即．③联立①③得，④将③④代入②得，解得，．所以直线l的斜率．23．（1）证明：，由于，且，则，，当且仅当，时等号成立，又时，可得，所以．（2），又，且，，所以，当且仅当取等号．则，则，得，或，解得或．所以m的取值范围是．