上海市行知中学2022届高三数学下学期期中试题（Word版附解析）

上海市行知中学2021-2022学年高三下期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合，，则_________.【答案】【解析】【分析】由对数函数单调性，求出集合A，再根据交集的定义即可求解.【详解】解：，，，故答案为：.2._________.【答案】【解析】分析】利用极限运算求解.【详解】，，，故答案为：3.二项展开式第六项的系数为_________.【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式第六项即可. 【详解】二项展开式第六项是，所以其系数是.故答案为：.4.公比为q的无穷等比数列各项的和为，则_________.【答案】1【解析】【分析】由无穷等比数列各项和公式变形即可得解.【详解】解：因公比为q的无穷等比数列各项的和为，则有，所以.故答案为：15.如图为某一圆柱的三视图，则该圆柱的侧面积为_________.【答案】【解析】【分析】根据三视图得到圆柱的底面半径和高，代入圆柱的侧面积公式求解.【详解】由三视图知：圆柱的底面半径为0.3米，高为0.6米，所以该圆柱的侧面积为.故答案为：.6.已知非负实数x、y满足，则的最小值为_________.【答案】【解析】 【分析】先画出非负实数x、y满足所表示的平面区域，然后求点到直线的距离即可.【详解】非负实数x、y满足所表示的平面区域如下图所示的阴影部分：所表示的意义为平面区域内的点到直线的距离，从上图可知点到直线的距离最小，其值为.故答案为：.7.函数，的反函数为_________.【答案】()【解析】【分析】先求出tanx，再由反函数定义即可得解.【详解】因，则，，所以所求反函数为(). 故答案为：()8.我校5位同学报考了北京大学“强基计划”第I专业组，并顺利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类､物理学类､力学类这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有我校学生的概率是__________(结果用最简分数表示).【答案】【解析】【分析】先计算出将5位同学分配到某一个专业的所有不同分配方式的种数，再计算出三个专业都有我校学生的不同分配方式的种数，最后计算三个专业都有我校学生的概率即可.【详解】解：将5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类､物理学类､力学类这三个专业中的某一个专业，所有的不同分配方式有种，三个专业都有我校学生的情况有种不同分配方式，三个专业都有我校学生的概率：，故答案为：.【点睛】本题考查排列组合的综合问题、分步乘法计数原理、部分平均分组问题、古典概型求概率，是中档题.9.已知，若，则_________.【答案】【解析】【分析】由给定条件，求出，把用表示出即可得解.【详解】，有，又，则， ，，，.故答案为：【点睛】关键点睛：给值求值的三角问题，探讨角的关系是解题的关键.10.函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】根据二次函数的单调性确定对称轴与区间的关系，同时注意分母不为0需满足上符号一致.【详解】在上单调递增，在单调递减，则，即，同时需满足，即，解得，综上可知故答案为： 【点睛】关键点点睛：注意利用二次函数对称轴与所给区间的关系求解，同时需注意时，符号必须一致是解题的关键，属于中档题.11.若正实数a、b满足，则的最小值为_________.【答案】7【解析】【分析】由可得，将它们替换目标式中、，应用基本不等式求最小值即可.【详解】由题设知：，即，又且，∴，当且仅当时等号成立.故答案为：.12.已知中，，，点为线段上的动点，动点满足，则的最小值等于_____．【答案】．【解析】【详解】令，，设（），∴，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值是，故填：．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道13名同学成绩的（） A.平均数B.众数C.中位数D.方差【答案】C【解析】【分析】成绩由小到大排列，能否进入决赛就看小明成绩排名是否在第7以前即可得解.【详解】把13名同学成绩按由大到小排列，取成绩靠前的6个成绩进入决赛，即最中间一个数之前的6个成绩进入决赛，13个成绩按由大到小排列时，最中间一个数即是中位数.故选：C14.关于、的方程组有无穷多组解，则下列说法错误的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件得出，，，然后计算每个选项中的行列式，可得出结果.【详解】关于、的方程组有无穷多组解，得，，．对于A选项，，A对；对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对；对于D选项，因为，等式无意义，D错.故选：D.15.已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由已知可得，设，若存在正整数，当时，有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，此时为无穷数列，由此根据充分条件、必要条件的定义进行分析即可得结论．【详解】解：令，，由，可得，所以，即，所以数列为等差数列，首项为，公差为1，所以，设，则数列是单调递增的等差数列，若存在正整数，当时，则有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，数列 就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列.（1）若恒不为0，则为无穷数列，由递推关系式有，取，时，，则，，，，此时数列不是单调数列；（2）当数列为有穷数列时，存在正整数，当时，有，此时数列为，，，，，，由，若数列单调，则，，，，全为正或全为负，由，则，，，，全为正，而，这与单调递增矛盾，所以当数列为有穷数列时，数列不可能单调，所以当数列单调时，数列一定有无穷多项．故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，将论证数列单调时，数列一定有无穷多项等价转化为论证数列为有穷数列时，数列不可能单调.16.已知函数，，若不等式解集为，其中，则的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】化简函数的解析式，再画出、的图象，结合题意可得，运用二次方程的两根之差，求出，关于的函数，可得的范围．【详解】作出函数的图象，由函数的图象可得时，当时，， 由，即有，的图象和的图象相切，当时，即有，解得舍去），由题意可得，当时，，由，可得，即有，当时，，由，即为，解得，可得，则，由，可得，，所以其最大值为2.故选：B．【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是数形结合思想的运用，二是韦达定理的运用，三是方程与函数思想的运用． 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.如图，在三棱柱中，平面，，，，点分别在棱和棱上，且，，为棱的中点（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由等腰三角形三线合一性质和线面垂直性质可证得，，由线面垂直的判定可证得结论；（Ⅱ）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据二面角向量求法可求得结果.【详解】（Ⅰ）由棱柱的性质知：，又为中点，；平面，平面平面，平面，又，平面，又平面，；又，平面，平面；（Ⅱ）以为坐标原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，设平面的法向量，，令，解得：，，；平面轴，平面的一个法向量为，，由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.18.已知函数，，，，它们的最小正周期为.（1）若是奇函数，求和在上的公共减区间D；（2）若的一个零点为，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据周期求，根据是奇函数求，然后再分别求函数和在上减区间，两个减区间求交集即为公共减区间. （2）把零点代入函数的解析式求，然后对函数进行化简，从而求最大值.【详解】（1）由，得，又因为是奇函数且，所以，所以，，在上，函数的单调递减区间是，函数的单调递减区间是，所以.（2），把点代入得，即，因为，所以，所以，所以当，即时，取最大值，即.19.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度. （1）求关于x的函数表达式；（2）记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）根据扇形的弧长公式结合已知条件可得出关于、的等式，即可得出关于的函数解析式；（2）利用扇形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得的最大值，即可得出结论.【小问1详解】解：根据题意，可算得，．因为，所以，所以，.【小问2详解】解：根据题意，可知，当时，.综上所述，当时铭牌的面积最大，且最大面积为. 20.已知抛物线和圆，抛物线的焦点为.（1）求的圆心到的准线的距离；（2）若点在抛物线上，且满足，过点作圆的两条切线，记切点为，求四边形的面积的取值范围；（3）如图，若直线与抛物线和圆依次交于四点，证明:的充要条件是“直线的方程为”【答案】（1）4；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）分别求出圆心和准线方程即可得解；（2）根据条件可表示出四边形的面积，利用函数的单调性即可得解；（3）充分性：令直线方程为，分别求出、、、四点坐标后即可证明；必要性：设的方程为，，，，，由可得，即可得出与的关系，进而可得出直线的方程为.【详解】（1）由可得:，的圆心与的焦点重合，的圆心到的准线的距离为.（2）四边形的面积为: ，当时，四边形的面积的取值范围为.（2）证明(充分性):若直线的方程为，将分别代入得，，，.，.(必要性):若，则线段与线段的中点重合，设的方程为，，，，，则，将代入得，，即，同理可得，，即或，而当时，将其代入得不可能成立；.当时，由得：，，将代入得，，，，，或（舍去）直线的方程为.的充要条件是“直线的方程为”.【点睛】本题考查了抛物线和圆的性质、直线与圆锥曲线的综合、条件之间的关系，考查了转化化归的思想和计算能力，属于难题.21.设数列与满足：的各项均为正数，. （1）设，若是无穷等比数列，求数列的通项公式；（2）设.求证：不存在递减的数列，使得是无穷等比数列；（3）当时，为公差不为0的等差数列且其前的和为0；若对任意满足条件的数列，其前项的和均不超过，求正整数的最大值.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）最大值为8.【解析】【分析】（1）运用等比数列的中项性质，解方程可得公比，所求通项公式；（2）运用反证法证明，结合数列的单调性和余弦函数的值域，可得矛盾，即可得证；（3）运用等差数列的等差中项的性质和求和公式，解不等式可得所求最大值．【详解】（1）解：，，公比为由解得，数列的通项公式为.（2）证明：反证法，设存在则，此时公比，考虑不等式当时，即时，有(其中表示不超过x的最大整数)，这与的值域为矛盾假设不成立，得证 （3）解：，由等差数列性质即，特别地，，现考虑的最大值为使取最大值，应有，否则在中将替换为，且，将得到一个更大的由可知，特别地，；于是解得，所以的最大值为8.【点睛】本题考查等比数列和等差数列的性质和通项公式、求和公式的运用，考查运算能力和推理能力，以及反证法的应用．