上海市松江区2022届高考数学二模试题（Word版附解析）

松江区高三数学练习（满分150分，完卷时间120分钟）2022．6考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分.2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号.3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位.一、填空题1.已知集合，集合，则＝_______．【答案】【解析】【分析】根据集合交集运算求解.【详解】因为集合，集合，所以.故答案为：2.若复数，其中为虚数单位，则_______．【答案】【解析】【分析】由复数的四则运算以及模长公式计算即可.【详解】故答案为：3.已知角为的内角，，则_________．【答案】## 【解析】【分析】根据同角三角函数，即可求解.【详解】由条件可知，.故答案为：4.若函数的反函数的图像经过点，则=_______．【答案】2【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的关系求出的反函数，再代入计算可得；【详解】解：因为函数的反函数为，，所以，即，所以或（舍去）；故答案为：5.在的展开式中，含的系数为______．【答案】【解析】【分析】由的展开式的通项公式，令，即可求得结论．【详解】的展开式的通项公式为令，则，的展开式中含项的系数是.故答案为：．6.若实数、满足约束条件，则的最小值是_____．【答案】1【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最小时对应的最优解，代入目标函数即可得解. 【详解】作出不等式组所表示可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故答案为：1.7.从1，2，3，4，5这五个数字中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为_______．【答案】##【解析】【分析】由列举法可得所有基本情况数及满足要求的情况数，再由古典概型概率公式即可得解.【详解】由题意任取两个不同的数字组成1个两位数，共有：12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45,51,52,53，54共20个；其中偶数有：12，14，24，32，34，42，52,54共8个；故所求概率. 故答案为：.8.如图所示，在正方体中，若是的中点，则异面直线与所成角的大小为_______．（结果用反三角函数表示）【答案】【解析】【分析】取的中点F，连接DF，得到是异面直线与所成的角，然后利用余弦定理求解.【详解】解：如图所示：取中点F，连接DF，则是异面直线与所成的角，设正方体棱长为，则，所以，， 所以，故答案为：9.已知正实数、满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】根据均值不等式及二次不等式的解法求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立，即，解得或（舍去），即的最小值为4，当且仅当时等号成立.故答案为：410.已知数列的首项，且对任意的，都有，则______．【答案】【解析】【分析】构造法先求数列的通项，然后可得的通项，再求极限可得.【详解】因为，所以，变形得所以数列是以为首项，为公差的等差数列所以 所以所以.故答案为：011.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线斜率的最大值为_______．【答案】##【解析】【分析】设出点坐标，利用向量法求得点坐标并代入抛物线的方程，求得直线斜率平方的表达式，结合二次函数的性质求得最大值.【详解】设，，依题意，所以，所以，将点的坐标代入抛物线的方程得：，整理得，设直线的斜率为，则，根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值为，所以的最大值为.故答案为：12.已知函数，是定义在R上的奇函数，且满足，当 时，．则当时，方程实根的个数为_______．【答案】506【解析】【分析】转化为两个函数图像交点个数问题，然后作图结合周期性可得.【详解】因为，所以的图像关于对称又是定义在R上的奇函数，图像关于原点对称，所以是周期为8的周期函数分别作出在上的图像，共2个交点；又刚好为的252个周期，易知在每个周期内有两个交点，上共有504个交点，综上，共有506个交点，即方程实根的个数为506.故答案为：506二、选择题13.下列函数中，与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据初等函数的奇偶性与单调性，再结合导数即可判断答案. 【详解】容易判断是奇函数，且在R上是增函数，而是偶函数，在R上不是增函数，所以排除A,C,D.对B，函数是奇函数，且，则函数在R上是增函数.故选：B.14.在2022北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛中，6名评委给选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分．则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（）A.平均数B.中位数C.众数D.方差【答案】D【解析】【分析】根据平均值、中位数、众数、方差的定义即可得解.【详解】去掉最大值与最小值这组数的平均值大小不确定，中位数不变，众数大小不确定，根据方差的定义，去掉最高分，最低分后，剩余四个数据的波动性小于原来六个数据的波动性，故方差一定会变小.故选：D15.设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据对称轴和的范围可得的值，从而可得周期，然后由题意可知的最小值为可得.【详解】由题知，则，因为，所以 所以易知的最小值为.故选：B16.已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，若点在正方形的边上，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的数量积运算及二次函数求值域即可得解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，，当在上时，设，，，当时，，当时，，即，当在上时，设，则，，知，当在上时，设，，， 当时，，当时，，即，当在上时，设，，，当时，，当时，，即.综上可得，，故选：C三、解答题17.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在棱上．（1）求四棱锥的全面积；（2）求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意可证出侧面为直角三角形，直接计算侧面底面面积求和即可；（2）先证出CD⊥平面PAD，再得AF⊥平面PDC，即可得证.【小问1详解】∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，∴BC⊥BP，∴, 同理可得,∴.【小问2详解】∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．18.在等差数列中，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由可得，从而求出与的值即可求出的通项公式；（2）由（1）可知，则，从而利用分组求和即可求出．【小问1详解】解：设等差数列的公差为， 由，得，解得，所以；【小问2详解】解：由（1）可知，则，所以．19.如图，农户在米、米的长方形地块上种植向日葵，并在处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况．监控摄像头可捕捉到图像的角度范围为，其中点、分别在长方形的边、上，监控的区域为四边形．记．（1）当时，求、两点间的距离；（结果保留整数）（2）问当取何值时，监控区域四边形的面积最大？最大值为多少？（结果保留整数）【答案】（1）82（2），4886【解析】【分析】（1）根据，求解，再用勾股定理求解即可（2）根据直角三角函数中的关系分别求得的面积，进而表达出四边形的面积，再令，化简 再用基本不等式求解最小值即可【小问1详解】∵，∴∵∴∴【小问2详解】，，所以，所以，令，则∴∴此时，，，即时.故当时，监控区域四边形的面积最大约为20.已知椭圆的右顶点坐标为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，直线l交椭圆Γ于不同的两点M和N．（1）求椭圆Γ的方程； （2）若直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过点A，求直线l的方程；（3）若直线l与椭圆Γ相切，求证：点F1、F2到直线l的距离之积为定值．【答案】（1）（2）或（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意结合，可求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及，即可求得直线l的方程；（3）分类讨论，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程y＝kx+b，与椭圆方程联立，由Δ＝0，可得b2＝3+4k2，结合点到直线的距离公式，即可求得点F1、F2到直线l的距离之积为定值．【小问1详解】因为|F1F2|＝2c＝2，则c＝1，因为a＝2，，所以椭圆Γ的方程；【小问2详解】因为直线l的斜率为1，故设直线l的方程为y＝x+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y整理得，则，，因为以MN为直径的圆经过右顶点A，则，所以，即整理得∴ 整理得，解得或，因为，显然当或时，成立所以直线l的方程为或；【小问3详解】证明：椭圆Γ的左、右焦点分别为，①当直线l平行于y轴时，因为直线l与椭圆Γ相切，所以直线l的方程为x＝±2，此时点F1、F2到直线l的距离分别为d1＝1，d2＝3，所以d1d2＝3，②当直线l不平行与y轴时，设直线l的方程为y＝kx+b，联立，消去y整理得，所以，因为直线l与椭圆Γ相切，则Δ＝0，所以，因为到直线l的距离为，到直线l的距离为，所以，所以点F1、F2到直线l的距离之积为定值，且定值为3．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，点到直线的距离公式，考查转化思想，分类讨论思想，计算能力，属于难题．21.对于定义在R上的函数，若存在正数m与集合A，使得对任意的，当，且时，都有，则称函数具有性质．（1）若，判断是否具有性质，并说明理由；（2）若，且具有性质，求m的最大值；（3）若函数的图像是连续曲线，且当集合（a为正常数）时，具有性质 ，证明：是R上的单调函数．【答案】（1）具有性质，理由见解析；（2）；（3）证明见解析.【解析】【小问1详解】对一切，，且由于具有性质.小问2详解】令，则∵具有性质，∴当时，恒有，即，.【小问3详解】∵函数具有性质，∴对任意的区间，当时，都有成立.下面证明此时，恒有或恒有若存在，使得①，不妨设② 当①或②式中有等号成立时，与矛盾当①②两式中等号均不成立时，的函数值从连续增大到时，必在存使得，也与矛盾，同理可证也不可能.∴对任意的区间，当时，恒有或恒有，∵对任意的，总存在，使得：，∴当时，，此时在单调递增，当时，成立，此时在上单调递减，综上可知是上的单调函数.【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，关键在于理解所给定义，一般就是需要具体化新定义的内容，研究所给特例问题，一般需要化抽象为具体，具有很强的类比性，对类比推理要求较高.