山东省潍坊安丘市、高密市、诸城市2021-2022学年高二数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

2022年5月份期中检测试题高二数学一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一物体做直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）的关系是，则该物体在时的瞬时速度为（）A.3B.6C.12D.16【答案】A【解析】【分析】利用瞬时变化率的定义即可求解.【详解】所以所以.故选：A.2.已知等比数列中，，，则()A.27B.36C.54D.81【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的定义求其公比即可求其第5项．【详解】公比，∴．故选：D．3.某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示. 456789100.030.050.070.080.260.23则（）A.0.72B.0.75C.0.85D.0.90【答案】C【解析】【分析】由分布列中所有概率和为1，计算得a，再计算即可求解.【详解】由题意，解得.∴＝．故选：C4.《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传.意思是：有996斤棉花要给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子分完为止，则第1个孩子分得棉花的斤数为（）A.48B.65C.82D.99【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的前n项和求解即可.【详解】依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为，公差为d，前n项和为，第一个孩子所得棉花斤数为则由题意得，，，解得，即第1个孩子分得棉花的斤数为65斤.故选：B.5.已知函数的导函数是，的图象如图所示，下列说法正确的是() A.函数在上单调递减B.函数在上单调递增C.函数在处取得极小值D.函数共有1个极大值点【答案】D【解析】【分析】根据导数正负与原函数单调性的关系即可判断求解．【详解】对于A，在，>0，f(x)单调递增，故A错误；对于B，在，不恒为正或负，故f(x)不单调，故B错误；对于C，在，恒成立，故f(x)单调递增，故x=3不极值点，故C错误；对于D，在，>0，f(x)单调递增，在(－1,1)，<0，f(x)单调递减，故x=－1是f(x)的极大值点，且是唯一的极大值点，故D正确．故选：D.6.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，即可求得实数的取值范围.【详解】因为，则，由题意可知对任意的恒成立，则对任意的恒成立， 构造函数，其中，则且不恒为零，所以，函数在上单调递增，所以，，所以，，解得.故选：A.7.已知正项数列中，，，则数列的前项和为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析可知数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，结合已知条件可求得数列的通项公式，再利用裂项求和法可求得结果.【详解】因为且，所以，数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，，因为数列为正项数列，则，则，所以，数列的前项和为.故选：C.8.已知随机事件与的样本数据的2×2列联表如下：总计1230 总计103242其中，均为大于4的整数，若在犯错误的概率不超过0.01的前提下“判断和之间有关系”时，则（）附：0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】【分析】依题意，m是大于4的整数，再根据列联表进行卡方计算即可.【详解】依题意，，即m只能取5，6，7，根据所提供的列联表有：，解得，所以m=7；故选：B.二､多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.若函数在定义域内单调递增，则的解析式可以是()AB.CD.【答案】AB【解析】【分析】在定义域内单调递增等价于在定义域内恒成立，逐项求导判断即可. 【详解】对于A，，∴在其定义域R上单调递增，故A符合题意；对于B，，令g(x)=，则，当x>ln2时，，g(x)=单调递增；当x<ln2时，，g(x)=单调递减，故，∴恒成立，故f(x)在R上单调递增，故B符合题意；对于C，，∵在其定义域R上有正有负，故f(x)在定义域R内不单调，故C不符题意；对于D，的定义为，在有正有负，故f(x)在不单调递增，故D不符题意.故选：AB.10.已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（）A.，B.随机变量满足，则C.D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】利用正态分布的期望和方差可判断A选项；利用期望的性质可判断B选项；利用正态密度曲线的对称性可判断CD选项；【详解】对于A选项，因为，则，，A对；对于B选项，随机变量满足，则，B错； 对于C选项，由正态密度曲线的对称性可知，C对；对于D选项，若，则，则，D对.故选：ACD.11.已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】构造函数，其中，结合奇偶性的定义判断奇偶性，利用导数判断函数在的单调性，然后利用函数的单调性判断出各选项的正误.【详解】构造函数，其中，则，因为对于任意的满足当时，，则函数在上单调递增，又函数是奇函数， 所以，所以在上为偶函数，所以函数在上单调递减，，则，即，即，化简得，A选项错误；同理可知，即，即，化简得，B选项正确；，且即，即，化简得，C选项正确，，且即，即，化简得，D选项错误，故选：BC. 【点睛】本题考查利用函数的单调性判断函数不等式是否成立，解题时要根据导数不等式的结构构造合适的函数，利用函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.12.定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“美好成长”.将数列1，3进行“美好成长”，第一次得到数列1，3，3；第二次得到数列1，3，3，9，3，…；设第次“美好成长”后得到的数列为1，，，…，，3，并记，则（）A.B.C.D.数列的前项和为【答案】BCD【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算得到通项公式计算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,3，此时第2次得到数列1,3,3,9,3，此时第3次得到数列1,3,3,9,3,27,9,27,3，此时第4次得到数列1,3,3,9,3,27,9,27,3,81,27,243,9,243,27,81,3，此时第次得到数列1，，3，此时，故B正确.所以所以，故A错误，因为所以所以，故C正确. 所以，所以是以3为公比，以为首项的等比数列，所以，所以，所以，故D正确.故选：BCD【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，得到通项公式即可求解.三､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.若函数满足，则___________.【答案】1【解析】【分析】对求导，利用赋值法求出即可.【详解】令，则.故答案为：.14.写出恰有个极值点，且在上不单调的一个函数___________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数极值点的定义可得出一个满足条件的函数的解析式.【详解】函数的单调递减区间为，单调递增区间为，所以，函数只有一个极值点，且该函数在上不单调.故满足条件. 故答案为：（答案不唯一）.15.已知随机变量服从参数为，的二项分布，即，且，，则___________.【答案】【解析】【分析】利用二项分布有关公式即可计算出的值.【详解】由题知，，解得，故答案为：16.某投资公司评估一个需要投资980万的项目，该项目从第1年年末开始，每一年的净利润是万元，而且收益可以持续50年.若年利率为8%，记第年年末的收益现值为（，），___________；若该项目值得投资，则的最小值为___________万元.（参考数据：）【答案】①.；②..【解析】【分析】根据折现率的公式，求出每一年的收益现值，再利用等比数列的前项和，若项目值得投资，则可求出的取值，进而求出最小值.【详解】依题意，根据折现率公式，得：第1年年末，净利润万元的收益现值为；第2年年末，净利润万元的收益现值为；第3年年末，收益现值为；以此类推，第年年末，净利润万元的的收益现值为； 则年后的总收益现值为若该项目值得投资，则解得：，.故答案为：；.四､解答题：解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列是等差数列，是等比数列，且，，.（1）求数列、的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）设等差数列公差为，等比数列的公比为，根据已知条件可出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求得数列、的通项公式；（2）求得，利用分组求和法可求得.【小问1详解】解：设等差数列公差为，等比数列的公比为，由得，即①，由得，即②， 由①②解得，，所以，，.【小问2详解】解：，所以.18.某企业在一段时期内为准确把握市场行情做了如下调研：每投入金额为（单位：万元），企业获得收益金额为（单位：万元），现将投入金额与收益金额数据作初步统计整理如下表：（表中，）（1）利用样本相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为收益金额关于投入金额的回归方程模型？（2）根据（1）的结果解答下列问题.①建立关于的回归方程；②样本对投入金额时，企业收益预报值是多少万元？附：对于一组数据、、、，其线性相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，.【答案】（1）更适宜（2）①；②万元【解析】【分析】（1）计算出两个模型的相关系数，比较两者绝对值的大小后可得出结论；（2）①将表格中参考数据代入最小二乘法公式，求出回归方程中的参数，即可得出关于的回归方程；②将代入回归方程可得结果.【小问1详解】解：的线性相关系数，令，得，的线性相关系数为，故的相关系数，因为，所以更适宜作为收益关于样本对投资金额的回归方程模型.【小问2详解】解：①，， 所以，所以关于的回归方程为；②当时，企业收益预报值为万元.19.已知函数.（1）求的单调区间；（2）设函数，求的极值.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）当时，没有极值；当时，的极小值为，没有极大值.【解析】【分析】（1）首先求出函数的定义域，对求导，令求其单调递增区间，令求其递减区间；（2）首先求出函数的解析式，对其求导，分情况讨论的取值，根据函数的单调性以及是否存在极值点确定函数的极值.【小问1详解】由已知，所以，令，可得，，可得，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】由已知，所以，， 当时，恒成立，所以在定义域内单调递增，没有极值.当时，令，得，所以，；，，即在区间单调递减，在单调递增，当时，取到极小值，没有极大值，综上，当时，在定义域单调递增，没有极值；当时，的极小值为，没有极大值.20.随着中国实施制造强国战略以来，中国制造（MadeinChina）逐渐成为世界上认知度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制.某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为，经过数据处理后得到如下频率分布直方图：（1）为了进一步检验产品质量，在样本中从质量指标在和的两组中抽取3件产品，记取自的产品件数为，求的分布列和数学期望；（2）该企业采用混装的方式将所有的产品按200件一箱包装，质量指标在内的产品利润是5元，质量指标在之外的利润是3元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱产品的利润.【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望： （2）（元）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图计算两个范围内的产品数，得出可能的取值，分别求概率，列出分布列，计算期望.（2）设质量指标在内有件，每箱产品的利润为元，利用数学期望求出利润即可.【小问1详解】解：样本中质量指标在的产品有件，质量指标在的有件，可能的取值为0，1，2，3，相应的概率为：，，，，随机变量的分布列为0123所以期望【小问2详解】解：设质量指标在内有件，每箱产品的利润为元，则质量指标在外的有件，由题意知，因为，所以，所以（元）.21.已知正项数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和.若对任意的恒成立，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由与的关系，即可求得数列的通项公式；（2）利用错位相减法可求得的前n项和，再利用不等式恒成立，即可解得k的最小值.【小问1详解】①；当时，代入①得.当时，②；①-②得，整理得，因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以.【小问2详解】，③；④，③-④得 ，所以，所以，化简得，令，.所以，所以的最大值为，所以.所以的最小值为.22.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，记函数在上的最大值为，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数求出切线斜率，即可求出切线方程；（2）利用导数判断出在上单调递增，在上单调递减，得到.令，，求出，即可证明.【小问1详解】由题意可得，所以. 又知，所以曲线在点处的切线方程为，即.【小问2详解】由题意，则.当时，.令，则，所以在上单调递增.因为，，所以存在，使得，即，即，故当时，，又，故此时；当时，，又，故此时.即在上单调递增，在上单调递减，则.令，，则，所以在上单调递增，则，所以.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知 识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)利用导数证明不等式．