江苏省连云港市四校2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

2021～2022学年第二学期期中考试高二数学试题一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．1.按序给出两类元素，类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，类中的元素排序为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在两类中各取1个元素组成1个排列，则类中选取的元素排在首位，类中选取的元素排在末位的排列的个数为（）A.240B.200C.120D.60【答案】C【解析】【分析】根据乘法计数原理即可求解.【详解】解：从类中取1个元素有10种取法，从类中取1个元素有12种取法，则共有种取法.故选：C.2.若，则（）A.4B.C.8D.【答案】C【解析】【分析】由数量积的定义计算．【详解】．故选：C．3.已知A与B是两个事件，P(B)＝，P(AB)＝，则P(A|B)等于（）A.B. CD.【答案】D【解析】【分析】根据条件概率公式可直接求得.【详解】由条件概率的计算公式，可得P(A|B)＝.故选：D4.从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（）A.20B.55C.30D.25【答案】D【解析】【分析】根据题意，用间接法分析：先计算从2名教师和5名学生中选出3人的选法，再计算其中“入选的3人没有教师”的选法数目，分析可得答案．【详解】解：根据题意，从2名教师和5名学生中，选出3人，有种选法，若入选的3人没有教师，即全部为学生的选法有种，则有种不同的选取方案，故选：D．5.已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（）．A.B.97C.D.61【答案】C【解析】【分析】根据空间向量数量积的定义可得，进而求出的值.【详解】∵ ，∴，故选：C.6.二项式的展开式中第3项的二项式系数为（）A.B.56C.D.28【答案】D【解析】【分析】二项式展开式第k+1项的二项式系数为，进而得到答案.【详解】二项式展开式第三项的二项式系数为.故选：D.7.在三棱锥中，、、两两垂直，，，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面的法向量的是（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设平面的一个法向量为，利用，求出、的值，可得出向量的坐标，然后选出与共线的向量坐标即可. 【详解】，，设平面的一个法向量为，由则，解得，．又，因此，平面的一个法向量为.故选：A.【点睛】本题考查平面法向量的计算，熟悉法向量的计算方法是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.8.在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，且A，B，C不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离d等于（）A.B.C.2D.5【答案】B【解析】【分析】欲求底面中心到侧面的距离，先利用建立空间直角坐标系求出点A，B，P的坐标，及侧面的方程，最后利用所给公式计算即可．【详解】以底面中心为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：则，设平面的方程为，将点A，B，P的坐标代入计算得，，，所以方程可化为，即， 所以．故选：B.【点睛】本小题主要考查点、线、面间的距离计算、空间直角坐标系的应用、空间直角坐标系中点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，将正确选项涂在答题卡．9.若，则正整数x的值是（）A.1B.4C.6D.8【答案】AC【解析】【分析】由组合数的性质，直接计算结果.【详解】由组合数的性质可知或，解得：或.故选：AC10.对于，，下列排列组合数结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】对于A、D：分别计算左右两侧，即可判断是否成立；对于B：由组合数的性质直接判断；对于C：由直接判断；【详解】对于A：,，所以.故A正确；对于B：由组合数的性质直接得到.故B正确； 对于C：因为，所以.故C错误；对于D：，而，所以.故D错误.故选：AB11.给出下列命题，其中正确的有（）A.空间任意三个向量都可以作为一个基底B.已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底C.，，，是空间中的四个点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面D.已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底【答案】BCD【解析】【分析】作为空间中基底的性质，结合各选项的描述判断正误即可.【详解】A：空间中共面的三个向量不能作为基底，故错误；B：向量，即，可平移到一条直线上，它们与其它任何向量都会共面，故不能作为基底，正确；C：，，不能构成空间的一个基底，即它们共面，则，，，共面，正确；D：是空间的一个基底，即它们不共面，由即共面，故与不共面，则是空间的一个基底，正确.故选：BCD12.甲箱中有个白球和个黑球，乙箱中有2个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（）A.两两互斥B. C.事件与事件相互独立D.【答案】AD【解析】【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.【详解】因为每次取一球，所以是两两互斥的事件，故A项正确；因为，，故B项错误；又，所以，故D项正确.从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B与事件不相互独立，故C项错误.故选：AD三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13.若的展开式中第4项的系数是160，则______.【答案】1【解析】【分析】根据给定的二项式直接求出第4项，结合已知系数计算作答.【详解】的展开式中的第4项为，依题意，，解得，所以.故答案为：114.已知，，且，则向量与的夹角为__________．【答案】【解析】【分析】利用空间向量数量积的坐标运算求出的值，可求得，结合 的取值范围可求得的值.【详解】由已知条件可得，解得，所以，，，，因此，.故答案为：.15.已知，，，若，，三向量共面，则实数等于__________.【答案】【解析】【分析】依题意设，列方程组能求出结果．【详解】解：，，，，4，，，2，，且，，三向量共面，设，，2，，，，，解得，，．故答案为：．16.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为___________.（用数字作答）【答案】144【解析】【分析】根据间隔排列知两端均为“冰墩墩”,可以先排 【详解】先排“冰墩墩”中间有三个空，再排“雪容融”，则.故答案为：144.四、解答题：共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.用0，1，2，3，…，9十个数字可组成多少个不同的（1）三位数？（2）无重复数字的三位数？（3）小于500且没有重复数字的自然数？【答案】（1）900（2）648（3）379【解析】【分析】（1）根据分步乘法计数原理计算出正确答案.（2）根据分步乘法计数原理计算出正确答案.（3）根据分类加法、分步乘法计数原理计算出正确答案.【小问1详解】由于0不能在百位，故百位上数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法．所以不同的三位数共有个．【小问2详解】百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有个无重复数字的三位数．【小问3详解】满足条件的一位自然数有10个，两位自然数有个，三位自然数有个，由分类加法计数原理知共有个小于500且无重复数字的自然数．18.已知空间三点，，，设，，（1）求和夹角余弦值；（2）设，，求的坐标．【答案】（1）.（2）或. 【解析】【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求、的坐标，再由向量夹角的坐标表示求和夹角的余弦值；（2）由向量平行有且，写出关于的坐标，再由空间向量模的坐标表示列方程求参数，即可知的坐标．【小问1详解】由题设，，，∴.【小问2详解】由题设，，由，即且，∴，则，即，∴或.19.已知，求：（1）的值；（2）及的值；（3）各项二项式系数和.【答案】（1）；（2），；（3）.【解析】【分析】令，利用赋值法可得：（1）；（2），；（3）各项二项式的系数和为. 进而可得解.【详解】令.（1）；（2）由赋值法可得，所以，，；（3）该二项式展开式中各项系数和为.【点睛】本题考查利用赋值法求解各项系数和以及奇数项、偶数项的系数和、二项式系数和，考查计算能力，属于中等题.20.某机构对某品牌机电产品进行了质量调查，下面是消费者关于质量投诉的数据：擦伤凹痕外观合计保质期内保质期后合计（1）如果该品牌机电产品收到一个消费者投诉，那么投诉的原因不是凹痕的概率是多少？（2）如果该品牌机电产品收到一个消费者投诉，且投诉发生在保质期内，那么投诉的原因是产品外观的概率是多少？（3）已知投诉发生在保质期后，投诉的原因是产品外观的概率是多少？（4）若事件：投诉的原因是产品外观，事件：投诉发生在保质期内，则和是独立事件吗？【答案】（1）（2） （3）（4）不是相互独立事件.【解析】【分析】（1）根据条件概率公式直接计算；（2）根据条件概率公式直接计算；（3）根据条件概率公式直接计算；（4）由独立事件概率乘法公式直接判断.小问1详解】解：由已知得投诉的原因不是凹痕的概率为；【小问2详解】解：由已知得投诉发生在保质期内，投诉的原因是产品外观的概率为；【小问3详解】解：投诉发生在保质期后，投诉的原因是产品外观的概率为；【小问4详解】解：由已知得，，，所以不相互独立.21.三棱柱中，，分别是，上的点，且，.设，，.（1）试用，，表示向量；（2）若，，，求的长.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意，结合空间向量的加减法与数乘运算，即可求解；（2）根据题意，结合空间向量数量积的求法，求出，即可求解.【小问1详解】由题图知，，因为，，所以，，故.【小问2详解】根据题意，由，，，得，即，由（1）知.22.如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明，,由线线垂直证明线面垂直，即得证（2）由（1）为平面的一个法向量，求解平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解；（3）由（1）为平面的一个法向量，利用点面距离的向量公式即得解【详解】（1）证明：以为原点，､､所在直线分别为､､轴建立空间直角坐标系，如图则，，，，，∵，，，∴，，即，，∵，∴平面；（2）由（1）可知为平面的一个法向量，设平面的法向量为，而，，则，令，可得， 设二面角的平面角为，经观察为锐角，∴，即二面角的余弦值为；（3），平面的法向量为，设点到平面的距离为，∴，即点到平面的距离为.