浙江省绍兴市2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

2021学年第二学期高中期末调测高一数学注意事项：1.请将学校、班级，姓名分别填写在答卷纸相应位置上．本卷答案必须做在答卷相应位置上．2.全卷满分100分，考试时间120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知是虚数单位，复数，则的虚部为（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，由此可得出复数的虚部.【详解】，因此，复数的虚部为.故选：C.2.（2015新课标全国Ⅰ文科）已知点，向量，则向量A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：,选A.考点：向量运算3.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰有一个黑球与恰有两个黑球D.至少有一个黑球与都红球 【答案】C【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.【详解】对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确；对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确；对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确；对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴D不正确.故选：C．4.3名男生和2名女生中任选2人参加学校活动，则选中的2人都是男生的概率为（）A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3【答案】D【解析】【分析】利用列举法表示出基本事件，直接求概率.【详解】把3名男生用a、b、c表示，2名女生用1、2表示.从5人选出2人有：共10种，选中的2人都是男生有共3种.故选中的2人都是男生的概率为.故选：D5.已知平面，，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】B【解析】【分析】根据线、面之间的位置关系，逐一判断即可求解.【详解】对于A，若，则与平行或者相交，故A不正确；对于B，若，利用面面平行的性质定理可得，故B正确；对于C，若，则或，故C不正确； 对于D，若，则与相交或平行，故D不正确；故选：B【点睛】本题考查了直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，属于基础题.6.为了选拔数学尖子生，某校数学组在高一年级中挑选出10位学生进行解题能力测试，这10位学生在一小时内正确解出的题的个数分别是14，17，14，10，16，17，17，16，14，12，设该数据的平均数为a，第50百分位数为b，则有（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据平均数和百分位数的定义求解即可【详解】由题意得，这10个数从小到大排列为10，12，14，14，14，16，16，17，17，17，因为，所以，故选：B7.已知，，函数，当时，f（x）有最小值，则在上的投影向量为（）A.B.C.－D.－【答案】C【解析】【分析】根据题意写出的表达式，结合二次函数知识求得，根据投影向量的定义即可求得答案.【详解】由题意得，,， 当时，有最小值，即，则在上的投影向量为，故选：C8.在三角形ABC中，已知，，D是BC的中点，三角形ABC的面积为6，则AD的长为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由可得，从而得，，所以，再利用余弦的二倍角公式可求出，由同角三角函数的关系求出，再由三角形ABC的面积为6，可求出，然后在中利用余弦定理可求得答案【详解】如图，设内角的对边分别为，因为，所以，即，所以,所以，即，因为，所以，所以因为，所以，因为，所以,因为， 所以,因为三角形ABC的面积为6，所以，得，因为，所以，因为D是BC的中点，所以,在中，由余弦定理得，因为，所以，故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）9.已知i是虚数单位，，复数，共轭，则以下正确的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据复数的性质与运算逐个判断即可【详解】对A，，，故正确； 对B，，，故B错误；对C，虚数不能比较大小，故C错误；对D，，故D正确；故选：AD10.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（）A.54周岁以上参保人数最少B.18～29周岁人群参保总费用最少C.丁险种更受参保人青睐D.30周岁以上的人群约占参保人群【答案】AC【解析】【分析】根据选项逐一对相应的统计图进行分析判断即可.【详解】解：对A：由扇形图可知，54周岁以上参保人数最少，故选项A正确；对B：由折线图可知，18～29周岁人群人均参保费用最少，但是由扇形图知参保人数并不是最少的，所以参保总费用不是最少，故选项B错误；对C：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故选项C正确；对D：由扇形图可知，30周岁以上的人群约占参保人群，故选项D错误. 故选：AC.11.如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面ABCD是等腰梯形，若，E，F，G分别是AB，CD，AP的中点，，则下列结论成立的是（）A.B.C.∠FEG即二面角的平面角D.异面直线DA与BP所成角是∠GEC【答案】BC【解析】【分析】连接，若，利用等腰三角形性质、线面垂直的判定可证面，进而有，得到矛盾结论排除A；连接，利用线面垂直的判定和性质判断是否成立，判断B；根据二面角定义判断的平面角，判断C；由题图仅当时直线DA与BP所成角是∠GEC或其补角，即可判断D.详解】连接，侧面ABCD是等腰梯形，有，又E、F分别是AB、CD的中点，则，若，则，即，由，面，则面，而面，则，又，与过直线外一点有且仅有一条直线与垂直矛盾，A错误；连接，由E，G分别是AB，AP的中点，则， 又，即，且，面，所以面，面，则，B正确；由面面，面，面，所以∠FEG是二面角的平面角，C正确；由于不一定相等，即不一定是平行四边形，故不一定平行，所以异面直线DA与BP所成角不一定是∠GEC，D错误.故选：BC12.已知△ABC为锐角三角形，P为此三角形的外心，，，，面积分别为，x，y，则以下结论正确的是（）A.B.C.△ABC的外接圆半径为D.的最大值为【答案】BD【解析】【分析】对A，根据外心的定义，结合圆的性质求解即可；对B，先根据，结合求得外接圆半径的平方，再根据数量积的公式求解即可；对C，根据，结合求得外接球半径即可；对D，根据，并分析的最大值求解即可【详解】对A，由题意画图，由圆的性质可得，故A错误；对BC，设△ABC的外接圆半径为，则因为，，故，解得，故C错误；易得正，故，故B正确；对D，因为△ABC为锐角三角形，故在△ABC内部，故，当最大时取得最大值.易得当离最远时，最大，此时， ，故D正确；故选：BD三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.在一次数学考试中，班级前四名的成绩是99，98，96，95，已知班级前五名学生的平均成绩是96，则这五名学生数学成绩的方差为________．【答案】6【解析】【分析】先求出第五名同学的成绩为92，套公式求出方差.【详解】因为班级前四名的成绩是99，98，96，95，班级前五名学生的平均成绩是96，所以第五名同学的成绩为.所以这一组数据为：99，98，96，95，92，方差为.故答案为：614.已知向量，若，则__________．【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为，所以由可得，，解得． 故答案为：．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，，注意与平面向量平行的坐标表示区分．15.《九章算术》中有记载，“刍甍者下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，腰长为3，，，则这个刍甍的体积为________．【答案】【解析】【分析】取CD,AB的中点M,N,连接FM,FN,则多面体分割为棱柱与棱锥两个部分.设F到平面ABCD的距离为h,求出，分别求出棱柱与棱锥的体积，即可求出总体积.【详解】取CD,AB的中点M,N,连接FM,FN,则多面体分割为棱柱与棱锥两个部分.设F到平面ABCD的距离为h,如图示：,所以. 所以.作出棱柱的一个直截面，则其面积为，所以.所以总的体积为.故答案为：.16.已知三棱锥，点P，A，B，C都在半径为的球面上，底面为正三角形，若平面，，则球心到截面的距离为________．【答案】【解析】【分析】设正的中心为，取的中点，连接，设三棱锥外接球的球心为，连接、，则且平面，再设，利用勾股定理得到方程，即可求出，从而得解；【详解】解：设正的中心为，取的中点，连接，则为的一个三等分点，设三棱锥外接球的球心为，连接、，则，即为外接球的半径，且平面，即即为球心到截面的距离，设，则，所以，所以，即，解得，所以； 故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量满足．（1）若，求||的值；（2）若，求的值．【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）将两边平方化简求解即可；（2）将两边平方化简得到，根据求解即可【小问1详解】∵∴，∴，即【小问2详解】，∴，即．18.如图，已知在正三棱柱中，D为棱AC的中点，． （1）求正三棱柱的表面积；（2）求证：直线//平面．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求解上下底的面积，结合侧面积求解即可；（2）取和交点M，连DM，再证明即可【小问1详解】．【小问2详解】取和交点M，连DM，∵D，M分别为AC，中点，故．平面，DM平面．∴//平面．19.某市疫情防控常态化，在进行核酸检测时需要一定量的志愿者．现有甲、乙、丙3名志愿者被随机地分到A，B两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用古典概型去求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（2）利用古典概型去求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．【小问1详解】甲、乙、丙3名志愿者被随机地分到A，B两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．基本事件（甲乙，丙），（甲丙，乙），（丙乙，甲），（丙，甲乙），（乙，甲丙），（甲，丙乙）共有6个，其中甲乙两人同时参加A岗位服务的是（甲乙，丙）只有1个，故甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率为；【小问2详解】甲乙两人不在同一岗位有：（甲丙，乙），（丙乙，甲），（乙，甲丙），（甲，丙乙）共4个，故甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率为．20.某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．（1）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数，中位数，平均数；（2）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的上四分位数（结果保留两位小数）． 【答案】（1）众数是20，中位数是20.4，平均数为20.32（2）【解析】【分析】（1）利用直方图的性质求得a的值，然后分别根据众数、中位数、平均数的概念计算；（2）根据上四分位数确定所在的区间，再计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；由得，∵且，∴中位数位于18~22之间，设中位数为x，得，故中位数是；平均数为；【小问2详解】上四分位数即为75百分位数，又∵，，∴上四分位数位于22~26之间，设上四分位数为y，则得．21.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c（是常数），D是AB的中点．（1）若，求的值；（2）若且，求cosA的值；（3）若时，求△BCD面积的最大值．【答案】（1）1；（2）；（3）.【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角关系及和角正弦公式得，进而有，即得结果；（2）由（1），设，△ABC、△BCD中利用余弦定理求得，最后应用余弦定理求cosA；（3）由题设，应用余弦定理、平方关系求、，再应用三角形面积公式求△BCD面积关于的函数，利用二次函数性质求最值.【小问1详解】当时，，由正弦定理可知，即，．故，即；【小问2详解】由（1）知：时，，又且，设，在△ABC中，，△BCD中，，则，解得，故.【小问3详解】当时，，则，而，故，．当时，.22.已知四棱锥P－ABCD中，△PBC为正三角形，底面ABCD为直角梯形，，，，． （1）设F为BC中点，间：在线段AD上是否存在这样的点E，使得平面PAD⊥平面PEF成立．若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由；（2）已知.①求二面角的平面角的余弦值；②求直线AC和平面PAD所成角的正弦值．【答案】（1）存在，（2）①；②【解析】【分析】（1）存在这样的E点；且当时满足，过点F作交AD于点E，则可得，，从而由线面垂直的判定可得AD⊥平面PEF，再由面面垂直的判定定理可证得结论，（2）①由（1）可得∠PFE即为所求二面角P－BC－A的平面角，然后在△PEF中利用余弦定理可求得答案，②法1：设AC与平面PAD所成角为，设d为点C到平面PAD的距离，则，由于BC//面PAD，所以C到平面PAD的距离等于F点到平面PAD的距离，由等积法求出，从而可求出，法2（等体积法）：设AC与平面PAD所成角为，设d为点C到平面PAD的距离，则，利用求出，从而可求出，【小问1详解】存在这样的E点；且当时过点F作交AD于点E，∵△PBC为正三角形，∴，∵，∴，又∵，∴， ∵∴AD⊥平面PEF，∵AD平面PAD，故平面PAD⊥平面PEF【小问2详解】①解：由（1）知，，，∴∠PFE即为所求二面角P－BC－A的平面角．∵，，∴，又∵，，∴△PEF中，②法1：设AC与平面PAD所成角为，设d为点C到平面PAD的距离，则∵，，∴，∵，∴BC//平面PAD，C到平面PAD的距离等于F点到平面PAD的距离．由（1）知，F到平面PAD的距离等于F到PE的距离，在△PEF中，，，，∴，则，又，∴，∴． ∴，即直线AC与平面PAD所成角的正弦值为．法2（等体积法）：设AC与平面PAD所成角为，设d为点C到平面PAD的距离，则，其中．∵，即其中，又，，，∴，故，∴过P作交EF于点H，由（1）中知AD⊥面PEF，∵AD平面ABCD，故平面ABCD⊥平面PEF，又平面ABCD平面，，PH平面PEF，故PH⊥平面ABCD，∴，由（2）题①知，，故可求，故．∴．