浙教版八年级下册课件6.2 反比例函数的图象和性质

第6章反比例函数6.2反比例函数的图象和性质（1） 1.反比例函数的定义：3.反比例函数的确定：4.它的三种常见的表示形式：2.反比例函数的特征：叫做反比例函数.函数k≠0,x≠0.x的指数是-1待定系数法.xy=k（k≠0）y=kx-1（k≠0）复习回顾,引入新课 １、下列函数，哪些是y关于x的反比例函数？①②③④⑤⑥⑦⑧y=3x-1y=2x2y=2x3y=x1y=32xy=13xy=x12、已知△ABC的面积为12，则△ABC的高h与它的底边a的函数关系式为 3、已知y是x的反比例函数,下表给出了x和y的一些值:x-2-113y2-1(1)求出这个反比例函数的表达式;思考:表中能否增加x=0或y=0的值,为什么?(2)根据函数表达式完成上表.１-２２ 函数图象的画法列表描点连线描点法反比例函数的图象又会是什么样子呢?你还记得作函数图象的一般步骤吗?用图象法表示函数关系时,首先在自变量的取值范围内取一些值,列表,描点,连线(按自变量从小到大的顺序,用一条平滑的曲线连接起来).回忆：函数关系有哪些表示方法？一次函数的图象是什么样子呢?（表达式法、列表法、图象法） x画出反比例函数和的函数图象。y=x6y=x6y=x6列表描点连线描点法合作交流,探究新知y=-x6 123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yxxy=x6y=x6123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-4O-6-556xy16233241.551.2616-1-6-2-3-3-1.5-2-4-5-1.2-6-1…………-663-32-21.5-1.51.2-1.21-1……y=x6y=x6 反比例函数图象的画法步骤：列表描点连线描点法注意：①列x与y的对应值表时，x的值不能为0，但仍可以在0的左右均匀、对称地取值。注意：②描点时自左往右用光滑曲线顺次连结，切忌用折线。注意：③两个分支合起来才是反比例函数图象。 yx6y=0讨论反比例函数的性质1.当k>0时,图象的两个分支分别在第一、三象限内；2.当k<0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内。y=x6xyO3.图象的两个分支关于直角坐标系的原点成中心对称。xO如果知道双曲线的一支，利用对称性，如何画另一支？4.双曲线无限接近于x轴、y轴,但永远不会与坐标轴相交 1.函数的图象在第_____象限.y=x5练习1二,四913.函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是____.m-2xy=m<24.对于函数，当x<0时，图象在第____象限.y=13xy=13x2.双曲线经过点（-3，___）.三 例2已知反比例函数的图象的一支如图.(1)判断k是正数还是负数;(2)求这个反比例函数的表达式;(3)补画这个反比例函数图象的另一支.y=—(k≠0)kxA.想一想:从反比例函数图象的一个分支分到另一个分支,可以看作是怎样的图形变换?B(-4,2).D.C.Oxy-8-6-4-26284-4-4-2-36842B´(4,-2)..C´.D´.A´ 已知k<0,则函数y1=kx,y2=在同一坐标系中的图象大致是()xk2.已知k>0,则函数y1=kx+k与y2=在同一坐标系中的图象大致是()xkxyO(A)xy0(B)xy0(C)xy0(D)(A)xy0xy0(B)(C)(D)xy0xy0DC 任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=kP(m,n)AoyxB长方形的面积为面积不变性三角形的面积为︳mn︱＝︳k︱ 课内练习：3.如图,P是反比例函数图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为.4.如图,P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分的面积为3,则这个反比例函数的关系式是.PDoyxxyoMNP2 拓展:（1）m=4（2）S△ABC=81、在直角坐标系中，直线y=x+m-1与双曲线在第一象限交于点A，与x轴交于点C，AB⊥x轴，垂足为B，且S△AOB=2。求：（1）m的值；（2）△ABC的面积。yxOABC 相交于A、B两点．过A作x轴的垂线、过B作y轴的垂线，垂足分别为D、C，设梯形ABCD的面积为S，则()A．S＝6B．S=3C．2<S<3D．3<S<62.如图，正比例函数与反比例函数xyABCDOB 梳理概括,形成结构请大家围绕以下三个问题小结本节课①什么是反比例函数?②反比例函数的图象是什么样子的?怎样作图象③反比例函数的性质是什么?形状位置变化趋势对称性面积不变性xyOy=xk 你能总结一下反比例函数的图象性质特征吗?图象是双曲线当k>0时,双曲线分别位于第一、三象限内当k<0时,双曲线分别位于第二、四象限内双曲线是中心对称图形形状位置变化趋势对称性双曲线无限接近于x轴、y轴,但永远不会与坐标轴相交 为了预防“甲流”，某校对教室采用药熏消毒法进行消毒。已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x(min)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例。现在测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米含药量6mg，请根据题中所提供信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为，自变量x的取值范围，药物燃烧后y关于x的函数关系式为；y（mg）x(min)o86适度拓展,探究思考 （2）研究表明，每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过min，学生才能回教室。30y（mg）x(min)o86 （3）研究表明，每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？y（mg）x(min)o86 ①已知y与x成反比例,并且当x=3时y=7，求y与x的函数关系式。③已知y与x2成反比例,并且当x=3时y=4，求x=1.5时y的值。例3②根据图形写出函数的表达式。yxO（-3，1） 第6章反比例函数6.2反比例函数的图象和性质（2） 双曲线的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.1.当k>0时,图象的两个分支分别在第一、三象限内；2.当k<0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内。3.图象的两个分支关于直角坐标系的原点成中心对称。反比例函数的性质 复习题：1．反比例函数　　　　　　的图象经过点（-1，2），那么这个反比例函数的表达式为，图象在第象限，它的图象关于成中心对称．2．反比例函数　　　　　的图象与正比例函数的图象交于点A（1，m），则m＝，反比例函数的表达式为，这两个图象的另一个交点坐标是．二、四坐标原点2(-1,-2)它与关于成轴对称。坐标轴 合作完成反比例函数图象图象的位置图象的对称性增减性（k>0）（k<0）y=xky=xkxyOyxO两个分支关于原点成中心对称两个分支关于原点成中心对称在第一、三象限内在第二、四象限内?? …-6-5-4-3-2-1123456……-1-2-3-66321…第三象限第一象限-1.2-1.51.51.2x的值从小到大x的值从小到大y的值从大到小y的值从大到小y=x6xyO1.当k>0时,每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小y=xk(k>0) …-6-5-4-3-2-1123456……1236-6-3-2-1…第二象限第四象限1.21.5-1.5-1.2y=x6yxx6y=O2.当k<0时,每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大。y=xk(k<0)y的值从小到大y的值从小到大x的值从小到大x的值从小到大 当　　时，在内，随　的增大而．O观察反比例函数　　　　　的图象,说出y与x之间的变化关系:ABOCDABCD减少每个象限当　　时，在内，随　的增大而．增大每个象限 正、反比例函数的图象与性质的比较：正比例函数反比例函数解析式增减性直线双曲线k＞0，一、三象限；k＜0，二、四象限．k＞0，y随x的增大而增大；k＞0，一、三象限；k＜0，二、四象限．k＜0，y随x的增大而减小．k＞0，在每个象限内y随x的增大而减小；k＜0，在每个象限内y随x的增大而增大．图象位置 请大家解决这个问题xyO-2-3 做一做：1．用“＞”或“＜”填空：（1）已知　　　和　　　是反比例函数　　　的两对自变量与函数的对应值．若　　　　　，则．（2）已知　　　和　　　是反比例函数　　　的两对自变量与函数的对应值．若　　　　　，则． 2．已知（　　），（　　），（　　）是反比例函数的图象上的三个点，并且，则的大小关系是（　　）（A）　　　　　　　　（B）（C）　（D）3．已知（　　），（　），（　　）是反比例函数的图象上的三个点，则的大小关系是．C （1）当x＞5时，0y1。（2）当x≤5时，则y1或y＜。（3）当y＞5时，求x的取值范围。<<≥00＜x＜14．已知反比例函数． 探索思考解不等式 AByxoy1=x-2_3xy2=当-1﹤x﹤0或x﹥3时,y1﹥y2。1C-13A(3,1)B(-1,-3)探索思考即不等式的解为-1﹤x﹤0或x﹥3。当-1﹤x﹤0或x﹥3时,一次函数的值大于反比例函数的值。 从A市到B市列车的行驶里程为120千米。假设火车匀速行驶，记火车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过160千米/时。例2：⑴求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围；解:（1）从A市到B市列车的行驶里程为120千米,所以所求的函数表达式为。t≥—43自变量t的取值范围是∵v随t的增大而减小，∴由v≤160得t≥—43 解：因为自变量t的取值范围是，即在题设条件下，火车到B市的最短时间为45分钟，所以火车不可能在40分钟内到达B市。在50分钟内到达是有可能的，此时由≤t≤可得144≤v≤160。t≥—43—65（2）从A市开出一列火车，在40分钟内（包括40分钟）到达B市可能吗？在50分钟内（包括50分钟）呢？如有可能，此时对火车的行驶速度有什么要求？ 例1、已知反比例函数的图象经过点A（1，4）。y=xk（1）①求此反比例函数的表达式；②画出图像；③并判断点B（-4，-1）是否在此函数图像上。（2）根据图像，得若y﹥1,则x的取值范围是；若x﹤1，则y的取值范围是。（3）若点（x1，y1),（x2，y2),（x3，y3)均在此函数图像上，且x1﹤0﹤x2﹤x3，请比较y1，y2，y3的大小。 （4）若过点A作AP⊥x轴于点P，求三角形AOP的面积。A(1,4)xPy4O （5）若D，E，F是此反比例函数在第三象限的图象上的三个点，过D，E，F分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，K，连结OD，OE，OF，设△ODM，△OEN，△OFK的面积分别为S1，S2，S3，则下列结论成立的是()A.S1﹤S2﹤S3B.S1﹥S2﹥S3C.S1﹤S3﹤S2D.S1=S2=S3yxoDEFMNKA（1，4） （7）连结OA,OB,设点C是直线AB与y轴的交点,求S△AOB;yxB（8）当x为何值时反比例函数的值大于一次函数的值;(6)求经过点A，B的一次函数的表达式;oA(1,4)（-4,-1）（9）在x轴上找一点P，使PA＋PC最短，求点P的坐标.CxBy（-4,-1）A(1,4)O 2.若自变量x的取值范围为2＜x≤9，作出该函数的图象，并给出函数值y的取值范围。1.作反比例函数y=的图象。18x 记面积为18cm²的平行四边形的一条边长为x（cm），这条边上的高为y（cm）。⑴求y关于x的函数表达式，以及自变量x的取值范围。⑵在如图的直角坐标系内，用描点法画出所求函数的图象。⑶求当边长满足0<x<15时，这条边上的高y的取值范围。246810121416182022242628O246810121416xy1820221.215 P(m,n)xS=oyP1(3,2)P2(1,6)xoyP(m,n)AxoyP(m,n)A︳mn︱＝︳k︱ S△ABC=︱k︱S四边形ABCD=2︱k︱BDCoxyAoyP(m,n)ABCDx ABCEOFxyx1.如图，已知双曲线(x＞0)经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k的值是____。变式 2.如图，在反比例函数（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝______．yxP1P2P3P4S1S2S3O1234 拓展:（1）m=4（2）S△ABC=81、在直角坐标系中，直线y=x+m-1与双曲线在第一象限交于点A，与x轴交于点C，AB⊥x轴，垂足为B，且S△AOB=2。（1）求m的值；（2）求△ABC的面积。yxOABC 相交于A，B两点．过A作x轴的垂线，过B作y轴的垂线，垂足分别为D，C，设梯形ABCD的面积为S，则()A．S＝6B．S=3C．2<S<3D．3<S<62.如图，正比例函数与反比例函数xyABCDOB 4.如图，直线l和双曲线y＝kx(k＞0)交于A，B两点，P是线段AB上的点（不与点A，B重合），过点A，B，P分别向x轴作垂线，垂足分别为C，D，E，连结OA，OB，0P，设△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，△POE的面积为S3，则（　　）A．S1＜S2＜S3B．S1＞S2＞S3C．S1=S2＞S3D．S1=S2＜S3 5.如图，已知A（-4，2），B（n,-4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点。（１）求此反比例函数和一次函数的表达式；（２）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围。xmBOAxy 6.下图是浙江省境内杭甬铁路的里程示意图。记从杭州到余姚一段铁路线上的列车行驶的时间为t时，平均速度为v千米/时，且平均速度限定为不超过160千米/时。杭州萧山绍兴上虞余姚宁波2139312948⑴求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围；⑵画出所求函数的图象；⑶从杭州开出一列火车，在40分钟内（包括40分钟）到达余姚可能吗？在50分钟内（包括50分钟）呢？如有可能，那么此时对列车的行驶速度有什么要求？ O255075100125150175yx0.7511.251.51.7522.25 7.在函数（a为常数）的图象上有三点，函数值的大小关系是（）（A）y2＜y3＜y1（B）y3＜y2＜y1（C）y1＜y3＜y2（D）y3＜y1＜y2DyxOP3P1P2