山西省运城市2021-2022学年高二数学上学期期末试题（Word版附解析）

运城市2021~2022学年度高二第一学期期末调研测试数学试题2022.1本试题满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.一､单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在等差数列中，，则的公差为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根据等差数列性质可得方程组，求得公差.【详解】等差数列中,,，由通项公式可得解得故选：A2.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】化简函数的解析式，利用基本初等函数的导数公式可求得结果.【详解】因为，因此，.故选：D.3.九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，用表示解开n（，）个圆环所需的最少移动次数，若数列满足，且当时，则解开5个圆环所需的最少移动次数为（）A.10B.16C.21D.22【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合数列递推公式，代入计算即可.【详解】根据题意，由，得.故选：D.4.已知直线和互相平行，则实数（）A.B.C.或D.或【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合两直线的平行，得到且，即可求解.【详解】由题意，直线和互相平行，可得且，即且，解得或.故选：C. 5.若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b的值为（）A.5B.C.3D.3或【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的定义，利用等比数列的通项公式求解．【详解】解：设该等比数列公比为q，∵数列1，a，b，c，9是等比数列，∴，，∴，故，解得，∴．故选：C6.在二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，，则这个二面角的大小为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设这个二面角的度数为，由题意得，从而得到，由此能求出结果.【详解】设这个二面角的度数为，由题意得，， ，解得，∴，∴这个二面角的度数为，故选：C.【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角.7.若数列对任意满足，下面选项中关于数列的说法正确的是（）A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.可以既是等差数列又是等比数列D.可以既不是等差数列又不是等比数列【答案】D【解析】【分析】由已知可得或，结合等差数列和等比数列的定义，可得答案．【详解】由，得或，即或，若，则数列是等差数列，则B错误；若，当时，数列是等差数列，当时，数列是等比数列，则A错误．数列是等差数列，也可以是等比数列；由，不能得到数列为非0常数列，则不可以既是等差又是等比数列，则C错误； 可以既不是等差又不是等比数列，如1，3，5，10，20，，故D正确；故选：D．8.已知点是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（）A.与双曲线的实轴长相等B.的面积为C.双曲线的离心率为D.直线是双曲线的一条渐近线【答案】B【解析】【分析】由题意及双曲线的定义可得，的值，进而可得A不正确，计算可判断B正确，再求出，的关系可得C不正确，求出，的关系，进而求出渐近线的方程，可得D不正确．【详解】因为，又由题意及双曲线的定义可得：，则，，所以A不正确；因为在以为直径的圆上，所以，所以，所以B正确；在△中，由勾股定理可得，即，所以离心率，所以C不正确；由C的分析可知：，故，所以渐近线的方程为，即，所以D不正确；故选：B． 9.若等差数列的前项和为，首项，，，则满足成立的最大正整数是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由等差数列的，及得数列是递减的数列，因此可确定，然后利用等差数列的性质求前项和，确定和的正负．【详解】∵，∴和异号，又数列是等差数列，首项，∴是递减的数列，，由，所以，，∴满足的最大自然数为4040．故选：B．【点睛】关键点睛：本题求满足的最大正整数的值，关键就是求出，时成立的的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.10.已知，，，其中，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先令函数，求导判断函数的单调性，并作出函数的图像，由函数的单调性判断，再由对称性可得. 【详解】由，则，同理，，令，则，当；当，∴在上单调递减，单调递增，所以，即可得，又，，由图的对称性可知，.故选：C11.公比为的等比数列，其前项和为，前项积为，满足，.则下列结论正确的是（）A.的最大值为B.C.的最大值为D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，判断出，即可判断选项D，再根据等比数列的性质，判断，，由此判断出选项A,B,C.．【详解】根据题意，等比数列满足条件，，，若，则， 则，，则，这与已知条件矛盾，所以不符合题意，故选项D错误；因为，，，所以，，，则，，数列前2021项都大于1，从第2022项开始都小于1，因此是数列中的最大值，故选项A正确．由等比数列的性质，，故选项B不正确；而，由以上分析可知其无最大值，故C错误；故选：A12.对于函数，下列说法正确的是（）A.的单调减区间为B.设，若对，使得成立，则C.当时，D.若方程有4个不等的实根，则【答案】B【解析】【分析】函数，，，,，利用导数研究函数的单调性以及极值，画出图象．A.结合图象可判断出正误；．B.设函数的值域为，函数，的值域为．若对，，使得成立，可得．分别求出，，即可判断出正误．C.由函数在单调递减，可得函数在单调递增，由此即可判断出正误； D.方程有4个不等的实根，则，且时，有2个不等的实根，由图象即可判断出正误；．【详解】函数，，，．，可得函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增当时，，由此作出函数的大致图象，如图示：A.由上述分析结合图象，可得A不正确．B.设函数的值域为，函数，的值域为．，对，，．，，．由，若对，，使得成立，则，所以，因此B正确．C．由函数在单调递减，可得函数在单调递增，因此当时，，即，因此C不正确；D.方程有4个不等的实根，则，且时，有2个不等的实根，结合图象可知，因此D不正确．故选：B．二､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若函数在x=1处的切线与直线y=kx平行，则实数k=___________.【答案】2 【解析】【分析】由题可求函数的导数，再利用导数的几何意义即求.【详解】∵，∴，，又函数在x=1处的切线与直线y=kx平行，∴.故答案为：2.14.已知函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，则的外接圆E的方程是________．【答案】【解析】【分析】由题可求三角形三顶点的坐标，三角形的外接圆的方程即求.【详解】令，得或，则，∴外接圆的圆心的横坐标为2，设，半径为r，由，得，则，即，得，.∴的外接圆的方程为.故答案为：.15.若数列满足，则称为“追梦数列”.已知数列为“追梦数列”，且，则数列的通项公式__________.【答案】##【解析】 【分析】根据题意，由“追梦数列”的定义可得“追梦数列”是公比为的等比数列，进而可得若数列为“追梦数列”，则为公比为3的等比数列，进而由等比数列的通项公式可得答案．【详解】根据题意，“追梦数列”满足，即，则数列是公比为的等比数列.若数列为“追梦数列”，则.故答案为：.16.已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，有，且，则使得成立的的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据当时，有，令，得到在上递增，再根据在上的偶函数，得到在上是奇函数，则在上递增，然后由，得到求解．【详解】∵当时，有，令，∴，∴在上递增，又∵在上的偶函数∴，∴在上奇函数 ∴在上递增，又∵，∴当时，，此时，0＜x＜1，当时，，此时，，∴成立的的取值范围是．故答案为：﹒三､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）设，求.【答案】（1）（2）1280【解析】【分析】（1）直接利用等差数列的通项公式即可求解；（2）先判断出数列单调性，由，则时，，时，；然后去掉绝对值，利用等差数列的前项和公式求解即可.【小问1详解】设数列的公差为，由，可知，∴;【小问2详解】由（1）知，数列为单调递减数列，由，则时，，时，； .18.如图，四棱锥中，，且，（1）求证：平面平面；（2）若是等边三角形，底面是边长为3的正方形，是中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合线面角定义进行求解即可.【小问1详解】∵，∴，，又，∴，∵，面，∴面，平面ABCD,平面平面【小问2详解】∵平面平面，交AD于点F，平面，平面平面，∴平面，以为原点，，方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，， 设平面的法向量为，则，求得法向量为，由，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.已知函数，曲线在处的切线方程为.（Ⅰ）求实数，的值；（Ⅱ）求在区间上的最值.【答案】（Ⅰ）最大值为，最小值为.（Ⅱ）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（Ⅰ）切点在函数上，也在切线方程为上，得到一个式子，切线的斜率等于曲线在的导数，得到另外一个式子，联立可求实数，的值；（Ⅱ）函数在闭区间的最值在极值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值.【详解】解：（Ⅰ），∵曲线在处的切线方程为，∴解得，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，令，解得，∴在上单调递减，在上单调递增， 又，，，∴在区间上的最大值为，最小值为.【点睛】本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题.20.已知数列满足，．（1）设，求证:数列等比数列;（2）求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）将变形为，得到为等比数列，（2）由（1）得到的通项公式，用错位相减法求得【详解】（1）由，，可得，因为则，，可得是首项为，公比为的等比数列，（2）由（1），由，可得，，，上面两式相减可得：，则．【点睛】数列求和的方法技巧： (1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4)裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.21.设椭圆的焦距为，原点到经过两点的直线的距离为.（1）求椭圆的离心率；（2）如图所示，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的标准方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意得，进而求解离心率即可；（2）根据题意得圆心是线段的中点，且，易知 斜率存在，设其直线方程为，再结合韦达定理及弦长公式求解即可.【小问1详解】解：过点直线方程为，∴原点到直线的距离，由，得，解得离心率.【小问2详解】解：由（1）知，椭圆的方程为.依题意，圆心是线段的中点，且.易知，不与轴垂直，设其直线方程为，联立，得.设，则，.由，得，解得.所以.于是.由，得，解得.故椭圆的方程为.22.已知函数． （1）讨论的单调性：（2）若对恒成立，求的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】【分析】（1）求导得，在分，两种情况讨论求解即可；（2）根据题意将问题转化为对恒成立，进而构造函数，求解函数最值即可.【小问1详解】解：函数的定义域为，．当时，令，得，令，得；当时，令，得，令，得．综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．【小问2详解】解：由（1）知，函数在上单调递增，则，所以对恒成立等价于对恒成立．设函数，则，设，则，则在上单调递减，所以，则， 所以在上单调递减，所以；故，即的取值范围是．