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山西省运城市2021-2022学年高二数学下学期期末调研测试试题(Word版带答案)
山西省运城市2021-2022学年高二数学下学期期末调研测试试题(Word版带答案)
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运城市2021-2022学年第二学期期末调研测试高二数学试题2022.7一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若全集,集合,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域求出集合,再求交集即可.【详解】因为,所以,故选:A.2.已知函数,则的值域为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先求出的范围,然后可得答案.【详解】因为,所以,所以,故选:D3.已知函数为上的偶函数,则实数()A.B.或C.或D.【答案】B【解析】【分析】由已知结合偶函数定义,代入即可求得结果.\n【详解】解:因为函数为上的偶函数,所以,即,所以,即,所以或.故选:B.4.某社区服务站将5名抗疫志愿者分到3个不同的社区参加疫情防控工作,要求每个社区至少1人,则不同的分配方案有()A.60种B.90种C.150种D.300种【答案】C【解析】【分析】先分类,分到3个社区的志愿者人数分别为3,1,1或2,2,1,再求出两种情况下的不同分配方案.【详解】若3个社区的志愿者人数分别为3,1,1,此时不同的分配方案有种,若3个社区的志愿者人数分别为2,2,1,此时不同的分配方案有种,∴不同的分配方案共有种故选:C.5.“”是“函数有且只有两个零点”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件\n【答案】A【解析】【分析】求出函数有且只有两个零点的充要条件即可判断.【详解】解:因为当时,有一零点,要使函数有两个零点,所以当时必有一个零点,即有一个非正解.即在上有解,所以,又因为,所以“”是“函数有且只有两个零点”必要不充分条件.故选:A.6.已知函数,,则如下部分图像对应的函数可能是()A.B.C.D.【答案】C【解析】\n【分析】分析各选项中函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号,结合排除法可得出合适的选项.【详解】对于A选项,令,函数的定义域为,,所以,函数为奇函数,与题图不符;对于B选项,令,对任意,,即函数的定义域为,,所以,函数为奇函数,与题图不符;对于C选项,,函数的定义域为,,函数为偶函数,与题图相符,当时,,,则,与题图相符;对于D选项,,由,可得,故函数的定义域为,与题图不符.故选:C.7.已知函数,则关于的不等式的解集为()AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】构造函数,分析可知函数为偶函数,且在上为减函数,由已知可得出,可得出,结合对数函数的单调性解\n此不等式即可得解.【详解】构造函数,,则函数为偶函数,且该函数在上为减函数,由可得,即,所以,,可得,即,解得.因此,不等式的解集为.故选:D.8.已知,且,则下列一定正确的为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式即可判断A;举出反例即可判断BCD.【详解】解:对于A,,当且仅当时,取等号,所以,故A正确;对于B,若,则,故B错误;对于C,若,则,故C错误;对于D,若,则,故D错误.故选:A.9.已如图所示,函数的图象由两条射线和三条线段组成.\n若,则正实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出函数、的解析式,再借助函数性质及图象变换,列出不等式,求解作答.【详解】由图象知,,,显然函数是奇函数,则,因此,函数的图象与的图象没有公共点,而的图象是的图象向右平移2个单位而得,于是得,当且仅当,解得,而,即有,所以正实数的取值范围为.故选:D10.已知是定义在的函数,对任意两个不相等的正数,都有,记,则()A.B.\nC.D.【答案】C【解析】【分析】由可知函数是上的减函数,结合自变量的大小比较函数值即实数a,b,c的大小即可.【详解】因为是定义在上的函数,对任意两个不相等的正数,都有,任取故,化简得:,∴函数是上的减函数,因为,,所以,同理,所以,又因为,所以,所以,故选:C.11.若函数图象关于对称,则的最大值为()A.16B.15C.9D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】根据对称性求得,利用导数求得的最大值.【详解】关于直线对称,\n,,解得,所以,,令解得或或,所以在区间递增;在区间递减,结合的对称性可知:当或时,取得极大值也即是最大值,.故选:A12.已知函数的定义域为R,且函数的图象关于点对称,对于任意的,总有成立,当时,,函数,对任意,存在,使得成立,则满足条件的实数的取值集合为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题干条件,可得为奇函数,且周期为4,根据时的解析式,可求得在上的值域,结合函数的性质,可得在R上的值域为,分析可得只需在上有解即可,根据的解析式,分析计算,即可得答案.【详解】因为函数的图象关于点对称,\n所以图象关于点(0,0)对称,即为定义在R上的奇函数,,因为,所以,即的周期为4,又当时,,所以,即,因为时,,所以当时,,因为为奇函数,所以当时,所以对于任意的,,因为对任意,存在,使得成立,所以只需在上有解即可,即在上有解,整理得在上有解即可,当t=2时,可得所以,所以满足条件的实数的取值集合为.故选:B【点睛】解题的关键是需熟练掌握函数的周期性、奇偶性等性质,并灵活应用,难点在于需求出的值域,进而分析可得只需在上有解即可,根据存在性问题解题方法,即可得答案,二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.的展开式中,各项系数的和为___________.【答案】0【解析】\n【分析】利用赋值法求得正确答案.【详解】由,令得各项系数的和为.故答案为:14.已知函数,则___________.【答案】3【解析】【分析】根据时,,可得当时,函数是以2为周期的一个周期函数,再根据函数的周期性即可得解.【详解】解:当时,,所以当时,函数是以2为周期的一个周期函数,则.故答案为:3.15.已知函数是上的奇函数,对任意,都有成立,当,且时,都有,有下列四个结论:①②点是函数图象的一个对称中心;③函数在上有2023个零点;④函数在上为减函数;则所有正确结论的序号为___________.【答案】①②③【解析】【分析】结合函数的奇偶性、单调性、周期性对个结论进行分析,从而确定正确答案.【详解】依题意是定义在上的奇函数,由于当,且时,都有,\n即所以在区间上递增,由,以替换得,由,令得,所以,所以,所以是周期为的周期函数.所以,,以此类推可知,,,以此类推可知,所以,①正确.由上述分析可知,所以,所以关于对称,结合是周期为的周期函数可知关于点对称,②正确.对于③,由,以替换得,所以关于直线对称,是奇函数,,在上递增在上递增;则在上递减.结合是周期为的周期函数,以及,可知函数在上有2023个零点,③正确.对于④,结合上述分析可知,在上递增,在上递减.\n由于是周期为的周期函数,所以在,即上递增,所以④错误.故答案为:①②③16.已知函数,对,总存在实数,使得不等式成立,则实数的取值范围___________.【答案】【解析】【分析】求得在区间上的最大值的最小值,从而求得的取值范围.【详解】设的最大值为,令,,当时,,,所以当时,单调递增,,当时,,当时,,所以当时,时,取得最小值,.当时,在上递增,在上递减,当时,,当时,,\n当时,,当时,,依题意,总存在实数,使得不等式成立,所以.故答案为:三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数,(1)当时,求不等式的解集.(2)求不等式的解集.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】【分析】(1)根据一元二次不等式的解法解出即可;(2)由可得,然后分、、三种情况讨论求解即可.【小问1详解】当时,,解得为,所以解集为小问2详解】由可得,①当,即时,不等式解集为;\n②当,即时,不等式可化为,此时解集为;③当,即时,不等式解集为综上所述,当时,解集;当时,解集为;当时,解集为.18.在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起,若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,3,…,6),以X表示排在甲、乙两单位演出之间的其他演出单位个数,以Y表示甲,乙都演出结束时,其他已演出单位的个数.(1)求;(2)求随机变量Y的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列答案见解析,【解析】【分析】(1)只考虑甲、乙两单位演出的相对位置,则可用组合数来计算基本事件,结合古典概型即可得解;(2)写出随机变量的所有取值,再求出对应概率,即可写出分布列,再根据期望公式求出数学期望即可.【小问1详解】解:只考虑甲、乙两单位演出的相对位置,则;【小问2详解】解:Y的可能取值为0,1,2,3,4,\n,,,,,故Y的分布列为Y01234P.19.为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情,某校举办了“我爱古诗词”对抗赛,在每轮对抗赛中,高二年级胜高三年级的概率为,高一年级胜高三年级的概率为,且每轮对抗赛的成绩互不影响.(1)若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛,求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率;(2)若高一年级与高三年级进行对抗,高一年级胜2轮就停止,否则开始新一轮对抗,但对抗不超过5轮,求对抗赛轮数X的分布列与数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析;期望为【解析】【分析】(1)先求得高三年级胜高二年级的概率,再根据相互独立事件的概率计算公式求解即可;(2)先确定出X的所有可能取值,分别求出相应概率,从而列出分布列,求得数学期望.\n【小问1详解】由题意,知高三年级胜高二年级的概率为.设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出,“至少有3轮胜出”的概率为P,则.【小问2详解】由题意可知,3,4,5,则,,,,故X的分布列为X2345P.20.电影院统计了某电影上映高峰后连续10场的观众人数,其中每场观众人数y(单位:百人)与场次x的统计数据如表:123456789102通过散点图可以发现与之间具有相关性,且满足经验关系式:,设.(1)利用与的相关性及表格中的前8组数据求出与之间的回归方程(结果保留两位小数);\n(2)如果每场观众人数超过1.2(百人),称为“满场”.从表格中的10组数据中随机选出8组,设表示“满场”的数据组数,求的分布列及数学期望.附:.前8组数据的相关量及公式:,对于样本,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为【答案】(1);(2)分布列答案见解析,数学期望:.【解析】【分析】(1)根据对数的运算性质,结合题中数据以及题目所给的公式进行求解即可;(2)根据古典概型运算公式,结合数学期望公式进行求解即可.【小问1详解】对两边求对数得:设,又,则,,,∴,∴,\n∴y与x之间的回归方程为,即;【小问2详解】ξ的可能取值2,3,4,,,,ξ234P.21.已知函数,.(1)若函数在区间上有零点,求实数的取值范围;(2)设,若对于任意,都有,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由结合参变量分离法可得出,则直线与函数在区间内的图象有公共点,数形结合可得出实数的取值范围;(2)由已知可得,求得,则,构造函数,利用导数分析函数在上的单调性,注意到,结合函数的单调性可求得的取值范围.\n【小问1详解】解:,其中,由可得,则,则直线与函数在区间内的图象有公共点,且,故函数在上单调递增,如下图所示:【小问2详解】解:因为且,所以且,因为,故当时,,因为,所以,只需,即,\n设,其中,,所以,在上单调递增,又,因为,即,所以,所以的取值范围是.【点睛】方法点睛:利用导数解决函数零点问题的方法:(1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图象,然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用;(2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;(3)参变量分离法:由分离变量得出,将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.22.已知函数,.(1)若,对,使得成立,求实数的取值范围;(2)若函数与的图象有且只有一个公共点,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由已知,利用基本不等式求得,可得出,令,分离参数可得,利用函数的单调性求出函数在上的最大值,即可得出实数的取值范围;(2)令,分析可知关于的方程有且只有一个正根,分、\n、三种情况讨论,在时,直接求出方程的根,验证即可;在、这两种情况下,利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组,综合可解得实数的取值范围.【小问1详解】解:,即,若,使得成立,只需要成立因为,由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,所以,,则,因为,令,分离参数可得,令,其中,任取、且,则,当时,,,则,当时,,,则,所以,函数在上单调递减,在上单调递增,\n故,.【小问2详解】解:由(1)可得,由题意知,方程有且只有一个实根,即方程有且只有一个实根,令,则方程有且只有一个正根,即方程有且只有一个正根,构造函数.①当时,,令,解得,不合乎题意;②当时,则,二次函数的图象开口向下,对称轴为直线,,由于,要使得方程有且只有一个正根,则,解得;③当时,则,,设方程的两根分别为、,由韦达定理可得,,则方程有且只有一个正根.综上所述,实数的取值范围是.【点睛】方法点睛:本题考查利用二次函数的零点分布求参数,一般要分析以下几个要素:\n(1)二次项系数的符号;(2)判别式;(3)对称轴的位置;(4)区间端点函数值的符号.结合图象得出关于参数的不等式组求解.
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高中 - 数学
发布时间:2022-07-29 20:00:04
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