湖南省长沙市A佳教育联盟2022-2023学年高一数学下学期3月联考试题（Word版附解析）

A佳教育·2023年3月高一月考测试卷数学（本试卷共4页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，将答题卡上交.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数为纯虚数，则实数的值为（）A.B.0C.1D.0或1【答案】C【解析】【分析】根据题意和纯虚数的概念可得，解之即可.【详解】因为为纯虚数，所以，解得.故选：C.2.已知向量，，且，则等于（）A.B.C.10D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标公式直接运算即可. 【详解】由，及，得，所以，故选：D3.秀峰公园里有块周长为46米的扇形花田，其弧长30米，则这块扇形花田的圆心角的弧度数是（）A.B.C.D.120【答案】A【解析】【分析】利用扇形的周长和扇形的弧长公式计算即可.【详解】设扇形的圆心角为，半径为,弧长为，则由扇形周长为46得：，所以则，故选：A.4.已知，则“”是“”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解两个不等式，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解不等式，得即，则，解不等式，得.所以“”是“”成立的必要不充分条件，即“”是“”成立的必要不充分条件.故选：B.5.函数的大致图像是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先判断函数奇偶性，再判断趋近于时函数值的大小.【详解】,故函数为奇函数，故排除A、C;当趋近于，则趋近于0，则趋近于，又在趋于时增速远比快，故趋近于0，故当趋近于时，趋近于0，故排除D;故选：B.6.命题：，使得成立.若是假命题，则实数取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据命题的否定的真假性分离常数，结合基本不等式的知识求得的取值范围.【详解】因为命题：，使得成立，所以命题的否定为：，成立，而是假命题，故命题的否定为真命题. 所以在上恒成立，因为，当且仅当时，等号成立，所以，即.故选：A7.点是所在平面内的一点，当且时，的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用三角形中向量运算，先后判断出点是三角形重心，垂直平分，进而即可判断三角形形状.【详解】因为，所以是的重心，又，所以垂直平分，所以为等腰三角形.故选：A8.已知定义在上的函数，满足，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，，不等式恒成立，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据条件判断是奇函数，结合不等式的性质，构造函数，研 究函数的奇偶性和取值情况，进行求解即可.【详解】由题知的图象关于点中心对称，所以关于中心对称，因为定义域为，所以为奇函数，记，当时，，即，所以在上单调递减，因为，所以在上为偶函数，所以在上单调递增，因为，，是在上为偶函数，且在上单调递增，所以当，单调递减，，而，所以，当，单调递减，，而，所以，因为为奇函数，所以的解集为.故选：C.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列不等式成立的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，，则【答案】BD【解析】【分析】当时，即可判断A；当，即可判断C；根据不等式的基本性质即可判断C，D．【详解】对于A，当时，则，故A错误；对于B，由，则，，故B正确；对于C，当，则，故C错误； 对于D，由，，则，所以，故D正确．故选：BD．10.下列命题中正确的是（）A.在中，B.若，则C.若，则D.【答案】ACD【解析】【分析】根据三角形内角和与诱导公式化简可判断A；根据平方公式可判断B；根据平方关系与商数关系齐次转化可判断C；根据正切两角和公式可判断D.【详解】在中，，所以，故A正确；若，则，故B不正确；若，则，故C正确；，故D正确.故选：ACD.11.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（）A.B.C.的外接圆半径为D.中线的长为 【答案】ABC【解析】【分析】由题设及正弦定理得，再结合已知条件求，，即可判断A；应用余弦定理求角C即可判断B；正弦定理求外接圆的半径即可判断C；根据向量的线性运算，结合选项A和数量积的性质求解模长即可判断D．【详解】因为满足，所以由正弦定理得，设，，，因为的面积，所以，解得，即，因此A正确；对于B，由余弦定理得，又是三角形内角，因此，因此B正确；对于C，由正弦定理知外接圆直径为，则外接圆半径为，因此C正确；对于D，因为是的中线，所以，结合选项A得，即，因此D不正确．故选：ABC．12.在等腰梯形中，，且，点在梯形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（） A.当点与重合时，B.当点与梯形对角线的交点重合时，C.的取值范围为D.的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】根据所给条件，求出等腰梯形的特点，由向量的平行四边形法则判断A选项，由三角形相似得出，计算向量判断B选项，由平面向量基本定理判断C，由数量积的几何意义判断D，得出结果.【详解】为等腰梯形，则，，由余弦定理可知，即，在中，，，，解得：，且.A选项：取中点，则四边形为平行四边形，当与重合时，，故A错误；B选项：因且，所以，故B正确；C选项：由平面向量基本定理知：当与重合时，当与重合时，，所以，C正确；D选项：因，由等于在上的投影向量与的数量积可知，当与重合时，取最大值2，当与重合时，取最小值.故D正确.故选：BCD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数在单调递减，则________.【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解.【详解】根据幂函数的定义和性质，得，解得.经检验，符合题意.所以故答案为：-2.14.已知，，，则与的夹角为______.【答案】【解析】【分析】根据向量的数量积概念及运算律，即可求出结果.【详解】，所以，所以.又，所以.故答案为：15.如图所示,正方形边长为6,圆的半径为1,是圆上任意一点,则的最小值为________. 【答案】【解析】【分析】以为原点建立直角坐标系,然后结合三角函数的定义将所求向量坐标化,就可以求出最值.【详解】如图以为原点坐标,为轴,为轴建立直角坐标系:则,,设,,则,当且仅当即时等号成立.∴的最小值为.故答案为:.16.已知函数，.若，则实数________；若对，总使成立，则实数的取值范 围为________.【答案】①.②.【解析】【分析】首先分别求出与，然后根据得，解方程即可求出的值；首先设的值域为，的值域为，再根据的函数解析式求出的值域，根据题意得出，进而根据集合的包含关系求出参数的取值范围.【详解】，，由，得，解得；设的值域为，的值域为，由题意.为偶函数且在为增函数，所以当时，的最大值为，最小值为，故.当时，，当时，为增函数，值域为，要使，则在连续且，即，解得.故答案为：；四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合， （1）若，求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）确定集合，再根据集合的并集，补集，交集运算即可；（2）根据得，讨论和时，即可求得实数的取值范围.【小问1详解】∵当时，集合，集合∴∵∴.【小问2详解】若，∴∴当时，，解得当时，，解得，满足题意；综上所述：实数的取值范围是.18.已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意得到，再结合即可得到答案.（2）首先根据题意得到，从而得到，再根据求解即可.【小问1详解】因为所以，所以由于，所以.【小问2详解】由所以，即.而所以.19.已知函数是定义域为的奇函数.（1）求的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质可得，计算即可求出a； （2）利用函数的奇偶性和单调性解原不等式可得，设，，根据换元法和二次函数的性质即可求解.【小问1详解】由函数为奇函数且定义为R，∵，当时，可得，故，则，得，经检验，符合题意，故；【小问2详解】由（1）可知，函数在上为减函数，由，得，所以，设，，则，又函数图象是一条抛物线，开口向下，对称轴为，所以在上，，所以，得，故实数的取值范围.20.在中,角的对边分别为,且满足.（1）求角;（2）若为边的中点,且,,求的周长.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】(1)由正弦定理将边化角,然后利用内角和定理将转化成即可求解;(2)分别在两个三角形中用余弦定理即可求解出各边长,从而求出周长.【小问1详解】在中因,由正弦定理得,所以,即,又因为,,所以,所以.【小问2详解】取边的中点,连接,则，且,，在中,由余弦定理得:,解得,所以.在中,由余弦定理得:所以的周长为.21.为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产台需要另投入成本（万 元），当年产量不足45台时，万元，当年产量不少于45台时，万元.若每台设备的售价与销售量的关系式为万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完.（1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？【答案】（1）（2）当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万【解析】【分析】（1）根据题目给出的函数解析式，利用收益减去成本，可得答案；（2）根据二次函数性质以及基本不等式，可求得最值，可得答案.【小问1详解】当，时，；当，时，；综上所述：【小问2详解】 当，时，，则当时，的最大值为650；当，时，（当且仅当，即时等号成立）；∴当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万.22.已知函数，将的图象向左平移个单位得的图象.（1）求的最小正周期与单调递增区间；（2）若方程在有且仅有一个零点，求实数取值范围.【答案】（1），（2）或.【解析】【分析】（1）化简的解析式，然后根据图象的平移变换得到的解析式，最后求最小正周期和单调区间即可；（2）利用换元的思想令，将方程在上有且仅有一个零点转化为在有且仅有一个零点，然后分和两种情况讨论即可.【小问1详解】， 所以，所以的最小正周期，由，得，所以的单调递增区间为.【小问2详解】因得，所以且单调递增，设，所以，所以原方程等价于在有且仅有一个零点设，，①当时，，合题意，②当时，（i）若，得，由方程解得，合题意，（ii）若，得，由方程解得，合题意，（iii）若，则或，解得或或，综上所述：或.