湖南省郴州市教研联盟2022-2023学年高一数学上学期期末联考试题（Word版附解析）

郴州市2022年教研联盟高一期末联考数学一、单项选择题（共8题，共40分）1.已知全集，集合或或，则集合（）A.B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】根据，集合或先确定，再根据或，求即可.【详解】，或或，故选：C2.已知，则“存在使得”是“”的（）．A充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件，必要条件定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在使得时，若为偶数，则；若为奇数，则；(2)当时，或，，即 或，亦即存在使得．所以，“存在使得”是“”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.3.若，则的最小值为A.-1B.3C.-3D.1【答案】A【解析】【详解】分析：代数式可以配凑成，因，故可以利用基本不等式直接求最小值.详解：，当且仅当时等号成立，故选A.点睛：利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，有时题设给定的代数式中没有和为定值或积为定值的形式，我们需要对代数式变形，使得变形后的代数式有和为定值或者积为定值.特别要注意检验等号成立的条件是否满足.4.已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A.B.{或}C.D.或【答案】A【解析】【分析】根据不等式的解集求出，代入不等式中，化简求出不等式的解集．【详解】解：因为不等式的解集为， 的两根为，2，且，即，，解得，，则不等式可化为，解得，则不等式的解集为．故选：A.5.设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当时，的解析式为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】当时，由可得出的表达式；当时，由函数的周期性和奇偶性可得出.综合可得结果.【详解】当时，，，当时，，，因为函数为偶函数，则，综上所述，当时，.故选：C.6.函数的图象大致为（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．7.是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有，且当x∈[﹣2，0]时，．若在区间（﹣2，6]内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则a的取值范围是A.（1，2）B.（2，+∞）C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知是定义在R上的周期为4的函数；从而作函数与的图象，从而结合图象解得．【详解】解：∵对x∈R，都有，∴是定义在R上的周期为4的函数；作函数与的图象如下， 结合图象可知，，解得，≤a＜2；故选：D．8.已知，函数在上单调递减，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先由两角和的正弦公式可得，再利用函数在上单调递减，列不等式组求解即可.【详解】解：因为，所以，因为，函数在上单调递减，所以， 得.当时，，所以，解得，故选:.【点睛】本题考查了两角和的正弦公式及利用函数的增减性求参数的范围，重点考查了运算能力，属中档题.二、不定项选择题（共4题，20分）9.若是的必要不充分条件，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】解方程，根据题意可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.详解】由，可得或.对于方程，当时，方程无解；当时，解方程，可得.由题意知，，则可得，此时应有或，解得或.综上可得，或.故选：BC.10.已知关于的不等式的解集为，则（）A.的解集为 B.的最小值为C.的最大值为D.的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系，得到，，然后逐项判断.【详解】∵不等式的解集为，根据根与系数的关系，可得，，则可化为，解得，∴A正确；，∴B正确；，∵，∴，当且仅当，即时取等号．即，故的最大值为，∴C正确，D错误．故选：ABC11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（） A.是偶函数B.是奇函数C.在上是增函数D.的值域是【答案】BCD【解析】【分析】取特值计算判断A；分析函数的性质判断B，C；求出的值域结合高斯函数意义判断D作答.【详解】依题意，，因，，即，则函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；因，则是奇函数，B正确；因函数在R上递增，在R上递减，则在R上是增函数，C正确；因，有，即，则，因此，D正确.故选：BCD12.设函数，已知在有且仅有个零点，对于下列个说法正确的是（）A.在上存在，，满足B.在有且仅有个最大值点C.在单调递增 D.的取值范围是【答案】AD【解析】【分析】利用三角函数图象及周期的计算，由有且仅有个零点来得区间长度的大致位置，进而解的范围，再判断区间单调性．由题意根据在区间有个零点画出大致图象，可得区间长度介于周期，再用表示周期，得的范围，进而求解即可．【详解】画出大致图象如下图，当时而，所以时先单调递增，函数在仅有个零点时，则的位置在之间包括，不包括，令，则得，，轴右侧第一个零点为，周期，所以，所以D正确．在区间上，函数可达到最大值和最小值，所以存在，，满足，所以A正确，由大致图象得，可能有两个最大值，不一定正确； 因为最小值为，所以时，，但，所以，函数不单调递增，所以不正确．故选：．三、填空题（共4题，共20分）13.已知集合，且，则实数a的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】根据补集的概念，求出，再由，即可得出结果.【详解】因为，所以或，又，，所以只需，即实数的取值范围为.故答案为：14.已知函数的值域是，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【详解】试题分析：设，由已知条件可知可取到上的所有值，当时满足题意，当时需满足，解不等式得或，所以实数的取值范围是考点：函数性质15.已知．若对任意的，均有 或，则的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】由，得，所以在上恒成立，结合二次函数的性质求解即可.【详解】解：因为，令，得，又因为对任意的，或，所以在上恒成立，易得时，不满足；故由二次函数性质可知，解得，所以的取值范围是.故答案为：16.已知函数，若在区间内单调递增，且函数的图象关于对称，则函数的最大值为__________，___________.【答案】①.1②.【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数为；由正弦型函数值域可确定值域，进而得到最大值；根据正弦型函数对称中心可构造方程求得 ；利用单调性可构造不等式组求得的范围，进而确定的值，从而得到结果.【详解】，即关于对称，，在内单调递增，解得：，且，故答案为：；【点睛】本题考查正弦型函数的值域的求解、根据正弦型函数的单调性和对称中心求解参数值的问题；关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的性质，确定参数所满足的方程或不等关系，进而确定参数的值.四、解答题（共5题，共70分）17.已知函数是定义在上的奇函数，且（1）求函数的解析式；（2）证明：是增函数.【答案】（1）（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）先根据函数的奇偶性和可求得参数的值便可求出函数解析式.（2）根据函数单调性的定义证明函数的单调性.【小问1详解】解：由题意得：函数是定义在上的奇函数，即又【小问2详解】由（1）得：设故此，即所以在区间在是增函数.18已知函数.（1）若，解不等式； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，解一元二次不等式即可作答.（2）根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立列出不等式，求解不等式作答.【小问1详解】当时，，因此，解得，所以原不等式的解集为.【小问2详解】依题意，，，当时，，解得，不合题意，因此，二次函数值恒小于0，则，且，化简得：，解得或，于是得，所以实数的取值范围是.19.已知是幂函数，且在上单调递增．（1）求的值；（2）求函数在区间上的最小值．【答案】（1）4（2）当时，；当时，，当时，． 【解析】【分析】（1）根据函数是幂函数知，求解后根据函数在上单调递增即可求m（2）化简，根据二次函数的对称轴与的关系分三类讨论，可求出函数的最小值.【详解】（1）是幂函数，∴，解得或；又在上单调递增，∴，∴的值为4；（2）函数，当时，在区间上单调递增，最小值为；当时，在区间上先减后增，最小值为，当时，在区间上单调递减，最小值为．【点睛】本题主要考查了幂函数的定义与性质，二次函数分类讨论求最小值，属于中档题.20.已知函数（1）若为奇函数，求的值（2）若在内有意义，求的取值范围（3）在（1）的条件下，若在区间上的值域为，求区间【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据题意得到，从而得到 ，再解方程即可.（2）根据题意得到的定义域为，再根据在内有意义，即可得到.（3）首先利用复合函数的单调性得到在为减函数，从而得到，，再解方程即可得到答案.【详解】（1）因为为奇函数，所以.所以，即，解得或.当，，舍去.当，，定义域为，关于原点对称，符合题意.所以.（2）因为，所以，即.又因为在内有意义，所以得到的定义域为，所以.（3）由（1）知：，定义域为.令，则，为减函数.所以在为减函数.因为在区间上的值域为，所以，，解得.所以区间为【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，同时考查了函数的定义域，属于中档题. 21.已知函数.（1）求的值；（2）求的最小正周期和单调递增区间；（3）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）2；（2）；，；（3）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，即可代入，求出结果；（2）根据最小正周期的公式即可计算出周期，令可解出单调递增区间；（3）先求出解析式，则该题等价于在上有且仅有两个实数，满足，结合函数图象即可求出范围.【详解】（1）∵函数，∴，故（2）由函数的解析式为可得，它的最小正周期为.令，求得，可得它的单调递增区间为，.（3）将函数的图象向右平移个单位， 得到函数的图象，若函数在上有且仅有两个零点，则在上有且仅有两个实数，满足，即.在上，，∴，求得.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查最小正周期和单调区间的求解，考查三角函数的零点问题，属于中档题.