湖南省长沙市浏阳市2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

2022年下学期期末考试试卷高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设全集，集合，B={1，2，3}，则（）∩B=（）A.{1}B.{1，2}C.{2，3}D.{1，2，3}【答案】C【解析】【分析】先计算出，再计算即可.【详解】.故选：C.2.半径为2，圆心角为1弧度的扇形的面积是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据扇形面积公式即可代入求解.【详解】由扇形面积的计算公式可得,故选：B3.双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流，放电时间为（）A.28hB.28.5hC.29hD.29.5h【答案】B【解析】【分析】根据题意求出蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可 得解.【详解】解：根据题意可得，则当时，，所以，即当放电电流，放电时间为28.5h.故选：B.4.根据表中数据，可以判定方程的一个根所在的区间为（）x01230.3712.277.3920.0912345A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出方程对应得函数，然后利用表格分别求出，，，，然后利用零点存在定理判断即可.【详解】令，则，，，，，得，由零点存在定理可知：函数的存在零点位于区间内，即方程的一个根所在区间为．故选：C5.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中，若要求每天获利不少于 1300元，则日销量x的取值范围是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】由题意求得利润函数，然后解不等式即可得．【详解】由题意日销量x件时，利润是，，，．故选：B．6.若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，，，，解得，，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.7.某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫 克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为，其中k为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（）A.1%B.2%C.3%D.5%【答案】C【解析】【分析】由题意得，当时，，求得，再将代入即可得出答案.【详解】由题意得，当时，，所以，则当时，，因为，所以，即再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的.故选：C.8.函数图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用时，值为正即可判断作答. 【详解】函数定义域为R，，即是奇函数，A，B不满足；当时，即，则，而，因此，D不满足，C满足.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.9.已知幂函数图像经过点．则下列命题正确的有（）A.函数在上为增函数B.函数为偶函数C.若，则D.若，则【答案】C【解析】【分析】设，代入可求得；由定义域知AB错误；根据幂函数单调性可知C正确；作差法可证得，由此知D错误.【详解】设，则，解得：，；对于AB，定义域为，定义域不关于原点对称，AB错误；对于C，在上单调递增，当时，，C正确；对于D，当时，， ，又，，D错误.故选：C.10.下列说法正确的是（）A.命题p：x，y(0，1)，x＋y＜2，则p：x0，y0(0，1)，x0＋y0≥2B.“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分不必要条件C.“|x|＞|y|”是“x＞y”的必要条件D.“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m=0有一正一负根”的充要条件【答案】ABD【解析】【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可以判断选项A，举反例可以判断BC，根据方程根的分布可以判断D.【详解】选项A：命题p：x，y(0，1)，x＋y＜2，否定为：x0，y0(0，1)，x0＋y0≥2故A选项正确；选项B：由时，所以充分性成立，当时，，但是，故必要性不成立所以“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分不必要条件故B选项正确；选项C：，但是，所以|x|＞|y|不一定推出x＞y反之，，但是，所以x＞y不一定推出|x|＞|y所以“|x|＞|y|”是“x＞y”的既不充分也不必要条件故C错误；选项D：关于x的方程x2－2x＋m=0有一正一负根 设为，则所以“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m=0有一正一负根”的充要条件故选项D正确；故选：ABD.11.设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（）A.的最小值为2B.的最大值为1C.的最大值为4D.的最小值为【答案】AB【解析】【分析】根据基本不等式及“1”的技巧判断AB，根据重要不等式判断CD即可.【详解】∵，∴，当且仅当，即时等号成立，故A正确；，∴，当且仅当时，等号成立，故B正确；，，当且仅当时等号成立，最大值为2，故C错误；，当且仅当时等号成立，故D错误．故选：AB12.已知是定义在R上的奇函数，当时，，若关于x的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之 和为（）A.4B.C.D.8【答案】BD【解析】【分析】根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解.【详解】作出函数在时的图象，如图所示，设，则关于的方程的方程等价于解得：或，如图，当时，即对应一个交点为，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：（1），即对应3个交点，且，此时4个实数根之和为8；（2），即对应3个交点，且，此时4个实数根之和为，综上，4个实数根之和为或.故选：BD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.用列举法表示______．【答案】【解析】【分析】根据且求出值，即可求出，从而列举即可.【详解】解：因为且，所以或或或，解得或或或，所以对应的分别为、、、，即；故答案为：14.已知为锐角，且，则的值为__________.【答案】##【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系和诱导公式求解.【详解】因为为锐角，且，所以，所以，故答案为:.15.已知指数函数是减函数，若，，，则m，n，P的大小关系是__________.【答案】【解析】【分析】根据指数函数性质可知，由此可推断出m，n，p的取值范围继而得到大小关系. 【详解】因为指数函数是减函数，所以由此可知；；，故故答案为：16.已知函数，则__________.【答案】2023【解析】【分析】确定的图象关于对称，进而可得，即可求解.【详解】因为，所以，设，所以为奇函数，所以关于对称，所以的图象关于对称，所以，所以，故答案为：2023四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知不等式的解集为或．（1）求，的值；（2）为何值时，的解集为． （3）解不等式．【答案】（1）；；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）由题可知和是方程的两根，利用根与系数的关系可求得、的值；（2）由题意可得出，即可求得实数的取值范围；（3）将所求不等式变形为，对和的大小关系进行分类讨论，利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集.【小问1详解】由题意知，和是方程的两根，则，得，所以方程为，由韦达定理可得，解得；【小问2详解】由题意可知，关于的不等式的解集为，所以，，解得；【小问3详解】不等式，所以，即，①当时，原不等式的解集为；②当时，原不等式的解集为； ③当时，原不等式无解；综上知，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．18.已知、是方程的两个实数根.（1）求实数的值；（2）求的值；（3）若，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据韦达定理及同角关系式即得；（2）根据同角关系式化简即得；（3）由题可得，然后利用二倍角公式即得.【小问1详解】因为、是方程的两个实数根，由韦达定理得，由，则， 所以；【小问2详解】；【小问3详解】因为，所以  ，所以，因为 ，所以，，，所以.19.已知函数为奇函数，且（1）求f（x）；（2）求证：f（x）在区间[1，+∞）上单调递增；（3）若对任意的都有，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】 【分析】(1)根据奇函数的概念求出参数，再检验，即可求解；(2)由(1)，利用定义法直接证明即可；(3)根据(2)可得，即，解之即可.【小问1详解】由f（x）为奇函数，定义域为可得，即，解得，.又，有，所以，对任意，满足f（x）为奇函数.综上：.【小问2详解】对任意x1，，且，有，由，可得，则，即，所以f（x）在[1，+∞）上单调递增；【小问3详解】由f（x）在[1，+∞）上单调递增.可得对任意，因为对任意的都有.所以，解得，即实数m的取值范围是.20.1.2015年11月30日，习近平主席在巴黎气候大会的讲话中宣布：“中国将于明年启动在发 展中国家开展10个低碳示范区，100个减缓和适应气候变化项目及1000个应对气候变化培训名额的合作项目.”某企业在国家科研部门的支持下，计划在国启动减缓气候变化项目，重点进行技术攻关，将采用新工艺，把细颗粒物转化为一种可利用的化工产品.已知该企业处理成本（亿元）与处理量（万吨）之间的函数关系可近似地表示为,另外技术人员培训费为2500万元，试验区基建费为1亿元.（附：投入总成本处理成本技术人员培训费试验区基建费，平均成本）（1）当时，若计划在国投入的总成本不超过5亿元，则该工艺处理量的取值范围是多少？（2）该企业处理量为多少万吨时，才能使每万吨的平均成本最低，最低是多少亿元？【答案】（1）（2）处理量为万吨时，每万吨的平均成本最低，最低是亿元.【解析】【分析】（1）在时，求出此时的总成本函数，列出不等式，解出该工艺处理量的取值范围；（2）分和两种情况，表示出两种情况下每万吨的平均成本函数，结合函数特点分别求出最小值，比较得出答案.【小问1详解】2500万元为亿元设该企业计划在A国投入的总成本为（亿元），则当时，，依题意：，即，解得，结合条件，. 【小问2详解】依题意，该企业计划在A国投入的总成本:①当时，，则，当且仅当，即时，的最小值为，②当时，，当，即时，的最小值为，∵当时，的最小值为.21.对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，其中k为整数，则称函数为定义域上的“k阶局部奇函数”.（1）已知函数，试判断是否为上的“2阶局部奇函数”？并说明理由；（2）若是上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若，对任意的实数，函数恒为上的“k阶局部奇函数”，求整数k取值的集合.【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据题意，为上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程在上有解，列出方程，解方程即可；（2）由“1阶局部奇函数”的定义，列出方程，讨论方程成立并有解时参数的取值范围；（3）根据“k阶局部奇函数”定义，转化对任意的实数，函数恒为上的“k阶局部奇函数”，为对任意的实数恒成 立问题，讨论二次项系数是否为零，不为零时讨论恒成立，再令，求解，即可.【详解】（1）为上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程在上有解，即：，化简得：，解得：所以是上的“2阶局部奇函数”.（2）由是上的“1阶局部奇函数”，且要满足，所以.因为是上的“1阶局部奇函数”，等价于关于x的方程在有解，即，化简得：，所以，又，所以.（3）因为恒为R上的“k阶局部奇函数”等价于关于x的方程恒有解.即，化简得：，当时，解得，所以满足题意；当时，，即：对任意的实数恒成立，即对任意实数恒成立，令，是关于t的一次函数且为上的增函数则，即：，解得：且综上，整数k取值的集合.【点睛】（1）考查对新定义概念的理解与辨析，考查转化与化归思想，中等难度；（2）考查 方程有解问题求参数的范围，有一定难度；（3）考查函数与方程思想，函数恒成立问题，综合性较强，属于难题22.已知（，且）.（1）求函数的定义域；（2）当（其中，且t为常数）时，否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；（3）当时，求满足不等式的实数x的取值范围.【答案】（1）（2）当时存在最小值，当时，不存在最小值，理由见解析（3）【解析】【分析】(1)根据真数大于零解不等式即可求定义域；(2)讨论函数的单调性即可求最小值；(3)利用函数的奇偶性单调性解不等式.【小问1详解】由可得或，解得，即函数的定义域为.【小问2详解】设，则，∵，∴，，∴，①当时，则在上是减函数，又，∴时，有最小值，且最小值为；②当时，，则在上是增函数，又， ∴时，无最小值.【小问3详解】由于的定义域为，定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数.由（2）可知，当时，函数为减函数，由此，不等式等价于，即有，解得，所以x的取值范围是.