湖南省名校联合体2022-2023学年高一数学下学期第一次联考试题（Word版附解析）

名校联考联合体2023年春季高一第一次联考数学一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简集合，据此可判断的关系.【详解】因为，所以、、错误，正确.故选：C2.若，则为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用全称命题的否定变换形式即可得出结果.【详解】，则为.故选：A3.不等式的解集是，则的解集是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题知两根为，进而得，再代入解不等式即可得答案.【详解】解：因为不等式的解集是，所以方程的两根为，所以由韦达定理得，，即，所以，解不等式得解集为故选：C4.如图，在中，点是边的中点，，则用向量表示为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据题意，得到，，再由向量的加减运算，即可得出结果. 【详解】因为点是边的中点，所以，又，所以，因此.故选：A.【点睛】本题主要考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.5.若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式化简即可得解.【详解】因为，所以,故选：B6.已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得进而求得的大小.根据三角恒等变换化简，由此求得取值范围.详解】依题意，由正弦定理得， 所以，由于三角形是锐角三角形，所以.由.所以，由于，所以，所以.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数值域的求法，两角差的正弦公式，属于中档题.7.如图，正方形的边长为2，圆半径为1，点在圆上运动，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】由向量的加法可得，再由向量数量积的运算即可得解.【详解】设与的夹角为，则，，因为，所以，故选：C8.设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数则称函数为的“界函数”.若给定函数，则下列结论不成立的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，然后逐个分析判断即可。【详解】因为，所以，所以对于A，，所以A正确，对于B，，所以B错误，对于C，，所以C正确，对于D，，所以D正确， 故选：B二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据指数函数单调性及1为“桥梁”判断A，根据函数的单调性及对数运算判断B，根据正切函数的单调性及同角三角函数的关系、周期判断CD.【详解】因为，，所以，故A正确；因为，所以，所以，故B正确；因为，所以，即，故，故C错误；由，故D错误.故选：AB10.已知向量，若，则下列结论在确的是（）A.B.C.D.与的夹角为锐角【答案】AC【解析】【分析】求出，对两边平方得可判断A；由的坐标运算可得的值，求出可判断B；对两边平方化简可判断C；求出、、，设与的夹角为，由向量的夹角公式计算可判断D. 详解】，由得，所以，所以A正确；对于B，由，可得，因为，所以，故B错误；对于C，由得，所以，故C正确；对于D，，，设与的夹角为，所以，又，所以为钝角，故D错误.故选：AC.11.三角形中，角的对边分别为，下列条件能判断是钝角三角形的有（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用余弦定理可判断A，由平面数量积的定义可判断B，根据正余弦定理可判断C，由三角恒等变换可判断D.【详解】A：由可知，且，即，所以，所以是锐角，故A不能判断；B：由,得，则为钝角，故B能判断； C：由正弦定理，得，则，为钝角，故C能判断；D：由正弦定理，条件等价于=，由，则，即，由，故，则，故D不能判断.故选：BC12.已知函数，则（）A.函数关于轴对称B.函数的最小正周期为C.函数的值域为D.方程在上至多有8个实数根【答案】ACD【解析】【分析】根据函数奇偶性定义判断哪A，根据周期定义判断B，根据函数图象判断C，D.【详解】因为，所以函数为偶函数，故A正确；因为，所以不是函数周期，故B错误；对，当时，，，作出函数图象， 由图象知，最大值为2，当时，可取最小值，故函数值域为，故C正确；由图象知，与在上最多有4个交点，由函数图象的对称性知在上最多有4个交点，故方程在上至多有8个实数根，正确.故选：ACD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设a，b是不共线的两个向量，已知，若A，B，D三点共线，则k的值为________.【答案】-1【解析】【分析】根据三点共线可得向量平行，建立方程求解即可.【详解】，∵A，B，D三点共线，，则存在实数λ使得：，，得得：.故答案为：14.已知函数的零点为，且，则__________.【答案】2【解析】【分析】由函数的解析式判断函数单调性，求出的值，可得，再 利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的区间，即可得解.【详解】易知函数在上单调递增，因为，，所以，根据函数的零点的判定定理可得：函数的零点所在的区间是，所以．故答案为：215.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则__________．【答案】【解析】【详解】试题分析：∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．考点：解三角形.【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16.已知平面向量，若，且，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，得到与夹角为，作向量，，，根据 题中条件，判定，，三点共线，由的几何意义表示线段的长，即可得出结果.【详解】由已知，所以，以为三边的三角形为等边三角形，所以，的夹角为.如图作向量，，，则，，所以，则，所以，故，，三点共线，即点在线段上，所以，即的取值范围是.故答案为：.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步聚.17.设，其中.（1）当时，求的值；（2）求的最大值及取最大值时对应的的值.【答案】（1）（2）取最大值为1，此时【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示列方程，结合正切函数性质解方程可得；（2）根据数量积的坐标运算公式和三角恒等变换公式化简，再由正弦函数性质求其最 值及相应的的取值.小问1详解】.，即.【小问2详解】，由得.当时，取最大值为1，此时.18.如图，已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转得到角，设角的终边与单位圆交于点.（1）求的值；（2）求点的坐标.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义及诱导公式化简计算可得；（2）由，利用诱导公式及两角和的正余弦公式求出即可.【小问1详解】由角的终边与单位圆交点知：，根据诱导公式，原式.小问2详解】，，.点的坐标为.19.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若.D为BC的中点，，记（1）若，求AB的值;（2）求a+2c的取值范围.【答案】（1）1；（2）【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得，在中利用正弦定理即可求出；（2）利用正弦定理可得，再化简利用三角函数的性质可求.【详解】（1），即，由余弦定理可得，所以，又，则，在中，由正弦定理可得，所以；（2）在中，由可得，由正弦定理可得，则，，由，可知，则，所以.20.如图，在中，已知边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），相交于点. （1）求；（2）当点为中点时，求：的余弦值；（3）求：的最小值；当取得最小值时设，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由余弦定理求解；（2）设，由中点可得，再由数量积的运算性质求解即可；（3）设则可转化为关于的二次函数，求最值即可，再由及三点共线得解即可.【小问1详解】，由余弦定理知：，.【小问2详解】设，分别为的中点，， ，，又..【小问3详解】设，当即时，取最小值，，，，三点共线，，.21.技术的价值和意义在自动驾驶､物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是香农公式：，其中：（单位：）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，单位；）是信道的带宽，单位：）是平均信号功率，（单位：）是平均噪声功率，叫做信噪比.（1）根据香农公式，如果不改变带宽，那么将信噪比从1023提升到多少时，信道容量能提升 （2）已知信号功率，证明：；（3）现有3个并行的信道，它们的信号功率分别为，这3个信道上已经有一些相同的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？（只需写出结论）【答案】（1）2047（2）证明见解析（3）把那一小份分配到信道上能获得最大的信道容量【解析】【分析】（1）先把时，算出来，再令，解得；（2）利用对数运算化简即可证明；（3）由（2）可知当时，，随着的增大也会增大，可是增加的速度会越来越慢，即得．【小问1详解】当时，，令，得，解得：，所以若不改变带宽，将信噪比从1023提升到2047时，信道容量能提升.【小问2详解】证明：右边 =左边，所以，原式成立；【小问3详解】分配到信道上能获得最大的信道容量.理由：由（2）可知当时，，随着的增大也会增大，但增加的速度会越来越慢，所以把那一小份分配到信道上能获得最大的信道容量.22.已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为“完美函数”.（1）判断函数是否是“完美函数”，并说明理由；（2）若是一个“完美函数”，求出所有满足条件的有序实数对；（3）若定义域为的函数是“完美函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时，函数的值域.【答案】（1）不是“完美函数”，是“完美函数”，理由见解析（2）（3）【解析】 【分析】（1）根据新定义计算，求出常数，即是“完美函数”，求不出，即不是“完美函数”；（2）根据新定义计算，结合诱导公式求出常数．（3）先利用求出时，的范围，然后再由求出时的范围，归纳出（）时，的范围．从而可得结论．【小问1详解】若是“完美函数”，则存在实数对，使得，即对恒成立，而关于的方程最多有两个解，不符合题意，因此不是“完美函数”.若是“完美函数”，则存在实数对，使得，即存在常数对满足条件，因此是“完美函数”.【小问2详解】是一个“完美函数”，存在有序实数对满足恒成立，当时，，不是常数.当时，有恒成立，即恒成立.则因此满足是一个“完美函数”时， 实数对.【小问3详解】函数是“完美函数”，且存在满足条件的有序实数对和，，时，，时，，.时，时，以此类推可知：时，，当时，，因此当时，；当时，.综上可知当时函数的值域为.