重庆市 2022-2023学年高一数学上学期期中考试试题（Word版附解析）

高2025届高一（上）期中考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.用列举法表示集合，下列表示正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解分式不等式，并结合列举法即可得答案.【详解】解：故选：A2.函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据根式和零指数幂的特性即可求得定义域. 【详解】由已知解得故选：B3.函数，则（）A.2B.3C.5D.7【答案】C【解析】【分析】根据分段函数解析式，代入计算函数值.【详解】由函数解析式，.故选：C4.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用凑配法求得的解析式.【详解】由于，所以.故选：B5.函数的最小值为（）A.B.C.1D.2【答案】A【解析】【分析】利用换元法，令，然后将原函数转化为自变量为的函数，再结合二次函数的性质可求出其最小值.【详解】令，则， 所以所以当时，取得最小值，所以函数的最小值为，故选：A.6.若函数在上单调递增，则实数的范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】通过换元转化为熟悉的二次函数，则所给区间即为已知函数单调区间的子集，即可求得的取值范围.【详解】令，则，则，对称轴为，则函数的单调递减区间为，因为为减函数，且在上单调递增，所以，则解得.所以实数的范围为.故选：A7.若函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】把的定义域为R，转化为不等式恒成立，分和两种情况讨论，结合二次函数图象的特征得到不等关系求得结果.【详解】由题意可知：当时，不等式恒成立. 当时，显然成立，故符合题意；当时，要想当时，不等式恒成立，只需满足且成立即可，解得：，综上所述：实数a的取值范围是.故选：D【点睛】“恒（能）成立”问题的解决方法：（1）函数性质法对于一次函数，只须两端满足条件即可；对于二次函数，就要考虑参数和的取值范围.（2）分离变量法思路：将参数移到不等式的一侧，将自变量x都移到不等式的另一侧.（3）变换主元法特点：题目中已经告诉了我们参数的取值范围，最后要我们求自变量的取值范围.思路：把自变量看作“参数”，把参数看作“自变量”，然后再利用函数的性质法，求解.（4）数形结合法特点：看到有根号的函数，就要想到两边平方，这样就与圆联系起来；这样求函数恒成立问题就可以转化为求“谁的函数图像一直在上面”，这样会更加直观，方便求解.8.已知为定义在上的偶函数，对于且，有，，，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，结合函数单调性及奇偶性即可解不等式 【详解】设，因，所以，即，令，则有时，，所以在上为增函数，由题知为定义在上的偶函数，易知为奇函数且在上为增函数，因为，，所以，所以当时，，不等式不成立，当时，等价于，即，则，当时，等价于，即，则综上所述：等式的解集为，故选：C.二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得的2分，有选错的得0分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列条件中能使成立的有（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用作差法可判断ABD；利用不等式的性质可判断C. 【详解】对于A，，若，则，若，则，故A错误；对于B，若，则，可得，故B正确；对于C，若，则由不等式的性质可得，故C正确；对于D，若，则，若，则，若，则，故D错误.故选：BC.10.已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（）A.为偶函数B.为奇函数C.若为奇函数，为偶函数，则为奇函数D.若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数【答案】ABD【解析】【分析】根据奇偶函数的定义直接判断求解即可.【详解】设，因为，是定义在上，所以的定义域为，，所以为偶函数，故A正确；设，因为是定义在上，所以的定义域为，，所以为奇函数，故B正确； 设，因为，都是定义在上，所以定义域为，因为为奇函数，为偶函数，所以，所以为偶函数，故C错误；设，因为，都是定义在上，所以定义域为，，因为是不恒为0的函数，所以不恒成立，所以不是奇函数，，因为是不恒为0的函数，所以不恒成立，所以不是偶函数，所以是非奇非偶函数，故D正确.故选:ABD.11.函数，且，则（）A.的值域为B.不等式的解集为C.D. 【答案】CD【解析】【分析】作出函数的图像，即可看出函数的值域；求出时的解，即可根据图像写出不等式的解集；令，根据函数的零点即可求出零点的关系和取值范围，从而判断各选项的正误.【详解】解：作出函数的图像如下图所示：可知函数的值域为，A选项错误；当时，有或，解得，，，所以，不等式的解集为，B选项错误；令，由图可知a，b关于对称，所以，即，C选项正确；因为有三个零点，所以，而，所以，D选项正确；故选：CD.12.关于的不等式对恒成立，则（）A.B.C.若存在使得成立，则D.若存在使得且，则当取最小值时，【答案】CD【解析】 【分析】利用二次不等式在上恒成立得出AB选项；若存在使得成立，存在性成立得出，从而结合AB选项的结论可以得出C选项；选项D，根据所得结论，变形换元，利用基本不等式，找出最小值时的条件；利用此条件即可得出结论【详解】因为，所以若关于的不等式对恒成立，则，所以，故AB错误；若存在使得成立，则，又，所以，故C正确；选项D，由C知，因为，所以，令所以，当且仅当时取等号，此时即，所以，又， 所以，又，所以当取最小值时，，故D选项正确；故选：CD.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数的图像过点，则______；【答案】3【解析】【分析】首先根据幂函数定义求出的值，在代入点即可求出的值，进而求出.【详解】已知为幂函数，所以得；又因为图像过点，将其代入解析式得，解得，即得.故答案为：14.函数的单调减区间为______；【答案】【解析】【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可.【详解】解：令，则可以看作是由与复合而成函数.令，得或.易知在上是减函数，在上是增函数，而在上是增函数， 所以的单调递减区间为.故答案为：.15.若函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，则______；【答案】##.【解析】【分析】根据题意可以证明函数是周期为的周期函数，进而把转化为，结合已知条件计算可得答案.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，又，令，则即,所以也即是，所以是周期函数，周期，因为当时，，所以.故答案为：.16.若，，则当______时，取得最大值，该最大值为______.【答案】①.##②.##【解析】【分析】令，则，代入整理得到 ，利用求出最值及此时的值.【详解】令，则，则，即，由，解得：，故，故，解得：，，所以当且仅当，时，等号成立，故答案为：，四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）对于两个正数，，我们把称为它们的调和平均数，称为它们的几何平均数.求证：两个正数的调和平均数不大于它们的几何平均数；（2）已知，，且，求的最小值及取最小值时，的值.【答案】（1）见解析；（2）；【解析】【分析】（1）利用完全平方公式得到，再将其变形转化即可证得；（2）利用基本不等“1”的妙用即可得解.【详解】（1）因为，，所以， 所以，即，故，所以，则，即，故，上述不等式当且仅当，即时，等号成立，所以.（2）因为，，，所以，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最小值为，此时.18.集合.（1）当时，求；（2）问题：已知______，求的取值范围.从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答.（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分）①；②；③.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先解得，再根据集合的并集计算即可；（2）分，两种情况解决即可.【小问1详解】由题知，，因为，解得，所以， 当时，，所以.【小问2详解】选①或②，由题知，由（1）得，，由题得，，当时，，解得，当时，，解得，综上，或.选③，当时，，解得，当时，，或，解得，或，综上，或.19.重庆市巴蜀中学黄花园校区计划利用操场一角的空地建一栋艺术楼，该艺术楼的正面外墙设计为钢琴的造型，背面靠石壁，主体部分可近似看成一个高12米，地面面积为200平方米的长方体.现考虑后期外墙的处理费用，由于楼体前面墙面造型复杂，费用为每平方米元，左、右两面墙面费用为每平方米元，楼体背面靠石壁需要防潮处理，费用为每平方米元，其他部分费用忽略不计.由于造型的要求前面墙面的长度不得少于20米，设楼体的左、右两面墙的长度为米，外墙处理的总费用为元.（1）求关于的函数并求该函数的定义域；（2）当左、右两面墙的长度为多少米时，外墙处理的总费用最低？若，则该最低费用为多少万元？【答案】（1），定义域为（2）当为米时，总费用最低；当时，最低费用为万元. 【解析】【分析】（1）将所有费用相加来求得总费用的解析式，并根据建筑要求的求得定义域.（2）利用函数的单调性求得总费用最低时的值.当时，最低费用为万元.【小问1详解】依题意，前面墙面的长度为米，则，解得.，且定义域为.【小问2详解】构造函数，任取，，其中，所以，所以在上递减，最小值为.所以当米时，取得最小值为，若，则最小费用为元，即万元.20.已知函数的定义域是，值域是，， ，的定义域和值域分别为，，的定义域为.（1）求，；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）通过函数的定义域即可直接得到的定义域，通过求的单调性即可求出其值域；（2）先求出的范围，推出的定义域为所包含的区间，通过对的分类讨论，求出各种情况下的定义域，看是否包含，即可求出实数的取值范围.【小问1详解】由题意在函数中，定义域是，值域是∴，在中，定义域为，设，，设且 ∴函数单调递增∴，∴的值域为【小问2详解】由题意及（1）得，，∴在中，的定义域为∵“”是“”的充分不必要条件∴“”是“”的充分不必要条件∴的定义域包括当时，，，解得：，不符题意，舍去当时，，当时，解得：或1当时，，，解得：，不符题意，舍去当且，即时，，解得：或，符合题意当且，即时，，解得：或，不符题意，舍去综上，实数的取值范围为21.定义在区间上的函数,对都有,且当时,. （1）判断的奇偶性,并证明;（2）判断在上的单调性,并证明;（3）若,求满足不等式的实数的取值范围.【答案】（1）偶函数,证明见解析（2）单调递增,证明见解析（3）【解析】【分析】(1)根据赋值,先求出,再求出,再令代入可得,即可得奇偶性;(2)先判断出单调性,再根据单调性的定义进行证明即可;(3)先根据的定义将合并,再根据及单调性列出不等式,并注意定义域解出即可.【小问1详解】由题知,为偶函数,证明如下:不妨令代入可得,,令代入可得,,令代入可得,,为偶函数;【小问2详解】在单调递增,证明如下: ,,,,在单调递增;【小问3详解】由题,,由(2)知在单调递增,所以即,解得,22.已知函数，，.（1）若为偶函数，求实数的值；（2）对任意的，都存在使得，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用偶函数的性即可求得参数的值；（2）根据题意得到，先利用绝对值不等式得到，再构造，通过一系列的分类讨论与整合，结合二次函数的性质求得，从而求得的取值范围. 【小问1详解】因为为偶函数，所以，即，因为，所以，所以，因为，所以，解得，当时，得，由于不恒为，故不满足题意；当时，得；经检验，当时，，所以，易知定义域为，关于原点对称，又易得，所以为偶函数，综上：.【小问2详解】因为对任意的，都存在使得，所以，因为，所以，则，令，则，，当时，，则开口向上，对称轴为，当，即时，在上单调递增，则；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则 ；当时，，则开口向上，对称轴为，当，即时，在上单调递减，则；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则；综上：当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，故；当时，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因为，所以当时，，则，当时，，则， 综上：当时，；当时，，所以当时，有，解得或，故；当时，有，解得或，故；所以或，即.【点睛】方法点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．