重庆市永川 2022-2023学年高一数学上学期期中试卷（Word版附解析）

北山中学高2025级高一上期半期考试数学试题（考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称.2.请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内.3.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚.4.请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试题卷上答题无效.5.保持答题卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解方程求得集合,然后利用补集定义求得.【详解】由解得,∴，又∵,∴,故选：D.2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.， 【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】命题“，”为全称命题，该命题的否定为：，.故选：D.3.“”是“”（）条件.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据不等式关系，结合充分条件和必要条件的定义来判断出是什么条件.【详解】解：由题意，设，，∵，∴“”是“”的必要不充分条件故选：B.4.函数，f(x)=lg(x-1)的定义域是A.(2，+∞)B.(1,+∞)C.[1，+∞)D.[2，+∞)【答案】B【解析】【详解】考查函数的定义域，利用对数的真数大于0即求得．5.设，则这四个数的大小关系是A.B.C.D.【答案】B【解析】 【详解】，所以，故选B．6.已知函数是奇函数，当时，，则A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求，再利用奇函数的性质，求值.【详解】是奇函数，满足，即.故选：D【点睛】本题考查利用奇偶性求函数值，重点考查函数性质的应用，属于简单题型.7.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象.给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应方案是：提高票价，并降低成本.其中，正确的说法是（） A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】C【解析】【分析】根据图象可知盈利额与观影人数成一次函数关系，再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.【详解】由图象(1)可设盈利额与观影人数的函数为，显然，，为票价.当时，，则为固定成本.由图象(2)知，直线向上平移，不变，即票价不变，变大，且，则变小，成本减小.故①错误，②正确；由图象(3)知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大.变大，即提高票价，不变，则不变，成本不变.故③正确，④错误.故选：C.8.对于，不等式恒成立，则a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先将指数函数化成同底，再根据指数函数的单调性建立不等关系，解决恒成立问题转化成图象恒在x轴上方即判别式小于零即可．【详解】解： 根据y在R上是单调减函数则x2﹣2ax＞﹣3x﹣a2在R上恒成立，即x2+（3﹣2a）x+a2＞0在R上恒成立，△＝（3﹣2a）2﹣4a2<0解得，故选：B．【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题，以及根据指数函数的单调性求解不等式，属于基础题．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.若函数是幂函数，则一定（）A.是偶函数B.是奇函数C.在上单调递减D.在上单调递增【答案】BD【解析】【分析】根据函数是幂函数，由求得m，再逐项判断.【详解】因为函数是幂函数，所以，解得或，所以或，由幂函数性质知是奇函数且单调递增，故选：BD.10.给出下列四个命题是真命题的是（）A.函数的定义域中的任意，满足B.奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点； C.函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到；D.若函数的定义域为，则函数的定义域为；【答案】ACD【解析】【分析】选项A由函数的凹凸性可判断；选项B由奇函数的性质可判断；选项C通过函数平移法则可判断；选项D通过抽象函数定义域可判断.【详解】解：A选项：函数为上凸函数，如图，所以中点处的函数值比函数值的一半要大，故A正确；B选项：奇函数的图像不一定通过直角坐标系的原点，如，故B错误；C选项：根据左加右减的原则可知：函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到，故C正确；D选项：由抽象函数定义域可知：若函数的定义域为，则函数的定义域为，故D正确；故选：ACD.11.若关于的不等式的解集是，则下列说法正确的是（）A.B.的解集是C.D.的解集是 【答案】AB【解析】【分析】首先利用不等式和对应方程的关系，可得，，再判断选项.【详解】因为解集是，所以，且的两个实数根是或，即，，解得：，，故A正确；C不正确；，即，解得：，故B正确；，即，解得：，故D不正确.故选：AB【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次方程和不等式的关系，关键是根据根与系数的关系求出的值.12.若正实数、满足，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式可判断AB选项的正误；将与相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项的正误；利用基本不等式求出的最大值，可判断D选项的正误.【详解】由于正实数、满足，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立. 对于A选项，，当且仅当时，等号成立，A选项正确；对于B选项，，当且仅当时，等号成立，B选项正确；对于C选项，，当且仅当时，等号成立，C选项正确；对于D选项，，，当且仅当时，等号成立，D选项错误.故选：ABC.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.第Ⅱ卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.计算：__________．【答案】6【解析】【分析】利用对数和指数的运算法则化简即得.【详解】原式,故答案为：614.已知，则的解析式为__________.【答案】 【解析】【分析】令，利用换元法可以得到.【详解】令,,.故答案为：.15.已知函数在区间是增函数，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】当x≥-1时，f（x）是增函数；当x＜-1时，f（x）是减函数，从而区间[a，+∞）左端点a应该在-1的右边，由此能求出实数a的取值范围．【详解】∵函数，函数f（x）=|x+1|在区间[a，+∞）是增函数，当x≥-1时，f（x）是增函数；当x＜-1时，f（x）是减函数，∴区间[a，+∞）左端点a应该在-1的右边，即a≥-1，∴实数a的取值范围是[-1，+∞）．故答案为[-1，+∞）．【点睛】本题考查实数值的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．16.已知函数，若方程恰好有三个实数根，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】 【分析】作出函数的图象，原题可转化为函数与的图象有三个交点时，求数的取值范围的问题，数形结合即可得出.详解】函数的图象如图所示，因为恰好有三个实数根，即函数与的图象有三个交点，由图象可知，实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知集合，.（1）若，求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）化简集合，求出，再根据并集的概念求出，根据交集的概念求出 ；（2）由得，再按照和两种情况讨论可求得结果.【详解】（1），或，，，或.（2）因为，所以，当时，，即时，满足；当，即时，由得，解得，综上所述：.【点睛】易错点点睛：第（2）问容易漏掉时的情况.18.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．　（1）求函数的解析式；（2）现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请补全完整函数的图象；（3）根据（2）中画出的函数图像，直接写出函数的单调区间．【答案】（1）；（2）见解析；（3）单调递增区间是，单调递减区间为和．【解析】 【详解】试题分析：（1）利用函数是奇函数，结合时，即可求出；（2）因为奇函数的图象关于原点成中心对称，故可画出另一侧图象.（3）观察图象，从左向右看，上升为增函数，下降为减函数，据此写出单调区间.试题解析：（1）设，则，∵当时，，∴，∵函数是定义在上的奇函数，∴（），∴（2）函数的图象如图所示：（3）由图像可知，的单调递增区间是，单调递减区间为和．点睛：本题全面考察了函数的奇偶性，单调性，图象，恒成立问题，属于中档题.涉及了利用奇偶性求函数的解析式，函数单调性的问题，二次函数分类讨论求函数的最小值，恒成立问题，恒成立问题一般要转化成最值问题，求函数最小值时，可根据函数的类型选用不同方法.19.已知函数.（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并给予证明； （3）求关于的不等式的解集.【答案】（1）；（2）函数为奇函数，证明见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据对数函数真数大于0见解析即可；（1）根据奇偶性证明步骤进行即可；（3）分类讨论，单调性不同两种情况即可.【小问1详解】根据题意，函数，所以，解可得，所以函数的定义域为；【小问2详解】由（1）得函数的定义域为，关于原点对称，因为函数，所以，所以函数为奇函数.【小问3详解】根据题意，即，当时，有，解可得，此时不等式的解集为；当时，有，解可得，此时不等式的解集为 所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.20.通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设表示学生注意力随时间的变化规律（越大，表明学生注意力越集中），经实验分析得知：（1）讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（2）一道数学难题，需要讲解，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？【答案】（1）讲课开始后10分钟，学生的注意力最集中，能坚持10分钟；（2）经过适当安排，老师能在学生达到所需的状态下讲完这道题目．【解析】【分析】（1）对分段函数讨论，当时，时，当时，分析函数的单调性，求得最大值即可；（2）当时，令，解得，当时，令，解得，作差即可得到结论．【详解】解：（1）当时，，对称轴，在对称轴的左侧，随增大而增大，当时，取得最大值240，时，．当时，，随的增大而减小．此时．故，，即有讲课开始后10分钟，学生的注意力最集中，能坚持10分钟；（2）当时，令，解得， 当时，令，解得．由于，则经过适当安排，老师能在学生达到所需的状态下讲完这道题目．21.已知对任意的实数，都有：，且当时，有．（1）求；（2）求证：在上为增函数；（3）若，且关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）．【解析】【分析】(1)在已知恒等式中令可得;(2)用增函数的定义可证;(3)利用已知恒等式和求得,再将不等式化为后,利用单调性可化为在上恒成立,再利用二次函数的最值可解决.【详解】（1）解：令，则，解得．（2）证明：设上任意两个实数，且，则则所以，由得，所以，故，即，所以在上为增函数． （3）由已知条件有：，故原不等式可化为：，即，因为,所以,因为,所以,故不等式可化为．由（2）可知在上为增函数，所以，即在上恒成立，令，即成立即可，（i）当即时，在上单调递增．则解得，所以，（ii）当，即时，有，化简得:,即,解得，而，所以，综上所述：实数的取值范围是．【点睛】本题考查了抽象函数单调性的证明,利用单调性解抽象函数不等式,不等式恒成立,分类讨论求二次函数的最小值,属于难题. 22.已知函数为偶函数.（1）求实数a的值；（2）判断的单调性，并证明你的判断；（3）是否存在实数，使得当时，函数的值域为.若存在，求出的取值范围；若不存在说明理由.【答案】（1）；（2）在上为增函数，在上为减函数，证明见解析；（3）存在，.【解析】【分析】（1）由偶函数的定义即可求得a的值；（2）用函数单调性的定义即可判断并证明；（3）假设存在，根据题意列出方程，解出即可.【详解】（1）函数为偶函数，，即，；（2）当时，，则函数在上为增函数，在上为减函数，证明：设，则，，，， ，即，故在上为增函数；同理可证在上为减函数；（3）函数在上为增函数，若存在实数，使得当时，函数的值域为，则满足，即，即m，n是方程的两个不等的正根，则满足，解得，故存在，使得结论成立.【点睛】易错点点睛：，所以m，n是方程的两个不等的正根，注意.