湖南省 2022-2023学年高一数学上学期期中考试试卷（Word版附解析）

常德市一中2022年下学期高一期中考试试卷数学（时量：120分钟满分：150命题人：）一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，则的真子集共有个（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，即可得出集合的真子集个数.【详解】因为，所以，集合的真子集个数为.故选：C.2.已知条件p：；条件q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】条件p：，解得;条件q：,若p是q的充分不必要条件,则，解得，故选D.3.已知，，，那么下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若且，则D.若且，则【答案】C【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项. 【详解】A选项，，所以A选项错误.B选项，，所以B选项错误.C选项，，且，所以，所以C选项正确.D选项，满足“且”，但，所以D选项错误.故选：C4.下列式子成立的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据根式有意义求得的符号，结合根式的运算性质可得出与相等的代数式.【详解】若有意义，则，可得，.故选：B.5.由命题“存在，使”是假命题，求得的取值范围是，则实数的值是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据题意可得不等式对于恒成立，根据求出范围，与已知条件比较可得实数的值.【详解】因为命题“存在，使”是假命题，， 所以其否定“，”是真命题，即不等式对于恒成立，所以解得：，即实数的取值范围是，因为实数的取值范围是，所以，故选：B.6.若是幂函数，且满足，则等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的知识求得的解析式，从而求得.【详解】设，所以，所以.故选：C7.若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A.或B.C.或D.【答案】D【解析】【分析】由题意得出方程的根为，且，然后将不等式变形为 ，解出该不等式即可.【详解】由于关于的不等式的解集为，则关于的方程的根为，且，，得.不等式即，等价于，解得.因此，不等式的解集为.故选D.【点睛】本题考查一元一次不等式解集与系数的关系，同时也考查了分式不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.8.已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先判断出函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性将不等式进行转化，再利用单调性解函数不等式，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得的不等式组，解出可得答案【详解】由题意得，函数的定义域是，且，所以是奇函数，又函数与函数都是R上的增函数，则在上单调递增，所以可化为：，由递增知：，即，则对任意的，恒成立，等价于对任意的，恒成立，所以，解得，即的取值范围是， 故选：D．二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.奇函数在的图像如图所示，则下列结论正确的有（）A.当时，B.函数在上递减C.D.函数在上递增【答案】ABD【解析】【分析】结合的图像，根据奇函数的对称性，分析函数的值域、单调性、函数值，由此确定正确选项.【详解】解：根据图像可知：时，，在递减，在上递增，所以根据奇函数性质，当时，，A正确；当时，在递减，在上递增，故BD正确.由于在上递增，所以，故C错误.故选：ABD 10.若函数的定义域为，值域为，则实数m的值可能为（）A.2B.3C.4D.5【答案】ABC【解析】【分析】画出函数的图象，结合值域可得实数的取值范围，从而可得正确的选项.【详解】函数的图象如图所示：因为函数在上的值域为，结合图象可得，故选：ABC.11.下列说法正确的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.若函数过定点，则函数经过定点C.幂函数 在是减函数D.图象关于点成中心对称【答案】BD 【解析】【分析】根据复合函数定义域判断A；根据函数图像平移判断BD；根据幂函数性质判断C.【详解】解：对于A，若函数的定义域为，则函数的定义域为，故错误；对于B，函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数图像，由于过定点，故函数经过定点，正确；对于C，幂函数在是减函数，由于，定义域为，，为偶函数，故幂函数在是增函数，故错误；对于D，，其图像由向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，且图像关于原点对称，故图像关于点成中心对称，正确.故选：BD12.定义一种运算.设（为常数），且，则使函数最大值为4的值可以是（）A.-2B.6C.4D.-4【答案】AC【解析】【分析】根据定义，先计算在，上的最大值，然后利用条件函数最大值为4，确定的取值即可．【详解】在，上的最大值为5， 所以由，解得或，所以时，，所以要使函数最大值为4，则根据定义可知，当时，即时，，此时解得，符合题意；当时，即时，，此时解得，符合题意；故或4，故选：AC三、填空题（本大题共4小题，共20分）13._______.【答案】51【解析】【分析】直接利用分数指数幂运算法则进行求值.【详解】原式.故答案为：51.【点睛】本题考查分数指数幂的运算，考查运算求解能力，属于基础题.14.已知函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为__________．【答案】【解析】【分析】先根据函数偶函数分析得到,再解不等式得其解集.【详解】解：因为函数为偶函数，且在单调递增，所以，解得，即，显然满足条件. 所以，解得，所以，的解集为故答案为：15.关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】根据不等式有解可得当时，，结合二次函数的最值可求得结果.【详解】在内有解，，其中；设，则当时，，，解得：，的取值范围为.故答案为：.16.已知正实数、满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由已知可得出，等式两边同时乘以，利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的取值范围.【详解】由已知可得，等式两边同时乘以可得，因为，当且仅当时取等号，所以，，即，解得 .故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设，，，．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得；（2）根据列不等式，从而求得的取值范围.【小问1详解】解：，所以.，所以，所以，所以.【小问2详解】解：由于，则，所以，所以的取值范围是.18.已知正数，满足．（1）求的最大值；（2）求的最小值． 【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用基本不等式求得正确答案.（2）利用“的代换”的方法，结合基本不等式求得正确答案.【小问1详解】，当且仅当时等号成立，所以的最大值是.小问2详解】，，当且仅当时等号成立.所以的最小值为.19.已知函数为偶函数．（1）求实数的值；（2）判断的单调性，并用定义法证明你的判断； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）在上单调递增，在上单调递减，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由求得的值.（2）利用定义法对的单调性进行判断.（3）通过求、的最值，结合对分类讨论来求得的取值范围.【小问1详解】的定义域是，是偶函数，所以，即，整理得恒成立，所以.【小问2详解】，在上单调递增，在上单调递减，证明如下：任取，，，所以，所以在上单调递增，根据偶函数的性质可知，在上单调递减.【小问3详解】依题意，，， 若对任意的，总存在，使得成立，即.由（2）得在上递增，最大值为.当时，在区间上的最大值是，所以，解得.当时，在区间上的最大值是，所以，解得.综上所述，的取值范围是20.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（1）求函数在上的解析式；（2）是否存在非负实数，使得当时，函数的值域为若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由【答案】（1）（2）存在符合题意，详见解析【解析】【分析】（I）根据时的表达式，利用函数是定义在上的奇函数，求出当时的表达式，再由，即可写出函数分段函数形式的解析式；（2）假设存在满足条件的a，b，由可得，由此可知在上的单调性，从而可以列方程求解．【详解】解：由题意，当时，则，由是定义在上的奇函数得，且 综上：假设存在这样的符合题意，由题意知，由知，当时，，故，即，故在上单调递减，从而有，即是方程的两个根，解得故假设成立，即存在符合题意．【点睛】本题着重考查了函数的奇偶性与单调性及其应用，特别是第（2）问，通过条件判断出，从而知道了在上的单调性，避免了分类讨论，属于中档题．21.为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由子此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左右两面墙的长度均为米.（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价.（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，苦无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.【答案】（1）当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元；（2）.【解析】【分析】（1）甲工程队的总造价为元，求出 ，再利用基本不等式求解；（2）由题意可得对任意的恒成立，化简得恒成立，利用基本不等式求函数的最小值得解.【详解】（1）甲工程队的总造价为元，则，.当且仅当，即时等号成立.即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.（2）由题意可得，对任意的恒成立.即，从而恒成立，令，，故.所以.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的恒成立问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22.已知二次函数满足，对任意，都有恒成立．（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）若，对于实数，，记函数在区间 上的最小值为，且恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）在不等式中，令可求得的值；（2）由已知可可得，再由恒成立可得出关于的不等式，解出的值，即可得出函数的解析式；（3）分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，求出函数在区间上的最小值，再结合参变量法可求得实数的取值范围.【小问1详解】解：对任意，都有恒成立．令，可得，所以【小问2详解】解：由，知，得．由对任意恒成立，可得不等式对任意恒成立．则，即，又，故，所以，，则，因为对任意的恒成立，合乎题意.综上所述，函数的解析式为 【小问3详解】解：由（2）可得，则函数在上连续.①当时，在上单调递减，在上单调递增，所以；②当时，在上单调递增，所以．综上，.当时，恒成立，即对恒成立，即，易得函数在上单调递增，，所以，；当时，恒成立，即恒成立，因为函数、在上均为增函数，则函数在上单调递增，且其最大值为，所以，.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），； （3），；（4），.