浙江省宁波市第四中学2022-2023学年高一数学上学期期中试卷（Word版附解析）

浙江省宁波市第四中学2022-2023学年高一上学期数学期中试卷一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，B＝{1，2，3}，则A∪B＝（　　）A{3}B.{0，1，2，3}C.{1，2，﹣3}D.{1，2，3}【答案】B【解析】【分析】解方程求得集合，由并集定义可求得结果.【详解】，B＝{1，2，3}，.故选：B.2.下列各组函数是同一函数的是（）A.与B.与C.与D.与【答案】D【解析】【分析】根据同一函数的定义，对选项逐一判断即可得到结果.【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于B中，函数和的对应法则不同，所以不是同一函数；对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于D中，函数与的定义域都是，且对应法则相同，所以是同一函数.故选：D.3.命题“对任意，都有”的否定为（）A.对任意，都有B.对任意，都有C.存在，使得D.存在，使得【答案】C【解析】【分析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意，都有”的否定为：存在，使得．故选：C．4.杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.【详解】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件.故选：C5.已知函数，则函数的解析式为（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】利用配凑法（换元法）计算可得.【详解】解：方法一（配凑法）∵，∴.方法二（换元法）令，则，∴，∴.故选：A6.已知且，则下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用不等式的性质可判断ABC，利用特殊值可判断D【详解】因为，且，所以，对于A，因为，，所以，故错误；对于B，因为，，所以，故正确；对于C，因为，所以，所以，故错误；对于D，因为满足且，所以，故错误；故选：B7.若正数a,b满足a+b=2,则的最小值是A.1B.C.9D.16【答案】B【解析】 【分析】由可得，所以可得，由基本不等式可得结果.【详解】∵，∴，又∵，，∴，当且仅当，即，时取等号,的最小值是,故选B.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式可求得函数的值域，由此可求得函数的值域.【详解】当时，，当且仅当时，等号成立； 当时，，当且仅当时，等号成立，此时；又因为，所以，函数的值域为，当时，；当时，；当时，.综上所述，函数的值域为.故选：D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合，，，若，则满足条件的实数可能为（）A.2B.C.D.1【答案】AC【解析】【分析】根据集合元素的互异性必有或，解出后根据元素的互异性进行验证即可．【详解】解：由题意得，或，若，即，或，检验：当时，，与元素互异性矛盾，舍去；当时，，与元素互异性矛盾，舍去． 若，即，或，经验证或为满足条件的实数．故选：AC．【点睛】本题主要考查集合中元素的互异性，属于基础题．10.下列说法正确的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B. 图象关于点成中心对称C. 的最大值为D.幂函数在上为减函数，则的值为【答案】BD【解析】【分析】对于A，由复合函数的定义域的求法判断；对于B，通过平移函数的图象判断函数的图象的对称中心；对于C，根据指数函数的单调性进行判断；对于D，通过幂函数的定义和单调性得到关于m的关系式，进而求解m的值.【详解】对于A，函数的定义域为，由得，则函数的定义域为，A错误；对于B，函数的图象的对称中心为，将函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，则函数的图象的对称中心为，B正确；对于C，函数在R上单调递减，且， 则，即当时，函数取得最小值，无最大值，C错误；对于D，因为函数为幂函数，所以，解得，D正确故选：BD.11.已知函数定义域为，且，，，则（）A.的图象关于直线对称B.C.的图象关于点中心对称D.为偶函数【答案】BCD【解析】【分析】利用假设的图象关于直线对称，推出矛盾的方法判断A;根据已知可推得函数为奇函数，进而得到函数的周期，可判断B,C;利用偶函数的定义可判断D.【详解】对于A,假设的图象关于直线对称，则，因为，故，即2为函数的一个周期，则，由，可得，矛盾，故的图象不关于直线对称，A错误；对于B,函数定义域为，且，则，由得，则，故，故B正确；对于C,由B的分析可知，，即，故的图象关于点中心对称，C正确；对于D，由可得， 由得，故，即为偶函数，D正确，故选;BCD.【点评】本题综合考查函数的奇偶性和周期性以及对称性，综合性较强，解答时要注意能根据抽象函数的性质进行相应的代换，推出函数的周期，解答的关键是明确如何说明函数具有对称性和周期性等.12.（多选）已知，且，则（）A.的取值范围是B.的取值范围是C.的最小值是D.的最小值是【答案】BD【解析】【分析】A选项，利用基本不等式得到，从而得到，解出，A正确；B选项，利用基本不等式得到，从而得到，解一元二次不等式，求出答案，B正确；C选项，先得到，代入得到，从而得到基本不等式求出最值；D选项，得到，代入得到，利用基本不等式求出最值.【详解】因为，所以，所以，解得:，即，则A错误；因为.所以，所以，即，又，解得：，则B正确； 因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立因为，所以，则C错误；，当且仅当，即时，等号成立，则D正确.故选：BD三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.不等式的解集为___________．【答案】【解析】【分析】根据分式的运算性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】由得，即，且解得，故答案为：．14.若，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】由不等式的基本性质计算可得.【详解】解：因为，所以，则，，， 所以，所以，即.故答案为：15.已知函数的值域为，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，计算不等式组即可求得结果.【详解】∵函数的值域为，又当时，，∴，解得.故答案为：.16.已知若对任意的恒成立，则实数t的取值范围是_____________．【答案】【解析】【分析】由当时，，时，，从而在上是单调递增函数，且满足，再根据不等式在，恒成立，可得在，恒成立，计算即可得出答案．【详解】当时，递增，当时，递增，所以在R上是单调递增函数，且满足，．又∵函数在定义域R上是增 函数，故问题等价于当时，恒成立恒成立，令，解得．∴t的取值范围为．故答案为：四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程）17.计算：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分母有理化即可得到答案.（2）根据指数幂运算法则与性质计算即可.【小问1详解】.【小问2详解】原式.18.集合（1）若，求；（2）若命题“，”为假命题，求实数p的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接根据补集运算，即可得到结果.（2）根据题意可得命题“，”为真命题，分，讨论，列出不等式，即可求得的范围.【小问1详解】因为，则【小问2详解】由命题“，”为假命题可知：命题“，”为真命题所以，①当时，，解得：②当时，则或，解得：或综上所述：p的取值范围是：19.已知函数是指数函数.（1）该指数函数的图象经过点，求函数的表达式；（2）解关于的不等式：.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）把代入见解析，结合指数函数的定义可得答案； （2）利用指数函数的单调性解不等式可得答案.【小问1详解】因为指数函数的图象经过点，所以，解得，所以；【小问2详解】因为是单调递减函数，由得，解得，所以不等式的解集为.20.随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.宁波医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；（2）当该产品年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润时多少？【答案】（1）；（2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1680万元.【解析】【分析】（1）根据的解析式，结合已知条件，根据利润的计算公式，直接求解即可；（2）根据（1）中所求的函数解析式，结合函数单调性和基本不等式，即可直接求得结果.【小问1详解】 由该产品的年固定成本为300万元，投入成本万元，且，当时，，当时，所以利润万元关于年产量台的函数解析式.【小问2详解】当时，最大，最大值1500；当时，，当且仅当时，即时等号成立，综上可得，年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1680万元.21.已知函数为偶函数.（1）求实数a的值；（2）判断的单调性，并证明你的判断；（3）是否存在实数，使得当时，函数的值域为.若存在，求出的取值范围；若不存在说明理由.【答案】（1）；（2）在上为增函数，在上为减函数，证明见解析；（3）存在，.【解析】【分析】（1）由偶函数的定义即可求得a的值；（2）用函数单调性的定义即可判断并证明；（3）假设存在，根据题意列出方程，解出即可. 【详解】（1）函数为偶函数，，即，；（2）当时，，则函数在上为增函数，在上为减函数，证明：设，则，，，，，即，故在上为增函数；同理可证在上为减函数；（3）函数在上为增函数，若存在实数，使得当时，函数的值域为，则满足，即， 即m，n是方程的两个不等的正根，则满足，解得，故存在，使得结论成立.【点睛】易错点点睛：，所以m，n是方程的两个不等的正根，注意.22.已知二次函数．（1）若的解集为，解关于x的不等式；（2）若对任意，，且不等式恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值．（3）若对任意，若且不等式恒成立，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）8【解析】【分析】（1）由韦达定理可得a、b、c的关系，以及a的符号，代入目标不等式化简直接求解可得；（2）依题意可得判别式等于0，整理得a、c关系，将目标式平方化简后换元，然后利用基本不等式可得；（3）利用判别式消元，放缩目标式，然后分子分母同时除以a，再换元，由基本不等式可解.【小问1详解】因为的解集为，所以和4是方程的两根，且 由韦达定理可得，即，代入得，因为，所以不等式，解得，即所求不等式解集为【小问2详解】因为对任意，，且不等式恒成立，所以，又存在，使得成立，所以，即因为，所以，令所以当且仅当，即时等号成立，即时，有最小值.【小问3详解】因为对任意，不等式恒成立，所以，所以所以（当判别式等于0时等号成立）令，则，因为，所以 所以当且仅当，即时等号成立，所以，当且时，有最小值8.