广东省信宜市2022-2023学年高二数学上学期期末试题（Word版附解析）

2022-2023学年第一学期期末考试高二数学本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位畺上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第一部分选择题（共60分）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化为标准形式求解即可.【详解】解：可化为，所以抛物线的准线方程为．故选：C2.，若三向量共面，则实数（）A.3B.2C.15D.5【答案】D【解析】 【分析】利用向量共面坐标运算进行求解即可.【详解】∵，∴与不共线，又∵三向量共面，则存在实数m，n使即，解得．故选：D．3.若等轴双曲线C过点，则双曲线C的顶点到其渐近线的距离为（）A.1B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】先求出双曲线C的标准方程，再求顶点到其渐近线的距离.【详解】设等轴双曲线C的标准方程为，因为点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线C的标准方程为，故上顶点到其一条渐近线的距离为.故选：A．4.等差数列的前项和，若，则A.8B.10C.12D.14【答案】C【解析】【详解】试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.考点：等差数列的性质. 5.已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若，则椭圆C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】表示出各点坐标，由可得，得出的等式，变形后可求离心率．【详解】由题意，则，，∴，即，可得，∴或（舍去）．故选：B．6.设，为实数，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（）A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不能确定【答案】B【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系，求得满足的关系式，结合点与圆位置关系的判断方法，判断即可.【详解】根据题意，即，故点在圆外.故选：B.7.如图，在中，，所在直线方程分别为和， 则的角平分线所在直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出点的坐标，根据题意可得，设的角平分线所在直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，从而可得，再根据直线的点斜式方程即可得解.【详解】解：联立，解得，即，因为，所以，即，设的角平分线所在直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，则，即的角平分线所在直线的斜率为，所以的角平分线所在直线的方程为，即.故选：A. 8.已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，n的最大值是（）A.8B.9C.10D.11【答案】B【解析】【分析】先求出数列和的通项公式，然后利用分组求和求出，再对进行赋值即可求解.【详解】解：因为数列是以1为首项，2为公差的等差数列所以因为是以1为首项，2为公比的等比数列所以由得：当时，即 当时，当时，所以n的最大值是.故选：B.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用分组求和求出，再通过赋值法即可求出使不等式成立的的最大值.二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.直线必过定点B.直线在轴上的截距为C.直线的倾斜角为D.圆的过点的切线方程为【答案】ABD【解析】【分析】选项A将直线化为点斜式可判断；选项B根据截距的定义可判断；选项C先求出直线的斜率可得倾斜角从而判断；选项D先判断点在圆上，然后由切线的几何性质求出切线方程，从而判断.【详解】选项A.直线化为，所以直线过点，故正确.选项B.直线在轴上的截距为,正确.选项C.直线的斜率，倾斜角为，故不正确.选项D.由，则点在圆上所以圆的过点的切线的斜率为，所以切线方程为，即 ，故正确.故选：ABD10.已知曲线C的方程为（，且，），则下列结论正确的是（）A.当时，曲线C为圆B.若曲线C为椭圆，且焦距为，则C.当或时，曲线C为双曲线D.当曲线C为双曲线时，焦距等于4【答案】AC【解析】【分析】写出当时的曲线方程，即可判断A;分情况求出当曲线表示椭圆时k的值，可判断B；当或时，判断的正负，即可判断C;当曲线C为双曲线时,确定k的范围，求得焦距，可判断D.【详解】当时,方程为，即，表示圆，故A正确；若曲线C为椭圆，且焦距为，则当焦点在x轴上，且，解得；当焦点在y轴上，且，解得,故此时或，故B错误；当时，，曲线表示的是焦点位于y轴上的双曲线；当时，，曲线表示的是焦点位于x轴上的双曲线；故C正确；当曲线C为双曲线时，，即或，当时，，焦距，当时，，焦距，故D错误， 故选：AC11.已知空间中三点，则下列结论正确的有（）A.B.与共线的单位向量是C.与夹角的余弦值是D.平面ABC的一个法向量是【答案】AD【解析】【分析】对于A，通过计算来判断，对于B，利用共线单位向量的定义求解，对于C，利用向量的夹角公式求解，对于D，利用法向量的定义求解.【详解】对于A，因为，所以，所以，所以，所以A正确，对于B，因为，所以与共线的单位向量为，或，所以B错误，对于C，因为，所以，所以C错误，对于D，因为，，所以，所以，所以平面ABC的一个法向量是，所以D正确，故选：AD.12.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座 舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F（0，2），椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（）A.椭圆的长轴长为B.的周长为C.线段AB长度的取值范围是D.面积的最大值是【答案】BC【解析】【分析】由题意可得b、c，然后可得a，可判断A；由椭圆定义可判断B；由椭圆性质可判断C；设所在直线方程为，分别联立椭圆、圆的方程，求出A，B两点的横坐标，得出根据单调性可得最大值判断D.【详解】对于A，由题知，椭圆中，得，则，故A错误；对于B，由椭圆定义知，，所以的周长，故B正确；对于C，，由椭圆性质可知，所以，故C正确； 对于D,设所在直线方程为，联立可得，联立可得，则，显然当时，函数是减函数，所以当时，有最大值4，故D错误.故选：BC第二部分非选择题（共90分）三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.法国数学家蒙日发现：双曲线的两条互相垂直切线的交点的轨迹方程为：，这个圆被称为蒙日圆.若某双曲线对应的蒙日圆方程为，则___________.【答案】2【解析】【分析】根据题意写出双曲线对应的蒙日圆方程，可得出关于的等式，即可求得正数的值.【详解】由双曲线的方程可得，由蒙日圆的定义可得双曲线对应的蒙日圆方程，所以，即，可得. 故答案为：2.14.在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于________.【答案】27【解析】【分析】设公比为，利用已知条件求出，然后根据通项公式可求得答案【详解】设公比为，插入的三个数分别为，因为，所以，得，所以，故答案为：2715.已知等差数列满足，请写出一个符合条件的通项公式______．【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】由已知条件结合等差数列的性质可得，则，从而可写出数列的一个通项公式【详解】因为等差数列，且，所以，．当公差为0时，；公差为1时，；…故答案为：3（答案为唯一）16.已知过椭圆上的动点作圆（为圆心）：的两条切线，切点分别为，若的最小值为，则椭圆的离心率为______．【答案】【解析】【分析】由椭圆方程和圆的方程可确定椭圆焦点、圆心和半径；当最小时，可知，此时；根据椭圆性质知，解方程可求得，进而得到离心率.【详解】由椭圆方程知其右焦点为；由圆的方程知：圆心为，半径为； 当最小时，则最小，即，此时最小；此时，；为椭圆右顶点时，，解得：，椭圆的离心率.故答案为：.四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）记的前n项和为，证明：，，成等差数列．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，根据，求得的值，即可求得数列的通项公式；（2）由等比数列的求和公式求得，得到，，化简得到，即可求解．【小问1详解】 解：设等比数列的公比为，因为，所以，解得，所以，所以数列的通项公式．【小问2详解】解：由（1）可得，，，所以，所以，即，，成等差数列．18.已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为．（1）求C的标准方程；（2）若直线与双曲线C交于A，B两点，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）焦点在轴上，设方程为根据题意求出即可（2）设点，联立方程组，消元得一元二次方程，由韦达定理，然后利用弦长公式计算即可【小问1详解】因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，由题意得，所以，①又双曲线一条渐近线为， 所以，②又，③联立上述式子解得，，故所求方程为；【小问2详解】设，，联立，整理得，由，所以，，即19.已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据所给式子得到，作差即可得到 ，，再计算，即可得解；（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】解：因为，所以时，，两式作差得，，所以时，，又时，，得，符合上式，所以的通项公式为．【小问2详解】解：由（1）知，所以，即数列的前项和．20.已知圆经过点，，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）若平面上有两个点，，点是圆上的点且满足，求点的坐标.【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）设出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得圆的方程.（2）根据已知条件求得满足的方程联立即可求得的坐标.【小问1详解】∵圆心在直线上，设圆心，已知圆经过点，，则由，得解得，所以圆心为，半径，所以圆的方程为；【小问2详解】设，∵在圆上，∴，又，，由可得：，化简得，联立解得或.21.是边长为2的等边三角形，为边上的动点，且，为的中点，为的中点.将沿进行折起，使得平面平面. （1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直可得AO⊥平面BCNM，据此证出平面，可得线线垂直；（2）以为原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】连接，如图，由题意可知，，且，又为的中点，则，而平面AMN⊥平面BCNM，且交于MN，平面AMN，所以AO⊥平面BCNM.因为，所以由直角三角形，全等可得，故是等腰三角形，为边上中点，则，由可知，又，平面，则平面，因为平面，所以. 【小问2详解】以为原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系.设，则，，，，，，设平面的法向量为，则由，即，令，则，即平面的一个法向量为，因为y轴与平面AMN垂直，所以平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.22.已知椭圆：（），四点，，，中恰有三点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设直线不经过点且与椭圆相交于，两点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）（2）直线恒过定点，定点坐标为【解析】【分析】(1)根据题意椭圆过点P2、、，代入椭圆方程列出方程组，解之即可求解； (2)根据角、线段之间的数量关系可得，设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理和平面向量的坐标表示可得，求出m的值，即可得出直线恒过的定点.【小问1详解】由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此解得故C的方程为.【小问2详解】在中，，，所以，从而，又为线段的中点，即，所以，因此，从而，根据题意可知直线的斜率一定存在，设它的方程为，，，联立消去得①，，根据韦达定理可得，， 所以所以，整理得，解得或又直线不经过点，所以舍去，于是直线的方程为，恒过定点，该点在椭圆内，满足关于的方程①有两个不相等的解，所以直线恒过定点，定点坐标为.