甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高二数学下学期开校检测试题（Word版附解析）

2023年春学期高二年级开校检测考试数学试卷时间120分钟满分：150分一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分）1.等比数列中，，，则等于（）A.B.C.1D.【答案】C【解析】【分析】利用等比中项直接计算即可.【详解】因为数列是等比数列，所以即，解得，故选：C2.经过点，倾斜角为的直线方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据直线倾斜角和斜率关系可求得斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得结果.【详解】由倾斜角为可得，直线斜率为由直线的点斜式方程得直线方程为；即.故选：C. 3.抛物线的准线方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可．【详解】解：抛物线，可知抛物线的开口向上，，所以抛物线的准线方程是：．故选：．4.已知等差数列{an}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a5＝（）A.3B.6C.9D.11【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的下标性质进行求解即可.【详解】∵等差数列{an}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，∴a2+a5＝a3+a4＝12，3a2＝a5，联立消去a2可得a5＝9故选：C5.设，，则以线段为直径的圆的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题知圆心为，半径为，再求方程即可.【详解】解：由题知线段中点为，，所以，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，其方程为 故选：B6.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设双曲线方程，根据已知得到，即可得到渐近线的方程.【详解】由已知可设双曲线的标准方程为.由已知可得，所以，则，所以.所以，双曲线的渐近线方程为.故选：D.7.党的二十大报告既鼓舞人心，又催人奋进．为学习贯彻党的二十大精神，某宣讲小分队将5名宣讲员分配到4个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（）A.480种B.240种C.120种D.60种【答案】B【解析】【分析】先选出2人为1组有种，再将4组人员分配到4个社区有，根据分步计数原理，即可求出结果.【详解】5名宣讲员分配到4个社区，每个社区至少1人，则分配方式为1，1，1，2，先选出2人为1组有种，再将4组人员分配到4个社区有，所以不同的分配方案共有.故选：B.8.已知圆上至多有一点到直线的距离为1，则实数m的取值可以是（） A.0B.1C.5D.7【答案】B【解析】【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.【详解】解：圆，即，圆心，半径，则圆心到直线的距离，因为圆上至多有一点到直线的距离为，所以，即且，解得，故符合条件的只有B.故选：B二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分）9.在10件产品中，有两件次品，从中任取3件，则下列结论错误的有（）A.“其中恰有2件次品”的抽法有8种B.“其中恰有1件次品”的抽法有28种C.“其中没有次品”的抽法有56种D.“其中至少有1件次品”的抽法有56种【答案】BD【解析】【分析】根据分类讨论思想、分步计数原理，利用组合法、间接法进行求解.【详解】抽到的3件产品中恰好有2件次品的抽法有种，A选项正确；抽到的3件产品中恰好有1件次品的抽法有种，B选项错误；抽到的3件产品中没有次品的抽法有种，C选项正确；抽到的3件产品中至少有一件次品的抽法有，种，D选项错误．故选：BD 10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若为上一点，且，则（）A.的虚轴长为2B.的值可能为5C.的离心率为3D.的值可能为9【答案】BCD【解析】【分析】由双曲线标准式确定，可判断A，C是否正确，由双曲线第一定义可判断B，D正确性.【详解】由的标准式可确定：，故C正确，A错误；由双曲线第一定义可知，，解得或9，，，所以BD正确.故选：BCD11.设等差数列的前n项和为，其公差，且，则（）．A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】利用等差数列基本量代换，对四个选项一一验证.【详解】对于A：因为，所以，解得：.故A正确；对于B：故B正确；对于C：因为，所以，所以. 因为，所以.故C正确；对于D：因为，所以，所以.因为，所以.故D错误.故选：ABC12.设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则（）A.为定值B.的周长的取值范围是C.当时，为直角三角形D.当时，的面积为【答案】AB【解析】【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A；由为定值以及的范围判断B；求出坐标，由数量积公式得出，得出为钝角三角形判断C；求出坐标，由面积公式得出的面积判断D.【详解】解：设椭圆的左焦点为，连接，由椭圆的对称性得，所以为定值，A正确；的周长为，因为为定值6，所以的范围是，所以的周长的范围是，B正确；将与椭圆方程联立，可解得，，又因为，所以，，即为钝角，所以为钝角三角形，C错误；将与椭圆方程联立，解得，所以， D错误.故选：AB【点睛】三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13.数列，满足，，，则的前10项之和为___________.【答案】【解析】【分析】由题意得到，利用裂项相消法求解.【详解】因为，满足，，，所以，所以，故答案为：14.杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了三个项目的志愿者工作，每个项目需1名或2名志愿者，若甲不能参加项目，乙不能参加、项目，那么共有______种不同的志愿者选拔方案.【答案】10【解析】【分析】由题意可得乙一定参加项目，再分项目只有一个人和项目有2 人两种情况讨论，再根据分组分配问题即可得出答案按.【详解】解：由题意可得乙一定参加项目，若项目只有一个人时，即为乙，则先将甲、丙、丁分为两组，有种，再将两组分配到两个项目，有种，则有种不同的志愿者选拔方案，若项目有2人时，又甲不能参加项目，则只能从丙、丁中选1人和乙组队到项目，有种，再将剩下的2人分配到两个项目，有种，则有种不同的志愿者选拔方案，综上，共有种不同的志愿者选拔方案.故答案为：10.15.已知椭圆：和双曲线：，若的一条渐近线被圆截得的弦长为，则椭圆的离心率e为______．【答案】【解析】【分析】先求出圆心到渐近线的距离，确定的a，b之间的关系，再求出离心率.【详解】的渐近线方程为，不妨设为，圆的圆心，到渐近线的距离=，对于：； 故答案：.16.M为抛物线上任意一点，F是抛物线的焦点，E是抛物线的准线与x轴的交点，点P为线段OM的中点，则的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】设出，，表达出，，结合，求出最值，得到取值范围.【详解】如图，，设，，则，故，因为，所以，故当时，取得最小值，最小值为，当时，取得最大值，最大值为7，则的取值范围为. 故答案为：.四、解答题（本题共6个小题，共70分．）17.已知的三个顶点分别为，，．（1）求边的垂直平分线的方程；（2）求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）计算，的中点为，边的垂直平分线的斜率，得到直线方程.（2）计算，到直线的距离为，得到面积.【小问1详解】，故边的垂直平分线的斜率，的中点为，故垂直平分线为，即.【小问2详解】 ，所在的方程为，即，到直线的距离为，.18.在二项式的展开式中，______.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；②所有奇数项的二项式系数的和为256.试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式的常数项.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】选择①：，利用组合数公式，计算即可；选择②：转化为，计算即可（1）由于共9项，根据二项式系数的性质，二项式系数最大的项为第5项和第6项，利用通项公式计算即可；（2）写出展开式的通项，令，即得解【详解】选择①.，即，即，即，解得或（舍去）.选择②.，即，解得. （1）展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，，.（2）展开式的通项为，令，得，所以展开式中常数项为第7项，常数项为.19.已知数列满足且.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求的前项和为.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用等比数列定义判断为等比数列，根据等比数列的通项公式求得答案.（2）由（1）可求得的通项公式，利用错位相减法即可求得答案.【小问1详解】由题意知数列满足且，是首项为，公比为的等比数列，； 【小问2详解】由，得，所以，则两式相减得，所以.20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆及点.（1）若直线过点，与圆相交于两点，且，求直线l的方程；（2）圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）或（2）存在，两个【解析】 【分析】(1)根据垂径定理可得圆心到直线的距离为1，然后利用点到直线的距离即可求解；(2)假设圆上存在点，设，则，利用题干条件得到点也满足，根据两圆的位置关系即可得出结果.【小问1详解】圆可化为，圆心为，若的斜率不存在时，，此时符合要求.当的斜率存在时，设的斜率为，则令，因为，由垂径定理可得，圆心到直线的距离，所以直线的方程为或.【小问2详解】假设圆上存在点，设，则，，即，即，，与相交，则点有两个.21.已知直角三角形ABC的顶点，直角顶点B的坐标为，顶点C在x轴上．（1）求直角三角形ABC的外接圆的一般方程；（2）设OA的中点为M，动点P满足，G为OP的中点，其中O为坐标原点，E为三角形ABC的外接圆的圆心，求点G的轨迹方程．【答案】（1） （2）【解析】【分析】(1)根据题意求出直线BC的方程并求出点的坐标，根据直角三角项外接圆的圆心为斜边的中点，半径为斜边长的一半即可求解；(2)结合（1）的结论和双曲线的定义，求出点P的轨迹方程为，设，根据题意进行等量代换即可求解.【小问1详解】由题意知：直线AB的斜率为，∵，∴直线BC的斜率为，直线BC的方程为：令，则，∴C（4，0）由于三角形是以B为直角顶点的直角三角形，所以其外接圆的直径为AC，从而外接圆的圆心为（1，0），半径为3∴三角形ABC外接圆的方程为：，其一般方程为：【小问2详解】由（1）知：三角形ABC的外接圆的圆心E（1，0），∵M为OA的中点，∴∵，∴P的轨迹是以M，E为焦点的双曲线的右支，设其方程为：则，，从而，， ∴点P的轨迹方程为：①设，，∵G为OP的中点，则有，从而，∴代入①得点G的轨迹方程为：．22.已知点在椭圆（）上，且该椭圆的离心率为.直线l交椭圆于P，Q两点，直线，的斜率之和为零，（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件立方程组求解a，b，c；（2）设直线AP的倾斜角，由条件计算出AP和AQ的斜率，再求出点P和Q的坐标，运用三角形面积公式计算的面积.【小问1详解】设椭圆的焦距为，由题意可得，解得，所以椭圆方程为；【小问2详解】 由题意作下图：不妨设直线的倾斜角为锐角且为，则直线的倾斜角为，所以，因，，解得，又为锐角，所以，于得直线：，：，联立方程组消去y得：，因为方程有一根为2，所以，，同理可得，，所以：，，点A到直线的距离，所以的面积为；综上，椭圆方程为；的面积为.