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沪科版数学七年级下册 8.4.2 公式法 课件
沪科版数学七年级下册 8.4.2 公式法 课件
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第8章整式乘法与因式分解8.4因式分解2.公式法 如图,在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形,将剩余部分拼成一个长方形,根据此图形变换,你能得到什么等式?a米b米b米a米(a-b)米情境引入a2-b2=(a+b)(a-b) 想一想:多项式a2-b2有什么特点?你能将它分解因式吗?是a,b两数的平方差的形式))((baba-+=22ba-))((22bababa-+=-整式乘法因式分解两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式:用平方差公式进行因式分解 √√××辨一辨:下列多项式能否用平方差公式来分解因式,为什么?√√★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解,即能写成:()2-()2的形式.(1)x2+y2(2)x2-y2(3)-x2-y2-(x2+y2)y2-x2(4)-x2+y2(5)x2-25y2(x+5y)(x-5y)(6)m2-1(m+1)(m-1)(x+y)(x+y) 方法总结:公式中的a,b无论表示数,单项式,还是多项式,只要被分解的多项式能转化成平方差的形式,就能用平方差公式因式分解. 分解因式:(1)(a+b)2-4a2;(2)9(m+n)2-(m-n)2.针对训练=(2m+4n)(4m+2n)解:(1)原式=(a+b-2a)(a+b+2a)=(b-a)(3a+b).(2)原式=(3m+3n-m+n)(3m+3n+m-n)=4(m+2n)(2m+n).若用平方差公式分解后的结果中还有公因式,一定要继续用提公因式法分解 当场编题,考考你!))((22bababa-+=-20232-20222=(2mn)2-(3xy)2=(x+z)2-(y+p)2= 例2已知x2-y2=-2,x+y=1,求x-y,x,y的值.所以x-y=-2②.解:因为x2-y2=(x+y)(x-y)=-2,x+y=1①,联立①②组成二元一次方程组,解得 方法总结:在与x2-y2,x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中,通常需先因式分解,然后整体代入或联立方程组求值. 例3计算下列各题:(1)1012-992;(2)53.52×4-46.52×4.解:(1)原式=(101+99)(101-99)=400.(2)原式=4(53.52-46.52)=4(53.5+46.5)(53.5-46.5)=4×100×7=2800.方法总结:较为复杂的有理数运算,可以运用因式分解对其进行变形,使运算得以简化. 例4求证:当n为整数时,多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除.即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除.证明:原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n.因为n为整数,所以8n一定能被8整除.方法总结:解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式,然后分析能被哪些数或式子整除. 你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗?拼出的图形为:aabbabababa²b²ab用完全平方公式分解因式 这个大正方形的面积可以怎么求?a2+2ab+b2(a+b)2=ababa²ababb²(a+b)2a2+2ab+b2=将上面的等式逆过来看,能得到: a2+2ab+b2a2-2ab+b2我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.观察这两个式子:(1)每个多项式有几项?(3)中间项和第一项,第三项有什么关系?(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征?三项这两项都是数或式的平方和是第一项和第三项底数的积的±2倍 完全平方式的特点:1.必须是三项式(或可以看成三项的);2.有两个数或式的平方和;3.中间有两底数之积的±2倍.完全平方式: 简记口诀:首平方,尾平方,首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式,就是完全平方式,将它写成完全平方的形式,便实现了因式分解.2ab+b2±=(a±b)²a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2两个数的平方和加上(或减去)这两个数积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方. 3.a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()².2.m²-6m+9=()²-2·()·()+()²=()²;1.x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²;x2x+2aa2ba+2b2b对照a²±2ab+b²=(a±b)²,填空:mm-33x2m3 下列各式是不是完全平方式?(1)a2-4a+4;(2)1+4a²;(3)4b2+4b-1;(4)a2+ab+b2;(5)x2+x+0.25.是(2)因为它只有两项.不是(3)4b²与-1的符号不统一.不是分析:不是是(4)中间项缺2倍. 例5若x2-6x+N是一个完全平方式,则N=()A.36B.9C.-36D.-9B解析:根据完全平方式的特征,中间项-6x=2x×(-3),故可知N=(-3)2=9.变式训练如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么常数m的值为_____.解析:∵16=(±4)2,∴-m=2×(±4),即m=±8.±8典例精析 方法总结:本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征,根据参数所在位置,结合公式,找出参数与已知项之间的数量关系,从而求出参数的值.计算过程中,要注意积的2倍的符号,避免漏解. 例6分解因式:(1)16x2+24x+9;(2)-x2+4xy-4y2.分析:(1)中,16x2=(4x)2,9=3²,24x=2·4x·3,所以16x2+24x+9是一个完全平方式,即16x2+24x+9=(4x)2+2×4x·3+32.2abb2a2(2)中首项有负号,一般先利用添括号法则,将其变形为-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式. 解:(1)16x2+24x+9=(4x+3)2.=(4x)2+2·4x·3+32(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2. 例7利用完全平方公式简便计算:(1)1002-2×100×99+99²;(2)342+34×32+162.解:(1)原式=(100-99)²(2)原式=(34+16)2本题利用完全平方公式分解因式,可以简化计算,=1.=2500. 例8已知x2-4x+y2-10y+29=0,求x2y2+2xy+1的值.=112=121.解:因为x2-4x+y2-10y+29=0,所以(x-2)2+(y-5)2=0.因为(x-2)2≥0,(y-5)2≥0,所以x-2=0,y-5=0.所以x=2,y=5.所以x2y2+2xy+1=(xy+1)2几个非负式的和为0,则这几个非负式都为0 方法总结:此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负式的和的形式,然后利用非负式的性质解决问题. 1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )A.a2+(-b)2B.5m2-20mnC.-x2-y2D.-x2+9D2.分解因式(2x+3)2-x2的结果是( )A.3(x2+4x+3)B.3(x2+2x+3)C.(3x+3)(x+3)D.3(x+1)(x+3)D3.若a+b=3,a-b=7,则b2-a2的值为( )A.-21B.21C.-10D.10A 4.把下列各式分解因式:(1)16a2-9b2=__________________;(2)(a+b)2-(a-b)2=________;(3)9xy3-36x3y=____________________;(4)-a4+16=_______________________.(4a+3b)(4a-3b)4ab9xy(y+2x)(y-2x)(4+a2)(2+a)(2-a)5.若(2x)n-81可分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n的值是______.4 6.把下列多项式因式分解:(1)x2-12x+36;(2)4(2a+b)2-4(2a+b)+1;(3)y2+2y+1-x2.(2)原式=[2(2a+b)]²-2×2(2a+b)·1+1²=(4a+2b-1)2.解:(1)原式=x2-2·x·6+62=(x-6)2.(3)原式=(y+1)²-x²=(y+1+x)(y+1-x). 7.已知4m+n=40,2m-3n=5,求(m+2n)2-(3m-n)2的值.原式=-40×5=-200.解:原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)(2m-3n).当4m+n=40,2m-3n=5时, 公式法因式分解公式平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)步骤一提:公因式;二套:公式;三查:多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2
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