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湘教版选修2-2当堂检测6.3 第1课时 数学归纳法

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6.3 数学归纳法(一)1.若命题A(n)(n∈N*)在n=k(k∈N*)时命题成立,则有n=k+1时命题成立.现知命题对n=n0(n0∈N*)时命题成立,则有(  )A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立D.以上说法都不正确答案 C解析 由已知得n=n0(n0∈N*)时命题成立,则有n=n0+1时命题成立;在n=n0+1时命题成立的前提下,又可推得n=(n0+1)+1时命题也成立,依此类推,可知选C.2.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1=(a≠1)”.在验证n=1时,左端计算所得项为(  )A.1+aB.1+a+a2C.1+a+a2+a3D.1+a+a2+a3+a4答案 C解析 将n=1代入a2n+1得a3,故选C.3.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程如下:(1)当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1.所以当n=k+1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*,等式都成立.上述证明的错误是________. 答案 未用归纳假设解析 本题在由n=k成立,证n=k+1成立时,应用了等比数列的求和公式,而未用上假设条件,这与数学归纳法的要求不符.4.当n∈N*时,Sn=1-+-+…+-,Tn=+++…+,(1)求S1,S2,T1,T2;(2)猜想Sn与Tn的关系,并用数学归纳法证明.解 (1)∵当n∈N*时,Sn=1-+-+…+-,Tn=+++…+.∴S1=1-=,S2=1-+-=,T1==,T2=+=.(2)猜想Sn=Tn(n∈N*),即1-+-+…+-=+++…+(n∈N*).下面用数学归纳法证明:①当n=1时,已证S1=T1,②假设n=k时,Sk=Tk(k≥1,k∈N*),即1-+-+…+-=+++…+,则Sk+1=Sk+-=Tk+-=+++…++-=++…+++ =++…++=Tk+1.由①,②可知,对任意n∈N*,Sn=Tn都成立.在应用数学归纳法证题时应注意以下几点:(1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为1;(2)递推是关键:正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障;(3)利用假设是核心:在第二步证明中一定要利用归纳假设,这是数学归纳法证明的核心环节,否则这样的证明就不是数学归纳法证明.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-03-24 19:05:02 页数:3
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文章作者:U-344380

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