苏教版必修第一册课件3.3.2 第2课时 一元二次不等式的应用

第3章第2课时　一元二次不等式的应用 课标要求1.会求简单的分式不等式;2.掌握简单的一元二次不等式恒成立问题;3.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点1简单的分式不等式的解法分式不等式的解法:名师点睛解分式不等式需要注意将分式不等式等价转化为整式不等式. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)×× 知识点2一元二次不等式恒成立问题2.分离参数,将恒成立问题转化为求最大(小)值问题. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集一定是R.()(2)一元二次不等式在R上恒成立,既要看相应二次函数图象的开口方向,又要看二次函数图象与x轴的交点个数.()2.对∀x∈R,x2+2x+m>0恒成立,则实数m的取值范围是.×√答案(1,+∞)解析由题意可知,Δ=4-4m<0,解得m>1. 知识点3利用不等式解决实际问题的一般步骤1.选取合适的字母表示题目中的未知数;2.由题目中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组);3.求解所列出的不等式(组);4.结合题目的实际意义确定答案. 过关自诊解一元二次不等式应用题的关键是什么?提示解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,选择其中起关键作用的未知量为x,用x表示其他未知量,根据题意,列出不等关系再求解. 重难探究•能力素养全提升 探究点一简单的分式不等式的解法【例1】解下列不等式:解(1)原不等式可化为(x+1)(2x-1)<0, 则x<-2.故原不等式的解集为{x|x<-2}. 规律方法分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零.(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使不等号右边为零,然后再用上述方法求解. 变式训练1解下列不等式: 可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,解得-1<x<1.所以,原不等式的解集为{x|-1<x<1}. 探究点二不等式恒成立问题【例2】已知y=x2+ax+3-a,若x∈[-2,2],y≥0恒成立,求实数a的取值范围. 规律方法1.不等式ax2+bx+c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:当a=0时,b=0,c>0;当a≠0时,2.不等式ax2+bx+c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:当a=0时,b=0,c<0;当a≠0时,3.y≤a恒成立⇔a≥ymax;y≥a恒成立⇔a≤ymin. 变式探究1本例条件不变,若y≥2恒成立,求实数a的取值范围. 变式探究2将本例中的条件“y=x2+ax+3-a,x∈[-2,2],y≥0恒成立”变为“不等式x2+2x+a2-3>0的解集为R”,求实数a的取值范围.解(方法一)∵不等式x2+2x+a2-3>0的解集为R,∴函数y=x2+2x+a2-3的图象应在x轴上方,∴Δ=4-4(a2-3)<0,解得a>2或a<-2.故a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).(方法二)令y=x2+2x+a2-3,要使x2+2x+a2-3>0的解集为R,则a满足ymin=a2-4>0,解得a>2或a<-2.故a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞). (方法三)由x2+2x+a2-3>0,得a2>-x2-2x+3,即a2>-(x+1)2+4,要使该不等式在R上恒成立,必须使a2大于-(x+1)2+4的最大值,即a2>4,故a>2或a<-2.故a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞). 变式训练2当x>0时,不等式2x2+ax+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是. 探究点三一元二次不等式的实际应用【例3】某公司为改善营运环境,年初以50万元的价格购进一辆豪华客车.已知该客车每年的营运总收入为30万元,使用x年(x∈N*)所需的各种费用总计为2x2+6x万元.则该车营运第几年开始盈利(总收入超过总支出,今年为第一年).解因为客车每年的营运总收入为30万元,使用x年(x∈N*)所需的各种费用总计为2x2+6x万元,若该车第x年开始盈利,则30x>2x2+6x+50,则2x2-24x+50<0,即x2-12x+25<0,解得3≤x≤9(x∈N*).所以该车营运第三年开始盈利. 规律方法解不等式应用题的步骤 变式训练3行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫作刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(单位:m)与汽车的车速v(单位:km/h)满足下列关系:s=(n为常数,且n∈N),做了两次刹车实验,有关实验数据如图所示,(1)求n的值;(2)要使刹车距离不超过12.6m,则行驶的最大速度是多少? 解得-84≤v≤60.因为v≥0,所以0≤v≤60,即行驶的最大速度为60km/h. 变式探究本例中,条件不变,若该型号的汽车在某一限速为80km/h的路段发生了交通事故,交警进行现场勘察,测得该车的刹车距离超过了25.65m,试问该车是否超速行驶?解由题意知s≥25.65,即≥25.65,即v2+24v-10260≥0,解得v≥90或v≤-114.由于v≥0,所以速度v≥90>80,因此该车超速行驶. 本节要点归纳1.知识清单:(1)简单的分式不等式的解法;(2)不等式的恒成立问题;(3)一元二次不等式在现实生活中的应用.2.方法归纳:等价变形转化、恒等变形.3.常见误区:(1)解分式不等式的等价变形;(2)利用一元二次不等式解决实际问题时,应注意实际意义. 学以致用•随堂检测全达标 1.已知集合A={x|(x-1)(x+2)<0},集合B=,则A∩B=()A.{x|-2<x<0}B.{x|1<x<2}C.{x|0<x<1}D.R答案A解析因为集合A={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-2<x<1},集合B=={x|x<0或x>1},所以A∩B={x|-2<x<0}.故选A. 2.不等式≥5的解集是.3.设x2-2x+a-8≤0对任意x∈(1,3)恒成立,则a的取值范围是.答案(-∞,5]解析x2-2x+a-8≤0对任意x∈(1,3)恒成立,转化为a≤-x2+2x+8对任意x∈(1,3)恒成立.设y=-x2+2x+8,易知y在[1,3]上的最小值为5.故a∈(-∞,5]. 4.某小电子产品2020年的价格为9元/件,年销量为a件,经销商计划在2021年将该电子产品的价格降为x元/件(其中6.5≤x≤8.5),经调查,顾客的期望价格为5元/件,经测算,该电子产品的价格下降后年销量新增加了件(其中常数k>0).已知该电子产品的成本价格为4元/件.(1)写出该电子产品价格下降后,经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式.(年收益=年销售收入-成本)(2)设k=2a,当实际价格最低定为多少时,仍然可以保证经销商2021年的收益比2020年至少增长20%? 整理得x2-13x+42≥0,解得x≤6或x≥7.又6.5≤x≤8.5,所以7≤x≤8.5.因此当实际价格最低定为7元/件时,仍然可以保证经销商2021年的收益比2020年至少增长20%. 本课结束