苏教版必修第一册课件3.3.2 第1课时 一元二次不等式的解法

第3章第1课时　一元二次不等式的解法 课标要求1.能借助二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集;2.借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点从函数观点看一元二次不等式1.一元二次不等式的概念注意二次项系数不为0只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是的叫作一元二次不等式.整式不等式2 2.三个“二次”的对应关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个相异的实数根x1,x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1=x2=-没有实数根二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c>0(a>0)的解集(-∞,-)∪(-,+∞)Rax2+bx+c<0(a>0)的解集(x1,x2)(-∞,x1)∪(x2,+∞)⌀⌀ 名师点睛1.解一元二次不等式时,必须注意二次项系数的符号,当a<0时,可以利用不等式的性质转化为正数,然后再求解.2.解不等式ax2+bx+c≥0与ax2+bx+c≤0,要注意解集的端点.3.等价转化法 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)关于x的不等式ax2+5x>0一定是一元二次不等式.()(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集是(x1,x2),则a>0.()(3)若ax2+bx+c<0的解集是(x1,x2),则x1,x2一定是ax2+bx+c=0的两根.()(4)因为方程x2+x+1=0无解,所以不等式x2+x+1>0的解集为⌀.()×√√× 2.一元二次不等式ax2+bx+c>0与二次函数y=ax2+bx+c有什么关系?提示一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集就是二次函数y=ax2+bx+c满足y>0时x的取值范围,从函数图象上分析,即为二次函数的图象在x轴上方的点的横坐标的集合. 重难探究•能力素养全提升 探究点一不含参数的一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式:(1)2x2+7x+3>0;(2)-4x2+18x-≥0;(3)-2x2+3x-2<0.解(1)因为Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程2x2+7x+3=0有两个不相等的实数根x1=-3,x2=-.又二次函数y=2x2+7x+3的图象开口向上, (3)原不等式可化为2x2-3x+2>0,因为Δ=9-4×2×2=-7<0,所以方程2x2-3x+2=0无实数根.又二次函数y=2x2-3x+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R. 规律方法解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 变式训练1解下列不等式:(1)2x2-3x-2>0;(2)x2-4x+4>0;(3)-x2+2x-3<0;(4)-3x2+5x-2>0. (2)∵Δ=0,方程x2-4x+4=0的根是x1=x2=2,∴不等式x2-4x+4>0的解集为{x|x≠2}.(3)原不等式可化为x2-2x+3>0,由于Δ<0,方程x2-2x+3=0无解,∴不等式-x2+2x-3<0的解集为R.(4)原不等式可化为3x2-5x+2<0, 探究点二三个二次之间的关系【例2】已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集.解(方法一)由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}可知,a<0,且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根, (方法二)由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}可知,a<0,且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根,所以ax2+bx+c=a(x-2)(x-3)=ax2-5ax+6a,则b=-5a,c=6a.故不等式cx2+bx+a<0,即6ax2-5ax+a<0, 规律方法已知以a,b,c为参数的不等式如ax2+bx+c>0的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循:(1)根据解集来判断二次项系数的符号;(2)根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式;(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 变式探究本例中的条件不变,求关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集. 变式训练2已知一元二次不等式x2+mx-2>0的解集为{x|x<-2或x>1},则不等式-2x2+x+m<0的解集为()A.(-2,1)B.(-∞,-2)∪(1,+∞) 答案D解析由题意可知,一元二次方程x2+mx-2=0的两根分别为-2,1,由根与系数的关系可得-2+1=-m,解得m=1.所以不等式-2x2+x+m<0,即-2x2+x+1<0,整理得2x2-x-1>0,解得x<-或x>1,故原不等式的解集为(-∞,-)∪(1,+∞).故选D. 探究点三含参数的一元二次不等式的解法【例3】解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0). 规律方法解含参数的一元二次不等式的一般步骤 变式探究将本例条件中的“a>0”改为“a≠0”呢? 变式训练3解关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0.解方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a,函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,则当a<-1时,原不等式解集为{x|a<x<-1};当a=-1时,原不等式解集为⌀;当a>-1时,原不等式解集为{x|-1<x<a}. 本节要点归纳1.知识清单:(1)一元二次不等式的解法;(2)三个“二次”之间的关系.2.方法归纳:数形结合、分类讨论.3.常见误区:在求解不等式ax2+bx+c>0时,忽略a的正负导致出错. 学以致用•随堂检测全达标 1.已知集合M={x|x2+x-2≤0},N={-1,0,1,2},则M∩N的子集个数为()A.2B.4C.8D.16答案C解析因为M={x|x2+x-2≤0}={x|-2≤x≤1},N={-1,0,1,2},所以M∩N={-1,0,1},所以M∩N的子集个数为23=8.故选C. 2.不等式3+5x-2x2≤0的解集为()D.R答案C解析-2x2+5x+3≤0,即2x2-5x-3≥0,(2x+1)(x-3)≥0,则x≥3或x≤-,故选C. 3.关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},则关于x的不等式bx2-ax-c>0的解集为()A.{x|-2<x<1}B.{x|-1<x<2}C.{x|x<-1或x>2}D.{x|x<-2或x>1}答案D解析因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},所以a<0,,故b=-a,c=-2a.所以bx2-ax-c>0可化为-ax2-ax+2a>0,即x2+x-2>0,分解因式得(x+2)(x-1)>0,解得x<-2或x>1,所以不等式的解集为{x|x<-2或x>1}.故选D. 4.若关于x的不等式x2-3x+t<0的解集是{x|1<x<m},则m=,m+t=.答案24解析∵不等式x2-3x+t<0的解集为{x|1<x<m},∴1,m是方程x2-3x+t=0的两根, 5.解下列不等式:(1)x(7-x)≥12;(2)x2>2(x-1).解(1)原不等式可化为x2-7x+12≤0,因为方程x2-7x+12=0的两根为x1=3,x2=4,所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}.(2)原不等式可以化为x2-2x+2>0,因为判别式Δ=4-8=-4<0,方程x2-2x+2=0无实根,而抛物线y=x2-2x+2开口向上,所以原不等式的解集为R. 本课结束