河南省信阳市2022-2023学年高一数学下学期开学考试试题（Word版附解析）

2022-2023学年（下）高一年级阶段性测试（开学考）数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求得，由此求得.【详解】，，所以，所以，所以.故选：B2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】 【分析】取特值并根据充分条件和必要条件的定义可得答案.【详解】当时，不能推出，当时，不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D3.已知是第二象限角，若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据的象限推出的象限，再根据平方关系式可求出结果.【详解】因为第二象限角，所以是第一象限角，又因为，所以.故选：B4.若，则的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】将转化，化简，再利用基本不等式求解即可.【详解】由，所以，，所以 ，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为3.故选：C.5.方程的解所在的区间为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】通过构造函数法，结合函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.【详解】由得，设，则在上单调递增，，所以的唯一零点在区间，即方程的解所在的区间为.故选：B6.著名画家达·芬奇画完他的《抱银貂的女子》后，看着画中女人脖子上悬挂的黑色珍珠项链，开始思考这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，最终的答案是这条曲线的方程是双曲余弦函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（）AB.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根据题意，写出函数解析式，由奇偶性和单调性，解不等式即可.【详解】由题意，，为增函数，由，则函数为奇函数，由，即，所以，解得，所以的取值范围为.故选：A.7.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的知识求得正确答案.【详解】，，即.，所以.故选：A8.已知函数为奇函数，且在上单调递减，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】根据为奇函数，得到，故，由得到，数形结合得到不等式组，求出的取值范围.【详解】因为函数为奇函数，所以，故，要使得在上单调递减，只需在上单调递增，因为，所以，其中，结合正弦函数图象可知：，解得：，综上：.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称D.在上单调递增 【答案】BC【解析】【分析】利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质判断即可.【详解】由题意，所以的最小正周期，A错误；当时，所以的图象关于直线对称，B正确；当时，所以的图象关于点对称，C正确；当时，，所以在上不具有单调性，D错误；故选：BC10.已知函数，则（）A.的定义域为B.的图象关于轴对称C.的值域为D.是减函数【答案】AC【解析】【分析】由，解出不等式解集即为定义域，即可判断A；根据函数奇偶性的定义即可判断B；化简函数为，进而判断D；求出的值域，进而判断C.【详解】由，即，解得，所以函数的定义域为，故A正确； 又，所以函数为奇函数，故B错误；又，因为函数在上为增函数，所以函数在上为增函数，故D错误；又，所以，即，所以，即，所以，故函数的值域为，故C正确.故选：AC.11.下列计算结果正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用三角恒等变换逐项判断即可.【详解】，A正确；，B正确；，C错误；由， 可得，D正确；故选：ABD12.已知函数有两个零点，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】在坐标系作和的图象，则函数即和图象的交点，根据图象求解即可.【详解】在坐标系作和的图象如图所示，则和图象的交点即为函数的零点，由图象可得，所以，A错误；，B正确； ，C正确；因为，，且，所以，所以，D错误；故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“，”的否定是__________．【答案】，【解析】【分析】全称命题的否定为特称命题，变化规则为改量词，否结论.【详解】改量词：由改成；否结论：对进行否定得；所以原命题的否定为：，.故答案为：，.14.已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则在上的最大值为______.【答案】【解析】【分析】根据求得，结合函数的单调性、奇偶性求得正确答案.【详解】依题意，是定义在上的奇函数，所以， 即当时，，单调递增，所以在区间上的最小值为，所以在区间上的最大值为.故答案为：15.已知为锐角，，，则__________【答案】【解析】【分析】由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的余弦函数公式化简计算，即得结果．【详解】，都是锐角，，又，，，，则．故答案为：.16.已知函数，若有三个零点，则______.【答案】【解析】【分析】先计算出的零点，再根据零点的个数求得的值.【详解】依题意，的开口向下，对称轴为，，由解得 ，，由于有三个零点，所以，解得（负根舍去）.故答案为：四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数的最小值为，方程有两个实根和6.（1）求函数的解析式；（2）求关于的不等式的解集.【答案】（1）（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题知，，，进而解方程即可得答案；（2）由题知，再分，，三种情况讨论求解.【小问1详解】解：因为方程有两个实根和，所以，方程有两个实根和，所以，①，②因为函数的最小值为，所以③， 所以，由①②得，代入③解得，所以，，，所以，；【小问2详解】解：因为，即为所以，，即，所以，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.18.已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为.（1）当时，求；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分别求出集合，,先求出集合的补集，再求出与集合的并集即可；（2）由已知条件可知，即⫋,由此列出不等式即可求解.【小问1详解】∵的定义域为，即解得，∴函数的定义域，∴；又∵当时，的解集为，∴； 【小问2详解】∵是的充分不必要条件，∴,∴⫋,又∵的解集为，∴，解得，∴实数的取值范围.19.已知函数.（1）若当时，函数有意义，求实数的取值范围.（2）是否存在实数，使得函数在上为增函数，并且在此区间的最小值为？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）由且，则为减函数，可得，要使有意义，则时，恒成立，进而求解即可；（2）由复合函数单调性可得，又最小值为，可得，进而求解即可.【小问1详解】因为且，设，则为减函数，所以当时，，要使有意义，则时，恒成立． 所以．所以．又且，所以且，所以的取值范围为；小问2详解】由（1）知，且，为减函数，要使函数在上为增函数，根据复合函数的单调性可知，，且则，解得，所以存在使得函数在上为增函数，并且在此区间的最小值为.20.已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简的解析式，利用整体代入法求得的单调递减区间.（2）求得在区间上的最大值，由此求得的取值范围.【小问1详解】. 由解得，所以函数的单调递减区间为【小问2详解】由（1）得，若，则，所以当时，取得最大值为，所以.21.已知函数.（1）求函数的值域.（2）求不等式的解集.（3）当为何值时，关于的方程在内的实根最多？最多有几个？（直接给出答案即可，无需说明理由）【答案】（1）；（2）；（3）,5.【解析】【分析】（1）原式等价变形得到一个关于的二次函数，配方并结合的范围，即可得到本题答案； （2）逐步化简，结合图像的函数与性质，即可解得不等式；（3）结合在的图像以及函数，即可得到本题答案.【小问1详解】因为，所以当时，，当时，，所以函数的值域为.【小问2详解】因为，所以，则，所以，得的解集为.【小问3详解】当时，方程在内的实根最多，最多有5个.22.已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若存在正实数且，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围.【答案】（1）函数为偶函数，理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可；（2）由题知函数在上单调递增，进而得有两个不相等的正实数根，再令，进而得两个均大于且不相等的正实数根， 最后根据二次函数根的分布求解即可.【小问1详解】解：函数为偶函数，理由如下：由题知函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数.【小问2详解】解：因为，，所以，当时，，设，则，所以，所以，即，所以，函数在上单调递增，因为在正实数且，使得在区间上的值域为，所以，即方程有两个不相等的正实数根，所以，方程有两个不相等的正实数根，令，所以，方程有两个均大于且不相等的正实数根， 所以，两个均大于且不相等的正实数根，令，所以，两个均大于且不相等的零点，所以，，即，解得，所以，实数的取值范围是