湖北省孝感市2022-2023学年高一数学下学期开学考试试题（Word版附解析）

2022-2023学年湖北省孝感市高一下学期收心考试数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”，年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽在赵爽弦图中直角三角形较小的锐角记为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得的值.【详解】设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，由题意可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，由题意可得，解得，故.故选：C.2.下面五个式子中：①；②；③；④；⑤，正确的有（）A.②③④B.②③④⑤C.②④⑤D.①⑤【答案】C 【解析】【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐一判断即可.【详解】解：①中，是集合中的一个元素，，所以①错误；②中，空集是任一集合的子集，所以②正确；③中，是的子集，，所以③错误；④中，任何集合是其本身的子集，所以④正确；⑤中，是元素，所以⑤正确.故选：C.3.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接计算出，再根据指数函数和对数函数的单调性，可得答案.【详解】，，，所以故选：C4.已知函数与函数互为反函数，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据反函数的定义得出，即可计算得出.【详解】因为，所以其反函数为，即，所以，故选：D.5.若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参 考数据如下表：那么方程的一个近似解（精确度0.04）为（）A.1.5B.1.25C.1.375D.1.4375【答案】D【解析】【分析】根据零点存在定理判断求解．【详解】由表格结合零点存在定理知零点在上，区间长度为0.03125，满足精度要求，观察各选项，只有D中值1.4375是该区间的一个端点，可以作为近似解，故选：D．6.已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据是定义在上的偶函数，得到，解得，结合函数奇偶性得到在上单调递减，从而列出不等式，求出不等式的解集.【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，解得：，因为在上单调递增，所以在上单调递减，因为，所以， 故，解①得：或，解②得：，故故选：C7.函数的单调递减区间是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先求出函数的定义域，再求出内、外函数的单调区间，最后根据复合函数的单调性判断即可.【详解】解：对于函数，令，即，解得，所以函数的定义域为，又在上单调递增，在上单调递减，又在定义域上单调递减，所以的单调递减区间为.故选：B8.定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据分段函数各区间的函数性质画出的图象，将问题转化为与直线 的交点问题，结合已知条件判断交点横坐标间的对称关系，进而求零点的和.【详解】由题设，画出上的大致图象，又为奇函数，可得的图象如下：的零点，即为方程的根，即图像与直线的交点.由图象知：与有5个交点：若从左到右交点横坐标分别为，1、关于对称，；2、且满足方程即，解得：；3、关于轴对称，则；故选：B二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列命题正确的是（）A.第一象限的角都是锐角B.小于的角是锐角C.是第三象限的角D.钝角是第二象限角【答案】CD【解析】【分析】A.举例说明；B.举例说明；C.利用终边相同的角判断；D.利用钝角的范围判断.【详解】对于A，如是第一象限的角，不是锐角，故A错误；对于B，如小于，不是锐角，故B错误；对于C，由，所以与终边相同，是第三象限的角，故C正确； 对于D，钝角为的角，是第二象限角，故D正确.故选：CD.10.下列说法中正确为（）A.不论取何实数，命题“，”为真命题B.若关于的不等式恒成立，则的取值范围为C.设集合，，则“”是“”的充分不必要条件D.函数与函数是同一个函数【答案】AC【解析】【分析】根据函数的对称性，可求得a值，即可判断A的正误；分别讨论和两种情况，结合二次型函数的性质，可判断B的正误；根据集合的包含关系及充分、必要条件的概念，可判断C的正误；根据同一函数的定义，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于A，令，则，故方程总有两个不相等的实数根，不妨设，由韦达定理得，即，不等式的解集为，则当时，有，故A正确；对于B，当时，可得成立，满足题意，当时，可得，解得，综上所述，的取值范围为，故B错误；对于C，当时，，所以，充分性成立，若，则或，解得或，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不 同，故不是同一函数，故D错误.故选：AC11.已知函数的图象关于直线对称，则（）A.函数在上为减函数B.函数为偶函数C.由可得是的整数倍D.函数在区间上有个零点【答案】AB【解析】【分析】首先求函数的解析式，再采用代入的方法判断选项.【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，，可得，，又，所以，所以对于，当时，，由正弦函数性质知是减函数，故A正确；对于B，是偶函数，故B正确；对于C，当，时，，但不是的整数倍，故C错误；对于，令，则，，即，， 由，解得，因为，所以，，，，因此在区间上有个零点，故D错误.故选：AB.12.已知函数，下列说法正确的是（）A.函数的单调递增区间是B.若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是C若函数有四个零点，，则D.若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】根据函数图象变换作出函数图象即可判断选项A，数形结合将问题转化为的图象与直线有三个交点即可判断选项B，根据题意，作出图象，确定有四个交点时，，利用双勾函数性质求出的取值范围，即可求解选项C，根据一元二次方程的根结合的图象，数形结合可判断选项D.【详解】利用函数图象变换，作图如下： 由图可知，函数的单调递增区间是，故A错误；函数恰有三个零点，即的图象与直线有三个交点，所以或，故B正确；函数有四个零点，则，不妨设，令，解得或，令，解得或，所以由图可知，，则有，即，所以，所以，，即，则，所以，设，则对钩函数在单调递减， 所以，所以，即又因为，所以，故C正确；令，解得或，由解得，所以有三个不同的解，由B选项分析过程可知，或，解得，或，所以实数的取值范围是，故D正确；故选:BCD.【点睛】关键点点睛：数形结合是解决本题的关键，选项B中将问题转化为的图象与直线有三个交点，选项C中，根据的图象与直线有四个交点，确定四个零点分布的位置，并根据解析式确定和，利用换元思想将变为单变量函数，利用双勾函数性质求范围,属于综合性较强的问题.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则取值的集合是______．【答案】【解析】【分析】由幂函数为奇函数，且在上递减，得到是奇数，且，由此能求出的值． 【详解】∵，幂函数为奇函数，且在上递减，∴是奇数，且，∴．故答案为：14.一扇形的圆心角，半径，则该扇形的周长为_____.【答案】【解析】【分析】根据弧长公式计算可得.【详解】解：由扇形的弧长公式得，所以扇形的周长为.故答案为：15.已知，，且，则的最大值是______．【答案】【解析】【分析】利用，，且，求出的范围，将消元得，利用二次函数的最值及倒数法则即可求得的最大值.【详解】解：因为，，且，所以，，当时，取最小值， 所以取最大值，故的最大值是.故答案为：.16.设，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】先求得，进而得到，根据任意，总存在，使得成立，得到，即可求解.【详解】由题意，函数，当时，，当时，，因为，可得，则，所以，所以，又因为，且，对于任意，总存在，使得成立，可得，即，解得，所以实数的取值范围为. 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（1）求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）根据对数运算法则，换底公式及指数幂的运算即得；（2）根据指数幂的运算律结合完全平方公式和立方和公式求解即可.【详解】（1）；（2）由，故，，故，.18.已知角满足.（1）求的值；（2）若角是第三象限角，，求的值.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式列方程组求解即可；（2）利用诱导公式求解即可.【小问1详解】 由题意和同角三角函数基本关系式，有，消去得，解得或，当角是第一象限角时，，因为角是第三象限角，.【小问2详解】由题意可得，因为角是第三象限角，所以，所以.19.已知函数，.（1）求的最大值和对应的取值；（2）求在的单调递增区间.【答案】（1）当，时，函数有最大值（2）【解析】【分析】（1）根据正弦型三角函数的最值列方程求解即可；（2）先确定函数在上的递增区间，结合已知区间求交集即可.【小问1详解】解：因为，，函数取最大值满足：， ，可得，，当，时，函数有最大值；【小问2详解】解：函数在上的增区间满足：，，可得，，又，函数的单增区间为.20.截至年月日，全国新型冠状病毒的感染人数突破人疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.（1）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段已知这种新药在注射停止后的血药含量（单位：）随着时间（单位：）.的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？（精确到，参考数据：，）（2）为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为平方米，侧面长为米，且不超过，房高为米.房屋正面造价元平方米，侧面造价元平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？【答案】（1）（2）答案见解析【解析】 【分析】（1）利用已知条件，求解指数不等式得答案．（2）根据题意表达出总造价，再根据基本不等式，结合对勾函数的性质分类讨论分析即可.【小问1详解】由题意得，，设该药在病人体内的血药含量变为时需要是时间为，由，得，故，．该新药对病人有疗效的时长大约为．【小问2详解】由题意，正面长为米，故总造价，即.由基本不等式有，当且仅当，即时取等号.故当，即，时总价最低；当，即时，由对勾函数性质可得，时总价最低；综上，当时，时总价最低；当时，时总价最低.21.已知函数（，）（1）当时，求函数的定义域；（2）当时，求关于的不等式的解集；（3）当时，若不等式对任意实数恒成立，求实数取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】【分析】（1）由ax-1＞0，得ax＞1下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可求得f（x）的定义域（2）根据函数的单调性解答即可；（3）令，可知在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．【详解】本题考查恒成立问题．（1）当时，，故：，解得：，故函数的定义域为；（2）由题意知，（），定义域为，用定义法易知为上的增函数，由，知：，∴.（3）设，，设，，故，，故：，又∵对任意实数恒成立，故：.【点睛】本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．22.如果函数在其定义域D内，存在实数使得成立，则称函数为“可拆分函数”.（1）判断函数，，，，是否为“可拆分函数”?(需说明理由) （2）设函数为“可拆分函数”，求实数a的取值范围.【答案】（1），，是可拆分函数；，不是可拆分函数，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）根据“可拆分函数”的定义，确定是否存在实数使得成立即可（2）结合函数为“可拆分函数”，建立方程关系，结合对数函数，分式函数的性质，利用分子常数法进行转化求解即可.【详解】（1），，是“可拆分函数”，，不是“可拆分函数”.理由如下:若，则，，，，，假设是“可分拆函数”，则存在，使得，即，而此方程的判别式，方程无实数解，所以，不是“可分拆函数”.假设，是“可分拆函数”，则存在，使得(明显不成立)，不是“可分拆函数”.（2）因为函数为“可分拆函数”，所以存在实数，使得，即，且，所以，令，则， 所以，，由得，即a的取值范围是.【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，结合“可拆分函数”的定义建立方程，进行转化是解决本题的关键，属于难题.