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辽宁省葫芦岛市兴城市高级中学2022-2023学年高二数学上学期期末试卷(Word版附解析)

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高二上学期期末线上质量检测——数学一、选择题(共8小题,每题5分)1.已知直线,,条件,条件,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的概念,结合直线平行的判定方法,即可求出结果.【详解】若,则直线与平行,即由能推出;若,则,解得,当时,与重合,不满足题意,应舍去;故;即由也能推出;综上,p是q的充要条件.故选:C.2.已知,,,如果,,三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底,则实数为()A.0B.9C.5D.3【答案】C【解析】【分析】根据已知条件,结合空间向量的基本定理,即可求解.【详解】,,与不平行,,,三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底,存在实数x,y使得, 即,解得,即实数为5时,,,三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底,故选:C.3.的展开式中的系数为()A.80B.24C.D.【答案】A【解析】【分析】把给定积式化成,再分析展开式即可求解作答.【详解】依题意,,显然展开式中没有项,展开式的项为,所以的展开式中的系数为80.故选:A4.过抛物线的焦点作直线交抛物线于,若,则的斜率是A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析:由题意得,抛物线准线方程为,如图所示,当直线的倾斜角为锐角时,分别作点作,垂足为,过点作交于点,则,因为,所以,在中,由,可得,因为轴,所以,此时;当直线 的倾斜角为钝角时,可得,故选C.考点:直线与抛物线的综合应用.5.已知点在圆:上,点,,满足的点的个数为()A.3B.2C.1D.0【答案】B【解析】【分析】设,轨迹可得点P的轨迹方程,即可判断该轨迹与圆的交点个数.【详解】设点,则,且,由,得,即,故点P的轨迹为一个圆心为、半径为的圆,则两圆的圆心距为,半径和为,半径差为,有,所以两圆相交,满足这样的点P有2个.故选:B.6.已知二面角大小为,动点、分别在平面、内,到的距离为,到的距离为,则、两点之间距离的最小值为()A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】分别作于,于,于,于,连接、,则,在三角形中将表示出来,再研究其最值即可.【详解】如图所示,分别作于,在平面内作于,作于,在平面内作于,连接、,因为,,则,又因为,,、平面,平面,平面,,所以,为二面角的平面角,即,同理,由题意可得,,,、,,,同理,所以,,,在平面内,因为,,且,又因为,当且仅当,即点与点重合时取最小值.故选:D.7.重庆九宫格火锅,是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的,实现了“底同火不同,汤通油不通”它把火锅分为三个层次,不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度,其锅具抽象成数学形状如图(同一类格子形状相同): “中间格“火力旺盛,不宜久煮,适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物;“十字格”火力稍弱,但火力均匀,适合煮食,长时间加热以锁住食材原香;“四角格”属文火,火力温和,适合焖菜,让食物软糯入味.现有6种不同食物(足够量),其中1种适合放入中间格,3种适合放入十字格,2种适合放入四角格.现将九宫格全部放入食物,且每格只放一种,若同时可以吃到这六种食物(不考虑位置),则有多少种不同放法()A.108B.36C.9D.6【答案】C【解析】【分析】利用分步计数原理及分类计数原理即得.【详解】由题可知中间格只有一种放法;十字格有四个位置,3种适合放入,所以有一种放两个位置,共有3种放法;四角格有四个位置,2种适合放入,可分为一种放三个位置,另一种放一个位置,有两种放法,或每种都放两个位置,有一种放法,故四角格共有3种放法;所以不同放法共有种.故选:C.8.过双曲线C:上一点P作一条渐近线的平行线,交另一条渐近线于点Q,的面积为1(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设点,写出过点P与一条渐近线平行的直线 方程,再与另一条渐近线方程联立,解出点Q的坐标,表示的面积,求解值,得出双曲线C的离心率.另外,作为一个小题,也可以利用特殊值,取P为双曲线的右顶点,再计算结果.【详解】方法一:设点,代入双曲线C的方程,得,即.双曲线的渐近线方程为,过P与平行的直线方程为,直线与轴交于.联立,解得.,得,∴双曲线C:为等轴双曲线,其离心率为.方法二:不妨取P为双曲线的右顶点,双曲线的渐近线方程为,过A与平行的直线方程为,联立,解得,则,得a=2.∴双曲线C:为等轴双曲线,其离心率为.故选:A. 二、多选题(共4小题,每题5分,少选2分,多选错选0分)9.如图,在三棱柱中,,分别是,上的点,且,.设,,,若,,,则下列说法中正确的是()A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用向量的线性运算的几何表示,向量数量积的定义及运算律逐项分析即得.【详解】因为,,所以,,所以,故A错误;因为,,,所以,所以,故B正确;因为,,所以,故C错误;因为,所以, 因为,所以,所以,故D正确.故选:BD.10.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的,以下关于杨辉三角的叙述证确的是()A.第9行中从左到右第6个数是126B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据杨辉三角,利用组合数的计算判断ABD,利用二项式系数的性质判断C.【详解】对于A,第9行中从左到右第6个数是,故A正确;对于B,,故B正确;对于C,由二项式系数的性质知,故C错误;对于D,,故D正确.故选:ABD.11.下列命题中,表述正确的是()A.直线恒过定点B.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C.直线与曲线有两个不同的交点,则实数的取值范围是D.已知圆,点为直线上一动点,过点向圆引两条切线,为切点,则直线经过定点【答案】BD【解析】【分析】将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A;根据圆心到直线的距离与半径的关系比较即可判断选项B;直线过定点,数形结合得判断选项C;设出点坐标,求出以线段为直径的圆的方程,与已知圆的方程相减即可得直线的方程,即可判断选项D,进而可得正确选项.【详解】解:对于选项A:由可得:,由可得,所以直线恒过定点,故选项A不正确;对于选项B:圆心到直线距离等于,圆的半径,平行于且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切,所以,圆上有且仅有3个点到直线的距离等于,故选项B正确;对于选项C:由题知直线过定点,曲线表示以为圆心,为半径的圆在直线及上方的半圆,如图,直线为过点,与半圆相切的切线,切点为,所以,要使直线与曲线有两个不同的交点,则,所以,当直线与半圆相切时,有,解得,即 因为,所以实数的取值范围是,故C选项错误;对于选项D:设点坐标为,所以,即,因为、分别为过点所作的圆的两条切线,所以,,所以点在以为直径的圆上,以为直径的圆的方程为,整理可得:,与已知圆相减可得,消去可得:,即,由可得,所以直线经过定点,故选项D正确.故选:BD12.已知椭圆的左、右焦点分别为,(如图),离心率为,过的直线垂直于x轴,且在第二象限中交E于点A,直线交E于点B(异于点A),则下列说法正确的是() A.若椭圆E的焦距为2,则短轴长为B.的周长为4aC.若的面积为12,则椭圆E的方程为D.与的面积的比值为【答案】BCD【解析】【分析】根据椭圆方程的求解以及椭圆的定义,对每个选项进行逐一分析,即可判断和选择.【详解】对:若椭圆E的焦距为2,则,由离心率,则,所以,则短轴长为,故A错误;对B:根据椭圆的定义,的周长为4a,故B正确;对:由,故可得,,所以椭圆的方程可写为,易知,则,则,所以,,,则椭圆E的方程为,故C正确;对:因为,所以,过点B作, 则,,即,设,,,则,代入椭圆方程,整理得,解得或(舍),所以,故正确.故选:BCD.三、填空题(共4小题,每题5分,双填空第一个空2分,第二个空三分)13.空间直角坐标系中,点A(1,2,3)关于xOy平面的对称点为点B,关于原点的对称点为点C,则B,C间的距离为______.【答案】【解析】【分析】求出点的坐标即得解.【详解】解:空间直角坐标系中,点A(1,2,3)关于xOy平面的对称点为点B,关于原点的对称点为点C,∴B(1,2,-3),C(-1,-2,-3),则B,C间的距离为.故答案为: 14.已知直线,若直线l在两坐标轴上的截距相等,则实数k的值为___________;若直线l不经过第三象限,则k的取值范围是___________.【答案】①.或;②..【解析】【分析】分别令和求出直线在两坐标轴上截距,利用截距相等解方程求出的值;先分析过定点,然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式,由此求解出的取值范围.【详解】因为直线l在两坐标轴上的截距相等,所以,在中,令,得,令,得,依题意可得,即,解得或;直线的方程可化为,所以,所以,所以直线过定点,所以,由直线可得:,若不经过第三象限,则,故答案为:或;.15.某县精准扶贫攻坚力公室决定派遣8名干部(5男3女)分成两个小组,到该县甲、乙两个贫困村去参加扶贫工作,若要求每组至少3人,且每组均有男干部参加,则不同的派遣方案共有______种.【答案】180【解析】【分析】根据人数和要求每组均有男干部参加,则人数分3人一组,5人一组,或每组4人, 平均分两组,然后进行求解即可.【详解】解:∵要求每组至少3人,且每组均有男干部参加,∴从人数上分组由两种方案,3人一组,5人一组,或每组4人,平均分两组,第一类:分3人一组和5人一组,若女干部单独成组,则只有1个派遣方案,不考虑女子单独成组,有个派遣方案,又因为有可能派3人去甲县,也有可能派3人去乙县,故第一类有派遣方案(种);第二类:因为女干部只有3人,所以不存在女干部单独成组,则有派遣方案(种);故共有不同的派遣方案(种),故答案:180.【点睛】本题主要考查排列组合的应用,结合人数进行分组是解决本题的关键.16.已知抛物线及圆,过的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A,P,Q,B四点,则的最小值为___________.【答案】13【解析】【分析】根据圆心即为抛物线C的焦点F,利用抛物线的定义,结合基本不等式求解.【详解】解:如图所示: 圆心即为抛物线C的焦点F.所以,由抛物线的定义,,所以,又易知:,所以,当且仅当,即时等号成立.所以的最小值为13,故答案为:13四、解答题(共6小题)17.已知(1)求的值(2)求的值(3)求的值.【答案】(1)210(2)(3)1024【解析】【分析】(1)将化为,利用二项式展开式通项公式可求得答案.(2)采用赋值法即可求得答案;(3)由题意可得,结合二项式系数和即可得答案.【小问1详解】 ∵,∴.【小问2详解】令得到,由(1)知,,所以;【小问3详解】∵,所以,所以18.已知圆C经过点A(-1,0)和B(5,0),且圆心在直线x+2y-2=0上.(1)求圆C的标准方程;(2)直线l过点D(-1,1),且与圆C相切,求直线l的方程;【答案】(1)(2)x=-1或4x-3y+7=0;【解析】【分析】(1)圆C的圆心必定在A,B连线的垂直平分线上,据此与直线联立方程求出圆心和半径;(2)运用点到直线距离公式求出l的方程.【小问1详解】如图, 圆C的圆心C必定在A,B连线的垂直平分线上,将代入,解得,,半径,圆C的标准方程为:;【小问2详解】当直线l的斜率存在时,设直线l:,即kx-y+k+1=0,则,解得,此时直线l:4x-3y+7=0;当直线l的斜率不存在时,直线l:x=-1显然与圆C相切,所以直线l的方程为x=-1或4x-3y+7=0;综上,圆C的标准方程为:,直线l的方程为x=-1或4x-3y+7=0.19.如图,已知平面四边形ABCP中,D为PA的中点,PA⊥AB,,且PA=CD=2AB=4.将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角P-DC-B,连接PA、PB、BD.(1)证明:平面PBD⊥平面PBC;(2)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2).【解析】【分析】(1)由直二面角P-DC-B得PD⊥平面ABCD,再利用线面垂直的性质定理和判定定理可得答案;(2)PD⊥DA,PD⊥DC,DC⊥DA,以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系,求出平面PBC的法向量、的坐标,由线面角的向量求法可得答案.【小问1详解】 ∵PD⊥DC,AD⊥DC,直二面角P-DC-B的平面角为,∴PD⊥平面ABCD,又平面ABCD,∴PD⊥BC,又在平面四边形ABCD中,连接BD,由题意易得BD⊥BC,而,平面PBD,平面PBD,故BC⊥平面PBD,又平面PBC,∴平面PBD⊥平面PBC;【小问2详解】由(1)知,PD⊥DA,PD⊥DC,DC⊥DA,故以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,设平面PBC的法向量为,则,可取,又,∴,∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.20.已知抛物线的焦点为是曲线上的一点,且 .(1)求的方程;(2)直线交于A、B两点,且的面积为16,求的方程.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)将代入得,再根据抛物线的定义可得,即可求得抛物线的方程;(2)联立直线与抛物线,根据斜率公式和韦达定理以及三角形的面积公式,即可求解.【详解】(1)由题意,将代入,得,又,解得,∴抛物线的方程为.(2)直线的斜率显然存在,设直线,由,得,所以,又由,解得,∴直线方程为,所以直线恒过定点,原点到直线的距离,∴,所以,解得, 所以直线的方程为.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目,通常联立直线方程与抛物线方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=BC=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.(1)证明:BC⊥平面ACFE;(2)设点M在线段EF上运动,平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ,求cosθ的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】(1)证明BC⊥AC.通过平面ACFE⊥平面ABCD,推出BC⊥平面ACFE.(2)分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴的如图所示的空间直角坐标系,求出平面MAB的一个法向量,平面FCB的一个法向量,利用空间向量的数量积求解即可.【详解】(1)证明:在梯形ABCD中,因AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°所以AB=2,所以AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3,所以AB2=AC2+BC2,所以BC⊥AC.因为平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,因为BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面ACFE.(2)解:由(1)可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴的如图所示的空间直角坐标系, 令,则C(0,0,0),,B(0,1,0),M(λ,0,1).∴,.设(x,y,z)为平面MAB的一个法向量,由得,取x=1,则(1,,),∵(1,0,0)是平面FCB的一个法向量∴cosθ∵,∴当λ=0时,cosθ有最小值,当时,cosθ有最大值.∴.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用,二面角的平面角的求法,考查空间想象能力以及计算能力,是中档题.22.已知椭圆C:的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F,折线与C交于M,N两点.(1)当m=2时,求的值;(2)直线AM与BN交于点P,证明:点P在定直线上.【答案】(1) (2)证明见解析【解析】【分析】(1)联立直线与椭圆方程,根据对称关系以及韦达定理,结合弦长公式即可求解,(2)根据两点式分别求解直线的方程,联立直线的方程,求解交点坐标,进而可求解.【小问1详解】折线为,不妨设M在F的右侧,N在F的左侧,设,,则M,N关于x轴的对称点分别为,,联立,得,所以是的两根,所以,,,(1),当m=2时,.【小问2详解】由题意知,,则直线AM的方程为,又因为M在F的右侧,所以满足,所以直线AM的方程为①,由题知,,则直线BN的方程为, 又因为,所以直线BN的方程为②,得,,所以,,所以,所以,所以,解得x=1,所以定点P在直线x=1上.【点睛】直线与椭圆的位置关系和直线与抛物线、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系;有关直线与椭圆的弦长问题,则用一般弦长公式.解析几何简化运算的常见方法:(1)正确画出图形,利用平面几何知识简化运算;(2)坐标化,把几何关系转化为坐标运算;(3)巧用定义,简化运算.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-03-23 21:06:01 页数:23
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文章作者:随遇而安

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