辽宁省葫芦岛市第一高级中学2022-2023学年高三数学上学期期末试题（Word版附解析）

葫芦岛市第一高级中学期末线上教学阶段检测高三数学2023年1月12日一.单选题：1.设集合，则=A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：因为，所以，选A.【考点】集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.2.下列命题中，真命题是(　　)A.∃x0∈R，B.∀x∈(0，π)，sinx>cosxC.∀x∈(0，＋∞)，x2＋1>xD.∃x0∈R，＋x0＝－1【答案】C【解析】【分析】根据同角三角函数的平方关系，我们可以判断A的正误；正弦函数和余弦函数的图象与性质，我们可以判断B的真假；二次方程的判别式，可以判断C的正误；利用二次方程的判别式判断得D正误.【详解】对于A，由同角三角函数和平方关系，我们知道∀，所以A为假 命题；对于B，取特殊值：当时x=时，sinx=cosx=，所以B为假命题；对于C，一元二次方程根的判别式△=1﹣4=﹣3＜0，所以原方程没有实数根，所以C为真命题；对于D,判别式，所以D错误.故答案为C【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中利用函数的性质，逐一分析四个结论的正误是解答本题的关键．3.a为正实数，i为虚数单位，，则a=A.2B.C.D.1【答案】B【解析】【详解】，选B.4.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使留存的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【详解】由题意可知，洗次后存留的污垢为令，解得，因此至少要洗4次.故选B.5.如图，在四边形中，，，为中点.，求的值（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由向量线性运算和数量积运算律可化简得到，从而求得，继续运用向量线性运算和数量积运算律化简得到，代入对应长度即可求得结果.【详解】，为中点，，，，，故选：A.6.若过点可以作曲线的两条切线，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴 上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.7.已知函数.若函数在区间内没有零点，则取值范围是A.B.C.D. 【答案】D【解析】【详解】，,函数在区间内没有零点(1)，则，则，取，；（2），则，解得：，取，；综上可知：的取值范围是，选.【点睛】有关函数求的值及取值范围问题是近几年高考的重点考题，应引起足够的注意.本题首先利用降幂公式和辅助角公式把函数的解析式化为标准型，函数在区间内没有零点，根据的范围求出的范围，使其在或在内，恰好函数无零点，求出的范围.8.已知，，，，，则（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】由题意变形得，构造函数证得，观察选项，通过变形可知比较的是的大小，故构造函数证得其单调递减，由此得到所比大小排序.【详解】因为，，，所以由两边取自然对数得，即，故，再由得，故，令，则，故在上单调递减，又由上式可知，故，由四个选项的不等式同时除以可知，比较的是的大小，故令，则，再令，则，故在上单调递减，所以，故，所以在上单调递减，又因为，所以，即，上述不等式两边同时乘以得，.故选：D.二.多选题：9.函数，则（）A.f(x)的定义域为RB.值域为C.为偶函数D.在区间上是增函数 【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于函数，由于恒成立，所以的定义域为，A选项正确.，由于，当且仅当时等号成立，所以，B选项错误.由于，所以为偶函数，C选项正确.对于函数，任取，，由于，所以，所以在区间上递增.当时，令，则在区间上递增，根据复合函数单调性同增异减可知在区间上是增函数，D选项正确.故选：ACD10.九本书籍分给三位同学，下列说法正确的是（）A.九本书内容完全一样，每人至少一本有28种不同的分法B.九本书内容都不一样，分给三位同学有种不同的分法C.九本书内容完全一样，分给三位同学有55种不同的分法D.九本书内容都不一样，甲同学至少一本，乙同学至少二本有种不同分法 【答案】ABC【解析】【分析】对于A，利用挡板法可求解即可；对于B，每本书都有3种分配方法，求幂即可得到答案；对于C，根据题意，将9本书和2个挡板排成一排，利用挡板将9本书分为3组，对应3位同学即可，由组合数公式计算可得答案；对于D，可以分11类情况：①“1，2，6型”②“1，3，5型”③“1，4，4型”④“1，7，1型”⑤“1，8，0型”⑥“2，2，5型”⑦“2，3，4型”⑧“2，7，0型”⑨“3，3，3型”⑩“3，6，0型”⑪“4，5，0型”，分别计算再相加即可．【详解】对于A，9本相同的书分给三位同学，每人至少一本，利用挡板法分析，在9本书之间的8个空位中任选2个，插入挡板即可，有种不同的分法，故A正确；对于B，根据题意，9本书内容都不一样，则每本书都可以分给3人中的任意一人，即有3种分法，所以9本书有种不同的分法，故B正确；对于C，由9本书内容完全一样，则将这9本书和2个挡板排成一排，利用挡板将9本书分为3组，对应3位同学即可，则有种不同的分法，故C正确；对于D，可以分11类情况：①“1，2，6型”有；②“1，3，5型”；③“1，4，4型”；④“1，7，1型”；⑤“1，8，0型”；⑥“2，2，5型”；⑦“2，3，4型”；⑧“2，7，0型”；⑨“3，3，3型”；⑩“3，6，0型”；⑪“4，5，0型”，所以有种不同的分法，故D错误．故选：ABC．11.如图，正方体中，其棱长为3.，分别为棱，的中点， 过，，三点作该正方体的截面，截面是一个多边形.则（）A.截面和面的交线与截面和面的交线等长B.截面是一个五边形.C.截面是一个梯形.D.截面在顶点处的内角的余弦值为【答案】ABD【解析】【分析】做出截面，依次判断选项即可.【详解】延长至，使；延长至，使；连接，因，，则为等腰直角三角形，同理可得为等腰直角三角形，又，则三点共线.连接.因分别为中点，则.又，则四边形为平行四边形，得.又分别是中点，则.故，，则，则五点共面.设这五点所在平面为.平面，平面，则平面，连接交于.因，则，得. 同理，可得平面，连接交于，则.又，则.即五点共面.顺次连接，得截面为五边形.对于A，如图可知，截面和面的交线为DE，截面和面的交线为，又几何体棱长为3，，，则，，故，则A正确；对于BC选项，由图可知B正确，C错误；对于D选项，由图可知截面在顶点处的内角为，连接，因，则四边形为平行四边形，得.又由A选项分析可知，，则在三角形中由余弦定理有，则D正确.故选：ABD【点睛】 【点睛】关键点点睛：对于与几何体相关的截面问题，做出截面是解题关键.我们通常可利用空间几何公理及推论或对平面延申找出共线，共面关系；也可在后续学习了面面平行的性质后，利用性质做出截面在平行平面上的交线.12.已知定义域为R的函数，是其导函数.则下列说法正确的是（）A.函数有对称中心，则其导函数一定有对称轴B.函数有对称轴，则其导函数一定有对称中心.（不恒为0）C.函数是奇函数，则原函数一定是偶函数.D.函数是偶函数，则原函数一定是奇函数.【答案】AC【解析】【分析】对于选项AB，利用对称的定义公式，左右求导即可验证；对于选项C，利用奇偶的定义公式，左右积分即可验证；对于选项D，举反例即可【详解】对于选项A：若函数有对称中心，则，两边求导，则，则，一定有对称轴，故选项A正确；对于选项B：若函数有对称轴，则，两边求导，则，则，一定有对称中心，故选项B错误；对于选项C：若函数是奇函数，则，两边积分，，，， 由积分定义可得：，，其中C为积分常数，则，则，即原函数一定为偶函数，故选项C正确；对于选项D：若是可导函数，其导数为偶函数，但原函数为偶函数，不为奇函数，故选项D错误；故选：AC.三.填空题：13.不等式的解集为___________.【答案】【解析】【分析】利用分式不等式的解法解原不等式即可得解.【详解】由可得，解得.故原不等式的解集为.故答案为：.14.在数列中，，，则数列的通项公式为______.【答案】【解析】【分析】由题意可得，然后利用累乘法可求得结果.【详解】因为，所以， 所以，，，……，，，所以，所以，因为，所以符号该式，故答案为：15.某班为了了解学生每月购买零食的支出情况，利用分层抽样抽取了一个9人的样本统计如下：学生数平均支出（元）支出平方的累加值方差女生4225男生5304估计全班学生每月购买零食的平均支出为______元，方差为______.（分数或精确到小数点后一位）【答案】①.②.【解析】【分析】先由平均数的定义求得，再利用方差公式，结合即可求得.【详解】依题意，设女生每月购买零食的支出的样本为，平均数为；男生每月购买零食的支出的样本为，平均数为；男女生每月购买零食的支出的平均数为，方差为，则， 又，，所以，所以估计全班学生每月购买零食的平均支出为元，方差为.故答案：；.16.已知及其边上的一点满足，，且以，为焦点可以作一个椭圆同时经过，两点，求椭圆的离心率______.【答案】【解析】【分析】利用椭圆定义，结合余弦定理、椭圆的离心率公式进行求解即可.【详解】设，所以，设该椭圆长半轴长为，由椭圆的定义可知：，所以，，在中，显然有，所以，设，由余弦定理可知：，因此椭圆的焦距为， 所以椭圆的离心率为：，故答案为：【点睛】关键点睛：利用椭圆的定义、余弦定理是解题的关键.四.简答题：17.已知数列，其前项和分别为，且分别满足，.（1）求数列，的通项公式.（2）将数列，的各项按，，，…，顺序排列组成数列，求数列的前项和.【答案】（1）（2）当时，，当时，【解析】【分析】（1）根据通项与和之间的关系求解；（2）按照奇偶数对n分类讨论，再对分组求和.【小问1详解】由条件：知：，， 当时，符合，所以；，是等比数列，又；【小问2详解】当时，，当时，；当时，，当时，.18.如图，边长是6的等边三角形和矩形.现以为轴将面进行旋转，使之形成四棱锥，是等边三角形的中心，，分别是，的中点，且，面，交于.（1）求证面 （2）求和面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先利用线面平行的性质定理证得，再利用线面垂直的判定定理证得面，从而得到面；（2）构造平行四边形，将所求角转化为和面所成角，再在中求得，从而利用三角函数的基本关系式求得，由此得解.【小问1详解】因为面，面面，面，所以，因为是的中点，是等边三角形，所以，因为在矩形中，，分别是，的中点，所以，又，所以，又，面，所以面，因为，所以面.【小问2详解】在线段上取点使得，连接，因为是等边三角形的中心，，所以，因为，所以，所以，因为，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以和面所成角等于和面所成角，由（1）得面，又，所以面，即面， 所以和面的所成角为，即为所求，在中，，则，因为，所以，联立，解得，所以和面所成角的正弦值为..19.如图，在等腰直角中，，，点在线段上.(Ⅰ)若，求的长；（Ⅱ）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值.【答案】(Ⅰ)或（Ⅱ）当时，的面积的最小值为【解析】【详解】解:(1)在△OMP中,∠OPM=45°,OM=,OP=2,由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2OP·MP·cos45°, 得MP2-4MP+3=0,解得MP=1或MP=3.(2)设∠POM=α,0°≤α≤60°,在△OMP中,由正弦定理,得=,所以OM=,同理ON=.故S△OMN=OM·ON·sin∠MON=×======.因为0°≤α≤60°,30°≤2α+30°≤150°, 所以当α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为1,此时△OMN的面积取到最小值.即∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为8-4.20.抗击疫情众志成城.假期期间一高中同学积极参加社区抗疫宣传活动.抗疫宣传活动共分3批次进行，每次活动需要同时派出2名志愿者，且每次派出人员均从5名志愿者同学中随机抽选，已知这5名志愿者中，有2人有活动经验，其他3人没有活动经验.经验可以累积.（1）求5名志愿者中“小K”，在这3批次安装活动中有且只有一次被抽选到的概率；（2）求第二次抽选时，选到没有活动经验志愿者的人数最多可能是几人？请说明理由.【答案】（1）（2）第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数最有可能是1人；理由见详解.【解析】【分析】(1)由题意可得“小K”在每轮抽取中被抽取到的概率为，然后根据二项分布的概率公式即可求解；(2)设表示第一次抽取到的没有活动经验志愿者人数，可能的取值有，然后求出相对应的概率，设表示第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数，可能的取值有，根据题意求出对应的概率，然后比较概率的大小即可得出结论.【小问1详解】5名志愿者中“小K”在每轮抽取中，被抽取到的概率为，则这3批次安装活动中有且只有一次被抽选到的概率.【小问2详解】第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数最有可能是1人.设表示第一次抽取到的没有活动经验志愿者人数，可能的取值有，则；；.设表示第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数，可能的取值有， 则；；，因为，故第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数最有可能是人.21.已知为坐标原点，点，过动点作直线的垂线，垂足为点，，记的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）若，，，均在上，直线，的交点为，，求四边形面积的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，得到，，结合，即可求得曲线的方程；（2）设直线，的方程分别为，，将代入抛物线求得，，结合弦长公式求得，，进而求得的面积的表达式，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：设，则，所以， 因为，可得，所以曲线的方程为.【小问2详解】解：设，，，，直线，的方程分别为：，，将代入抛物线得，所以，，所以，因为，同理得：所以的面积，当且仅当时等号成立，所以四边形面积的最小值为222.已知函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调区间；（3）设，若函数在区间上存在极值点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）,求出函数的定义域,函数的导数,求出曲线在点处切线的斜率,然后求解切线的方程；（2）求出函数的定义域为及其导函数,分，和讨论即可；（3）当时,说明函数不存在极值点，当时,利用函数在区间 上存在极值点，推出，解出即可.【小问1详解】若,函数的定义域为,则曲线在点处切线的斜率为，而,则曲线在点处切线的方程为.【小问2详解】函数的定义域为，，①当时,由,且此时,可得，令,解得或,函数为减函数，令,解得，且,所以当时，函数为增函数，所以函数的单调减区间为，单调增区间为②当时,函数的单调减区间为，无单调增区间，当时,函数的单调减区间为,，无单调增区间，当时,由,所以函数的单调减区间为.即当时，函数的单调减区间为，无单调增各区间，③当时,此时.令,解得或,但,所以当,时,函数为减函数; 令,解得,函数为增函数.所以函数的单调减区间为，函数的单调增区间为，综上所述，时，单调减区间为，单调增区间为时，单调减区间为，无单调增各区间，时，单调减区间为，单调增区间为.【小问3详解】①当时,由（2）问可知,函数在上为减函数,所以不存在极值点;②当时,由（2）可知,在上为增函数,在上为减函数.若函数在区间上存在极值点,则,解得或,所以.综上所述,当时,函数在区间上存在极值点.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键在于找到分类讨论的标准，即边界值的寻找，同时注意其定义域，即分母不为0，第三问主要是要在第二问的基础上讨论，时，无极值，时，数形结合，根据导数与极值的关系得到，解出即可.