山东省泰安市泰安第三中学2022-2023学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

绝密★启用前山东省泰安三中2022级高一上学期期中测试数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交并补运算，即可求解.【详解】解：，，故选：C.2.“”是“”的（）A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】解：因为不能推出，且可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：A3.若，则有（）A.最大值18B.最大值2C.最小值3D.最小值6【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式即可求出．【详解】因为，所以，当且仅当时取等号．故选：D．4.“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别讨论充分性与必要性，可得出答案.【详解】由题意，，显然可以推出，即充分性成立，而不能推出，即必要性不成立.故“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件，考查不等式的性质，属于基础题.5.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域、值域和对应关系对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】A选项，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，不符合题意.B选项，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，不符合题意.C选项，，所以两个函数是相同函数，符合题意.D选项，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，不符合题意.故选：C6.若幂函数在上为增函数，则实数m=（）A.2B.-1C.3D.-1或2【答案】A【解析】【分析】利用幂函数定义与性质直接求解即可．【详解】因幂函数在上为增函数，于是得，且，解得m=2，所以实数m=2.故选：A7.甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为；乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】根据韦达定理即可求解.【详解】解：根据韦达定理得，，原不等式的两根满足，解得：，故解集为：，故选：D.8.已知函数为奇函数，且在区间上是增函数，若，则的解集是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】不等式，等价于或，再根据函数的单调性及奇偶性得出函数的正负情况，即可得出答案.【详解】解：因为函数为奇函数，且在区间上是增函数，又，所以，则当时，，当时，，不等式， 等价于或，解得或，所以的解集是.故选：C.二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】解一元二次不等式求得两集合，再根据交集和补集的定义即可判断AB，根据补集的定义和集合间的关系即可判断CD.【详解】解：或，，则，故A错误；，故B正确；，故C正确，D错误.故选：BC.10.下列命题是全称量词命题且是真命题的是（）A.所有的二次函数的图像都是轴对称图形B.平行四边形的对角线相等C.有些实数是无限不循环小数D.线段垂直平分线上点到这条线段两个端点的距离相等【答案】AD【解析】 【分析】先根据全称量词命题的定义判断，然后根据二次函数，平行四边形，垂直平分线的性质逐项判断.【详解】解：对于选项A：所有的二次函数图像都是抛物线，图像关于对称轴对称，故A是真命题；对于选项B：平行四边形的对角线不一定相等，故B是假命题；对于选项C：不是全称量词命题；对于选项D：由线段垂直平分线的性质可知D是真命题；故选：AD11.已知实数a，b，c，若，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】易得，且，再根据不等式的性质逐一判断即可.【详解】解：因为，则，且，所以，，故A，C正确；当时，，故B错误；因为，所以，所以，故D正确.故选：ACD.12.下列说法正确是（）A.偶函数的定义域为，则B.一次函数满足，则函数的解析式为C.奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则D.若集合中至多有一个元素，则 【答案】AC【解析】【分析】对A，由偶函数定义域对称解出参数即可；对B，设，则可得，建立方程组求解即可；对C，由单调性得，，由奇偶性得，，即可求解；对D，分别讨论、解的个数即可【详解】对A，偶函数的定义域为，，解得，故A对；对B，设一次函数，则，∵，，解得或，函数的解析式为或，故B错；对C，奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，，，，，∴，故C对；对D，集合中至多有一个元素，方程至多有一个解，当时，方程只有一个解，符合题意；当时，由方程至多有一个解，可得，解得，或，D错.故选：AC三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡中的横线上.13.不等式的解集为___________. 【答案】【解析】【分析】把分式不等式化整式不等式直接解得.【详解】同解于，解得：或即原不等式的解集为故答案为：【点睛】常见解不等式的类型：(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法；(2)分式不等式化为标准型后利用商符号法则；(3)高次不等式用穿针引线法；(4)含参数的不等式需要分类讨论．14.已知函数的单调递增区间为________．【答案】##【解析】【分析】先求函数的定义域，然后根据复合函数求单调区间的方法即可求出答案.【详解】由，得，所以或，所以函数的定义域为或.令，则，因为在内单调递减，在内单调递增,在内单调递增，所以的单调递增区间为.故答案为：.15.某年级先后举办了数学和音乐讲座，其中参加数学讲座的人数是参加音乐讲座的人数的 ，只参加数学讲座的人数是只参加音乐讲座的人数的，有20人同时参加数学、音乐讲座，则参加讲座的人数为______．【答案】120【解析】【分析】根据集合交集、并集的性质进行求解即可.【详解】解：设参加数学讲座的学生的集合为A,参加音乐讲座的学生的集合为B，则，解得：,又，所以,则参加讲座的人数为120,故答案为：120.16.若是R上的增函数，则实数a的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的单调性，得到不等式组，解得即可；【详解】因为是定义在R上的增函数，所以，即，解得，故答案为：四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数是定义域为上的奇函数，且. （1）求的解析式；（2）求，.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）利用奇函数的特征求出，再利用求出，可得解析式；（2）根据解析式代入可求，.【小问1详解】函数是定义域为上的奇函数，∴，∴.又，∴；∴，经检验符合题意.【小问2详解】∵，∴；.18.已知，，．（1）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；（2）若是r的必要条件，求m的最大值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设集合为命题对应的集合，为命题对应的集合，由题意可得集合是集合的真子集，从而可得出答案；（2）设集合为命题对应的集合，为命题对应的集合，由题意可得，从而可得出答案.【小问1详解】解：由，即或，设，，因为p是q的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，所以；【小问2详解】解：由，即，，设，因为是r的必要条件，所以，所以，解得，所以m的最大值为.19.（1）已知，，且，求xy的最大值； （2）若，求的最小值．【答案】（1）1；（2）．【解析】【分析】利用配凑法及基本不等式即可求解.【详解】（1）因为，，所以，当且仅当且即，时取等号，解得，故xy的最大值为1．（2）因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为．20已知函数．（1）根据定义证明在上为增函数；（2）若对，恒有，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用函数的单调性的定义，即可作出证明；（2）由（1）得到在是增函数，求得函数的最大值，列出不等式，即可求解.【详解】（1）任取，，且，则 因为，所以且，所以．即，即．所以在上是增函数．（2）由（1）可得函数在是增函数，所以．所以，解得，所以取值范围是．21.已知关于的不等式.（1）若不等式的解集为或，求的值.（2）关于的不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由韦达定理即可求解；（2）二次项系数为负，且判别式小于0即可.【小问1详解】若不等式的解集为或，则和是方程的两个实数根；由韦达定理可知：，解得.【小问2详解】关于的不等式恒成立, 则有且，解得：.22.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=（出厂价﹣投入成本）×年销售量．（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？【答案】（1）y=﹣60x2+20x+200（0＜x＜1）．（2）为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0＜x＜．【解析】【详解】【分析】试题分析：（1）根据若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x和年利润=（出厂价﹣投入成本）×年销售量．建立利润模型，要注意定义域．（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，只需今年的利润减去的利润大于零即可，解不等式可求得结果，要注意比例的范围．解：（1）由题意得y=[1.2×（1+0.75x）﹣1×（1+x）]×1000×（1+0.6x）（0＜x＜1）（4分）整理得y=﹣60x2+20x+200（0＜x＜1）．（6分）（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当即（9分）解不等式得．答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0＜x＜．（12分） 考点：函数模型的选择与应用．