山东省泰安市2022-2023学年高二数学上学期期末考试试题（Word版附答案）

高二年级考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若直线与直线平行，则实数k的值为（）A．B．C．D．32．已知等差数列的首项，公差，则（）A．7B．9C．11D．133．已知椭圆上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为（）A．2B．3C．5D．74．已知空间向量，，，则实数t的值为（）A．－5B．－4C．4D．55．已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（）A．1B．2C．3D．46．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺…”其大意为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织了5尺布…”．那么该女子第一天织布的尺数为（）A．B．C．D．7．设A，B是y轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（）A．B．C．D．8．已知从点P出发的三条射线PA，PB，PC，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（） A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列说法正确的是（）A．直线必过定点B．直线在y轴上的截距为1C．过点且垂直于直线的直线方程为D．直线的倾斜角为120°10．已知椭圆内一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，椭圆的左，右焦点分别为，，则下列结论正确的是（）A．椭圆C的焦点坐标为，B．椭圆C的长轴长为4C．直线与直线的斜率之积为D．11．已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（）A．数列是递增数列B．数列不是等差数列C．，，成等差数列D．，，成等差数列12．如图，在平行六面体中，各棱长均为2，设，则下列结论正确的是（） A．当时，B．和BD总垂直C．当时，三棱锥的外接球的体积是D．的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．准线方程为的抛物线的标准方程是______．14．已知双曲线C的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为，请写出双曲线C的一个离心率：______．15．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中．如果把图乙中的直角三角形依此规律继续作下去，记，，…，的长度构成数列，则______．16．已知过点的直线与椭圆相交于不同的两点A和B，在线段AB 上存在点Q，满足，则的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）如图，直线与抛物线相交于A，B两点．（1）求线段AB的长；（2）证明：．18．（12分）如图，在三棱锥中，OA，OB，OC两两垂直，，．（1）求点B到直线AC的距离；（2）求直线OB与平面ABC所成角的正弦值．19．（12分）已知数列的首项，且．（1）证明：是等比数列；（2）求数列的前n项和．20．（12分）已知两个定点，，动点P满足．（1）求点P的轨迹方程； （2）若点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程．21．（12分）歇山顶，即歇山式屋顶，为古代汉族建筑屋顶样式之一，宋朝称九脊殿、曹殿或厦两头造，清朝改称歇山顶，又名九脊顶，其屋顶（上半部分）类似于五面体形状．如图所示的五面体的底面ABCD为一个矩形，，，，棱，M，N分别是AD，BC的中点．（1）求证：平面平面ABCD；（2）求平面BFC与平面EFCD夹角的余弦值．22．（12分）已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，过点且不与x轴重合的动直线交双曲线C于P，Q两点，当直线PQ与x轴垂直时，．（1）求双曲线C的标准方程；（2）设直线AP，AQ和直线分别交于点M，N，若恒成立，求t的值．高二年级考试数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题：题号12345678答案DCBDBBAC二、多项选择题：题号9101112答案ACBCDBCDABD三、填空题：13．14．或15．16．评分意见：第14题只要写出一个正确的就得满分，两个都写出的不给分；第15题不加 的，不扣分．四、解答题：17．（10分）解：（1）设，，由，得．，，所以．（2）由（1）知：，，所以，所以，所以．18．（12分）解：以O为坐标原点，，，方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，，．（1）取，，则，，所以，点B到直线AC的距离为．（2）设是平面ABC的一个法向量，则，所以．取，解得，所以． 设直线OB与平面ABC所成角为，则，所以直线OB与平面ABC所成角的正弦值为．19．（12分）解：（1）因为，所有．因为，所以．所以，所以，所以数列是首项为－1，公比为－1的等比数列．（2）法1：由（1）知，所以，所以．当n为偶数时，可得；当n为奇数时，可得；综上可得，．法2：设数列的前n项和为，则．所以．20．（12分）解：（1）设点P的坐标为，因为所以，．整理得，所以点P的轨迹方程为． （2）因为点N到直线PM的距离为1，，所以，直线PM的斜率为，所以直线PM的方程为．由，整理得．解得或．分别代入直线PM的方程，解得点P的坐标为或，或．所以直线PN的方程为或．21．（12分）解：（1）证明：因为，M为AD的中点，所以．在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，所以．又，，平面EFNM，所以平面EFNM．又平面ABCD，所以平面平面ABCD．（2）在平面EFNM中，过F作，H为垂足．因为平面平面ABCD，平面平面，平面EFNM，所以平面ABCD．过H作BC的平行线，交AB于点S，则，，，以H为坐标原点，以，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，． 设平面EFCD的一个法向量为，则，所以，取，解得，所以，同理可得平面BFC的一个法向量为．设平面BFC与平面EFCD夹角为．则，所以平面BFC与平面EFCD夹角的余弦值为．22．（12分）解：（1）由题知，当PQ与x轴垂直时，，所以，，所以，解得，所以双曲线C的方程为．（2）设直线PQ的方程为，，，由，得，所以，．直线AP的方程为，与联立，解得．同理可得．所以，，因为恒成立，所以恒成立， 又所以，解得或．