华师大版九下数学26.3第2课时二次函数与利润问题导学案

26.3实践与探索第2课时二次函数与利润问题学习目标：1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.（难点）自主学习一、知识链接1.用含a,b的代数式填空：(1)已知一件商品的进价为a元，超市标价b元出售，后因季节原因超市将此商品打八折促销，如果促销后这件商品还有盈利，那么此时每件商品盈利元．(2)疫情期间，某医疗用品店的老板以每支b元的单价购进一次性口罩1000支，加价5%卖出700支以后，每支比进价降低a元，将剩下300支全部卖出，则可获得利润元．(3)太谷饼是山西省传统美食，以其香、酥、绵、软而闻名全国，某网店以a元一包的价格购进500包太谷饼，加价20%卖出400包以后，剩余每包比进价降低b元后全部卖出，则可获得利润元．2.求出下列二次函数的最值.(1)y=－x2+4x+5（3≤x≤5）；(2)y=x2－3x+4（0≤x≤4）.合作探究一、要点探究探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题填一填某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是元，销售利润元.问题1（1）若降价销售，每件商品每降价1元，则多卖出20件，若降价x元，则每件商品的利润为_______元，每星期的销量为__________件,销售利润y为______________元（用含x的代数式表示）.（2）当x满足什么条件时，每星期销售该商品的利润最大？最大利润是多少元？（3）若x只能为整数，且要让利于民，则当x满足什么条件时，每星期销售该商品的利润最大？最大利润是多少元？问题2（1）若涨价销售，每件商品每涨价1元，则少卖出10件，若涨价x元，则每件商品的利润为_______元，每星期的销量为__________件,销售利润为______________元（用含x的代数式表示）.（2）当x满足什么条件时，每星期销售该商品的利润最大？最大利润是多少元？ 【要点归纳】求解最大利润问题的一般步骤：(1)建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价－总成本”或“总利润=单件利润×销售量”；(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围；(3)在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式法求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.练一练某玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？【典例精析】例1某电商在购物平合上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系：y=-2x+180．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件．(1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式；(2)每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？【针对训练】某公司购进一批新产品进行销售，已知该产品的进价为8元/件，该公司对这批新产品上市后的销售情况进行了跟踪调查．销售过程中发现，该产品每月的销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系满足下表．销售单价x（元/件）…10121415…每月销售量y（万件）…40363230…（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数三个模型中确定哪种函数能比较恰当地表示y与x的变化规律，并求出y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，该产品每月获得的利润为240万元？（3）如果该产品每月的进货成本不超过160万元，那么当销售单价为多少元时，该产品每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？例2某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于70%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【针对训练】为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供16万元的无息创业贷款．小吴利用这笔贷款注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种畅销产品，并约定用该网店经营的利润逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4000元，该网店还需每月支付其他费用1万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求该网店每月利润W（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（2）小吴自网店开业起，最快在第几个月可还清16万元的无息贷款？二、课堂小结最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价－总成本.确定自变量取值范围涨价：要保证销售量≥0；降件：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式法求最大值或利用函数简图和性质求出最大值.当堂检测1.某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（　　）A．15元B．400元C．800元D．1250元2.服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（　　）A．150元B．160元C．170元D．180元3.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1 个，则能获取的最大利润是（　　）A．600元B．625元C．650元D．675元1.2019年10月31日，三大运营商宣布5G商用正式启动，5G资费套餐上线，5G时代大步流星地走来．某电器城准备销售一种型号的5G手机，在销售过程中发现，当零售价为4000元时，每天可以售出8台，日销售利润为4000元，当零售价每降低50元时，则每天多售出4台.设该型号5G手机的零售价降低x（元）时，日销售量为y（台）．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当零售价为多少元时，日销售利润最大，最大利润为多少元？5.某商店经营一款玩具，进货单价是30元．在1个月的试销阶段，售价是40元，销售量是400件．根据市场调查，销售单价每涨1元，1个月就会少售出10件．（1）若商店在1个月获得了6000元销售利润，且要让利于民，求这款玩具的销售单价．（2）若玩具生产厂家规定销售单价不低于43元，且商店每月要完成不少于350件的销售任务，求商店销售这款玩具1个月能获得的最大利润．参考答案自主学习一、知识链接1.(1)(0.8b-a)(2)（35b-300a）（3）（80a-100b）2.解：(1)y=－x2+4x+5=-（x-2）2+9.∵当x＞2时,y随x的增大而减小，且3≤x≤5，∴当x=3时,y取得最大值，此时y=8；当x=5时，y取得最小值，此时y=0.(2)y=x2－3x+4=（x-）2+.∵0≤x≤4，∴当x=时，y取得最小值，此时y=;当x=4时，y取得最大值，此时y=8.合作探究一、要点探究探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题填一填：180006000问题1解：（1）（20-x）(300+20x)(20-x)(300+20x)（2）由（1）知y=（20-x）(300+20x)=-20x2+100x+6000=-20(x-2.5)2+6125.∵-20＜0，则当x=2.5时，y取最大值，此时最大利润为6125元.（3）由（2）知y=-20(x-2.5)2+6125.∵x为整数，则当x=2或3时，y取得最大值，又∵要让利于民，∴x=3.此时y=6120.即此时最大利润为6120元.问题2解：（1）（20+x）(300-10x)(20+x)(300-10x)（2）由（1）知y=（20+x）(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250.∵-10＜0，∴当x=5时，y取最大值，此时最大利润为6250元. 练一练解：设每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x),即y=-10x2+80x+1800=-10(x-4)2+1960.易知0≤x≤18，则当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.【典例精析】例1解：(1)由题意可得w=(x-50)(-2x+180)=-2x2+280x-9000；(2)由(1)知w=-2x2+280x-9000=-2(x-70)2+800，∵-2＜0，且75≤x≤90.∴当x=75时，有最大利润，最大利润为750元．【针对训练】解：（1）由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，设y＝kx+b（k≠0），由题可得解得即y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+60.（2）设总利润为w元，由题意，得w＝y（x﹣8）＝（﹣2x+60）（x﹣8）＝﹣2x2+76x﹣480，当w＝240时，﹣2x2+76x﹣480＝240，解得x1＝18，x2＝20.答：当销售单价为18元或20元时，每月获得的利润为240万元.（3）∵进货成本不超过160万元，每件的成本为8元，∴每月的进货量不超过(万件)，∴y＝﹣2x+60≤20，解得x≥20.由(2)知w＝﹣2x2+76x﹣480＝﹣2（x﹣19）2+242，∵﹣2＜0，且x≥20，∴x＝20时，w取得最大值，此时w为240万元.答：当销售单价为20元时，每月获得的利润最大，最大利润为240万元．【典例精析】例2解：（1）设y＝kx+b（k≠0，b为常数），将点（60，140），（70，120）代入得解得∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+260.由题可得解得50≤x≤85.故x的取值范围为50≤x≤85且x为整数.（2）由题意得（x﹣50）（﹣2x+260）＝3000，解得x1＝80，x2＝100.∵50≤x≤85，∴x=80.答：销售单价为80元.（3）设每天获得的利润为w元，由题意得w＝（x﹣50）（﹣2x+260）＝﹣2x2+360x﹣13000＝﹣2（x﹣90）2+3200.∵﹣2＜0，且50≤x≤85，∴当x＝85时，w最大值＝3150. 答：销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润是3150元．【针对训练】解：（1）设直线AB的表达式为y=kx+b，代入A（4，4），B（6，2）得解得∴直线AB的表达式为y=-x+8（4≤x≤6），同理可得直线BC的表达式为y=-x+5（6＜x≤8）.∵每月5名员工工资及其它费用为0.4×5+1=3（万元），∴当4≤x≤6时，w1=（x-4）（-x+8）-3=-x2+12x-35，当6＜x≤8时，w2=（x-4）（-x+5）-3=-x2+7x-23.（2）当4≤x≤6时，w1=-x2+12x-35=-（x-6）2+1，∴当x=6时，w1取最大值是1；当6＜x≤8时，w2=-x2+7x-23=-（x-7）2+，∴当x=7时，w2取最大值是1.5.∵1＜1.5，∴每月销售利润最大为1.5万元.＝≈10.7，即最快在第11个月可还清16万元的无息贷款．当堂检测1.D2.A3.B4.解：（1）由题意得y＝8+×4，即y＝+8．∵每天可以售出8台，日销售利润为4000元，∴每台利润为4000÷8＝500（元）．∴0≤x≤500．∴y关于x的函数表达式为y＝+8（0≤x≤500）.（2）设日销售利润为w元，根据题意得w＝（﹣x）（x+8）＝﹣x2+32x+4000＝﹣（x﹣200）2+7200（0≤x≤500）．∴当x＝200时，w最大为7200.4000﹣200＝3800（元）．∴当零售价为3800元时，日销售利润最大，最大利润为7200元．5.解：（1）设销售单价为x元，依题意得（x﹣30）[400﹣10（x﹣40）]＝6000，解得x1＝50，x2＝60.∵要让利于民，∴销售单价应定为50元.（2）设利润为w元，由（1）得w＝（x﹣30）[400﹣10（x﹣40）]＝﹣10（x﹣55）2+6250.∵玩具生产厂家规定销售单价不低于43元，且商店每月要完成不少于350件的销售任务，∴解得43≤x≤45.∵当x＜55时，w随x的增大而增大，∴当x＝45时，w取得最大值，此时w＝5250.答：商店销售这款玩具1个月能获得的最大利润是5250元．