湘教版九下数学1.5第2课时二次函数与利润问题及几何问题课件

1.5二次函数的应用第1章二次函数第2课时二次函数与利润问题及几何问题 情境引入短片中，卖咖啡的卖家使出浑身解数来赚钱.点击视频开始播放→ 情境引入商品买卖过程中，作为商家利润最大化是永恒的追求.如果你是商家，如何定价才能获得最大利润呢？ 例1某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？典例精析二次函数与利润最大问题 ①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：单件利润(元)销售量(件)每月利润(元)正常销售涨价销售1018010+x180-10xy=(10+x)(180-10x)1800建立函数关系式y=(10+x)(180-10x)，即：y=-10x2+80x+1800. 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x≥0，因此自变量的取值范围是x≤18.③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10x2+80x+1800=-10(x-4)2+1960.当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.②自变量x的取值范围如何确定？ 知识要点求解最大利润问题的一般步骤(1)建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围；(3)在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数图象的简图，利用简图和性质求解. 例2一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次(最低档次)的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？ 解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)]=(10+2x)(84－4x)=－8x2+128x+840=－8(x－8)2+1352.因为x≤9，故当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352元. 二次函数与几何面积例3用长为8m的铝材做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积S(m2)最大？最大透光面积是多少？(铝材宽度不计)x解：设矩形窗框的宽为xm，则高为m.这里应有x＞0，故0＜x＜. 矩形窗框的透光面积S与x之间的函数关系式是：即配方得所以，当x=时，函数取得最大值，最大值S=.因此，所做矩形窗框的宽为m、高为2m时，它的透光面积最大，最大面积是m2.x=满足0＜x＜，这时 知识要点二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值;3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内. 例4用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？解:根据题意得S=l(30-l)，即S=-l2+30l(0＜l＜30).因此，当时，S有最大值，此时，也就是说，当l=15m时，场地的面积S最大. 变式1如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题2我们可以设面积为S，如何设自变量？问题3面积S与x的函数关系式是什么？问题1变式1与例题有什么不同？S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.设垂直于墙的边长为xm 问题4如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？问题5如何求最值？最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 设矩形面积为S，与墙平行的一边为xm，则变式2如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？x问题1变式2与变式1有什么异同？问题2可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？问题3可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边与面积？ 问题4当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？问题5如何求自变量的取值范围？0＜x≤18.问题6如何求最值？由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378m2.不正确. 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围而定.通过变式1与变式2的对比，理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.方法归纳 1.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大面积是______.2.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30)出售，可卖出(600－20x)件，为使利润最大，则每件售价应定为元.25 3.进价为80元的某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为.每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为.(以上关系式只列式不化简).y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80) 4.如图1，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿BC以4cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过s，四边形APQC的面积最小.3ABCPQ图1 5.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m)，面积为S(m2).(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；解：(1)因为矩形一边长为x，则另一边长为(6-x)，∴S=x(6-x)=-x2+6x，其中0＜x＜6. (2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.这时设计费最多，为9×1000=9000(元)(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用. 6.某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.(1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75∵-1＜0，对称轴x=10，∴当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元.7xy516O (2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？(2)由对称性知y=16时，x=7和13.故销售单价在7≤x≤13时，利润不低于16元. 课堂小结最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取值范围涨价:要保证销售量≥0；降件：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数图象简图和性质求出. 几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依据最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定