上海市长宁区2022-2023学年高三数学上学期教学质量调研（一模）试题（PDF版附答案）

2022学年第一学期高三数学教学质量调研试卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.设全集U1,2,3,4，A1,3，则A．22.不等式x3x20的解集为.13.复数z满足z（其中i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点Z到原点O的1i距离为.4.设向量a、b满足a1，ab2，则aab.5.如图，在三棱台ABCABC的9条棱所在直线中，111与直线AB是异面直线的共有条．16.甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图所示，则在这7天中，①甲城市日均气温的中位数与平均数相等；②甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定；③乙城市日均气温的极差为3℃；④乙城市日均气温的众数为5℃.以上判断正确的是.（写出所有正确判断的序号）7.有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担．现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有种不同的选法.8.研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足1k2lnylntxa，其中k,a为非零常数.已知释放1秒后，在距释放处2米的地方2tm测得信息素浓度为m，则释放信息素4秒后，距释放处的米的位置，信息素浓度为.29.若OA1,2,0，OB2,1,0，OC1,1,3，则三棱锥OABC的体积为.ππ10.已知函数y2sinx0的图像向右平移0个单位，可得到函数62ysin2xacos2x的图像，则．高三数学试卷共4页第1页 11.已知AA是圆柱的一条母线，AB是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上异于A、B1的点.若圆柱的侧面积为4π，则三棱锥AABC外接球体积的最小值为.12x212.已知F1、F2为椭圆:2y1a1)的左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点F1且a与交于B、C两点.若l垂直平分线段AF2，则ABC的周长是_____．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.若为第四象限角，则（）.A.sin20；B.cos20；C.sin20；D.cos20.a114.设fxxa2,1,,1,2,3，则“函数yfx的图像经过点1,1”是“函数2yfx为奇函数”的（）.A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既不充分也不必要条件．15.掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数，事件A的概率为PA，事件B的概率为PB．则1PAB是下列哪个事件的概率（）.A.两个点数都是偶数；B.至多有一个点数是偶数；C.两个点数都是奇数；D.至多有一个点数是奇数.2ax16.函数fxeb的大致图像如图，则实数a、b的取值只可能是（）.A.a0、b1；B.a0、0b1；C.a0、b1；D.a0、0b1.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知数列a为等差数列，数列b为等比数列，数列a的公差为2.nnn（1）若ba，ba，ba，求数列b的通项公式；112235n（2）设数列an的前n项和为Sn，若S123ak，a1ak16，求a1.高三数学试卷共4页第2页 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c.222acb（1）若△ABC的面积S，求B；4π（2）若ac3，sinA3sinB，C，求c.619．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）.如图，在三棱锥DABC中，平面ACD平面ABC，ADAC，ABBC，E、F分别为棱BC、CD的中点.（1）求证：直线EF//平面ABD；（2）求证：直线BC平面ABD；（3）若直线CD与平面ABC所成的角为45，直线CD与平面ABD所成角为30，求二面角BADC的大小.高三数学试卷共4页第3页 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）.2已知抛物线:y4x的焦点为F，准线为l.2x2（1）若F为双曲线C:2y1a0的一个焦点，求双曲线C的离心率e；2a|PF|2（2）设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的|PE|2方程；（3）经过点F且斜率为kk0的直线l与相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB分别与l相交于点M、N.试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.21．（本题满分18分，第1小题①题满分4分，第1小题②题满分6分，第2小题满分8分）.已知函数yfx的定义域为0,.（1）若fxlnx.①求曲线yfx在点1,0处的切线方程；2②求函数gxfxx3x的单调减区间和极小值；（2）若对任意a,b1,ab，函数yfx在区间a,b上均无最小值，且对于任意nN，当xn,n1时，都有fnfxfxfn1fnfn1.求证：当x1,时，fxf2x.高三数学试卷共4页第4页 2022学年第一学期高三数学教学质量抽测试卷参考答案与评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）．21.2,42.1,2．3..4.3.5.3.6.①④.25π82867.180.8.4.9..10..11.12.2433二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）．13.A14.C15.D16.C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）ba，baa2，baa81122135122因为bbb，所以a2aa8，………2分213111得a1，b1，b3，………4分112n1所以数列b的公比为3，数列b的通项公式为b3.………6分nnn（2）因为数列a的公差为2，n所以Snann1，aa2n1………4分n1n1因为aa6，所以k3a，……….6分1k11所以S3a，所以12a1323a6k6123a，12k111得a8.……….8分118．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.222解：（1）因为我bac2accosB222acb1所以accosB，…………..2分422221acb又因为SacsinB，…………..2分24所以tanB1，π因为B0,π，所以B.…………..6分4（2）因为sinA3sinB，所以a3b，………..2分222因为cab2abcosC，222232所以c3bb23bb，……….4分2高三数学试卷共4页第1页 得bc，进而a3c，…………6分因为ac3，所以c1.…………8分19．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.（1）证明：因为E、F分别为棱BC、CD的中点.所以EF//BD，………2分因为BD平面ABD，EF不在平面ABD上，所以EF//平面ABD.……….4分（2）因为平面ACD平面ABC，ADAC，所以AD平面ABC，……….2分所以ADBC，……….4分因为ABBC，ADABA，所以BC平面ABD.………6分（3）因为AD平面ABC，所以DCA即为直线CD与平面ABC所成的角，得DCA452所以ADCDcos45CD，………2分2因为BC平面ABD，所以CDB即为直线CD与平面ABD所成的角，得CDB301所以BCCDsin30CD，………4分2因为AD平面ABC，所以ADAB，又ADCD，所以BAC即为二面角BADC的平面角，BC2由ABBC，得sinBAC，得BAC45AC2所以二面角BADC的大小为45.……….6分20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）.解：（1）F1,0，双曲线C的半焦距c1…….2分222x2xy双曲线2y1的的标准方程为1,221aa2212所以a1，得a，22高三数学试卷共4页第2页 c所以e2…….4分a（2）解法一：的准线方程为x1，E1,0…….1分PF2设点Px,y，因为，PE2222222所以x1y2x1y，得x6xy1022因为y4x，所以x2x10，所以x1，………3分因为P在第一象限，所以点P的坐标为1,2，………4分y所以直线EP的斜率为1x1直线EP的方程为yx1.………6分解法二：的准线方程为x1，E1,0…….1分过点P作的准线的垂线，垂足为H，则PHPF，…….2分PF2PH2因为=，所以，PE2PE2因为P在第一象限，所以直线EP的倾斜角为，…….4分4所以直线EP的方程为yx1……6分（3）设点Ax,y，Bx,y，1122由已知直线l的方程为ykx1，124将xy1代入抛物线方程得yy40，kk所以yy=4，…….2分1244因为直线OA的方程为yx，直线OB的方程为yx，yy1244所以M、N的纵坐标分别为y，y，MNyy12244得圆C方程为x1yy0，…….4分yy122244因为yy4，所以整理得x1yy40,12yy12令y0，得x3或x1，所以圆C过定点3,0和1,0.………6分21．（本题满分16分，第1小题①题满分4分，第1小题②题满分6分，第2小题满分8分）.1解：（1）fx，所以f11，……2分x所以曲线yfx在点1,0处切线的斜率为1，进而曲线yfx在1,0处的切线方程为yx1.……4分高三数学试卷共4页第3页 21（2）gxlnxx3x，gx2x3，x1令gx0，得x1，x21，……2分2列表如下：x11110,,11,222_00gx极大值极小值2gx……4分1所以函数ygx的单调减区间为,1，2函数ygx在x1处取得极小值上g12.……..6分（3）解：fnfxfxfn1fnfn1等价于fxfnfxfn10，……..2分若存在n0N，使得fn0fn01，则当xn0,n01时，fn01fxfn0，此时yfx在n0,n01上有最小值，与已知矛盾，所以对任意nN，都有fnfn1；………..4分即对任意nN,xn,n1，都有fnfxfn1若存在x0n,n1，使得fnfx0，则当xn,x0时，fxfx0，与已知矛盾，所以即对任意nN,xn,n1，都有fnfxfn1，……..6分*当xn,n1nN时，2x2n,2n2，由fnfxfn1f2nf2xf2n2得fxf2x.………8分高三数学试卷共4页第4页