河南省四市2023届高三数学（理）下学期开学考试试卷（Word版附答案）

绝密★启用前高三数学考试（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，集合，则（）．A．B．C．D．2．设复数z满足，则z的共轭复数为（）．A．B．C．D．3．已知向量，，且，则（）．A．1B．2C．3D．44．下图是我国跨境电商在2016～2022年的交易规模与增速表，由图可以知道下列结论正确的是（）．2016～2022年我国跨境电商交易规模、增速A．这7年我国跨境电商交易规模的平均数为8.0万亿元 B．这7年我国跨境电商交易规模的增速越来越大C．这7年我国跨境电商交易规模的极差为7.6万亿元D．图中我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.8％5．函数的图象大致为（）．A．B．C．D．6．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，下列说法正确的是（）．A．为奇函数B．在上单调递减C．在上的值域为D．点是图象的一个对称中心7．设椭圆的半焦距为c，若，，则C的离心率为（）．A．B．C．D．8．在正方体中，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）．A．B．C．D． 9．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，则（）．A．B．C．D．10．如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（）．A．B．C．D．11．定义函数，，若至少有3个不同的解，则实数a的取值范围是（）．A．B．C．D．12．已知函数，的定义域均为R，，连续可导，它们的导函数分别为，．若的图象关于点对称，，且，与图象的交点分别为，，…，，则下列说法错误的是（）．A．是奇函数B．的图象关于直线对称 C．的图象关于直线对称D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．设x，y满足约束条件，则的最小值为__________．14．已知，则__________．15．某居民小区前有9个连成一排的车位，现有4辆不同型号的车辆要停放，则恰有2辆车停放在相邻车位的概率是__________．16．已知抛物线，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，，若，且与交于点M，则的面积的最小值为__________．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等比数列的前n项和，为常数．（1）求的值与的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求．18．（12分）如图，四边形是菱形，，平面，，． （1）证明：．（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．19．（12分）某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组．游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”．已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为，．（1）若，，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率．（2）若，则在游戏中，甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，理论上他们小组至少要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值．20．（12分）已知双曲线的离心率为，且点在C上．（1）求双曲线C的方程；（2）若点M，N在双曲线C上，且，直线不与y轴平行，证明：直线的斜率k为定值．21．（12分）已知函数，为它的导函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）若关于x的方程有两个不相等的实根，求实数a的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程；（2）已知A，B是曲线C上的两点，且，求的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 高三数学考试参考答案（理科）1．C【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养．因为，所以．2．A【解析】本题考查复数的四则运算，考查数学运算的核心素养．因为，所以，则．3．B【解析】本题考查平面向量的平行，考查数学运算的核心素养．因为，所以，解得．4．D【解析】本题考查统计的知识，考查数据分析与数学运算的核心素养．这7年我国跨境电商交易规模的平均数为万亿元．A错误；这7年我国跨境电商交易规模的增速有升有降，B错误；这7年我国跨境电商交易规模的极差为万亿元，C错误；我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为％，D正确．5．C【解析】本题考查函数的图象与性质，考查逻辑推理的核心素养．易知的定义域为，由，得，所以是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，B．在内，，，所以，排除D．故选C．6．D【解析】本题考查三角函数的性质，考查数学运算的核心素养． ，A错误；因为，，在上先增后减，所以B错误；因为，，，所以C错误；因为，所以点是图象的一个对称中心，D正确．7．C【解析】本题考查椭圆的性质，考查数学运算的核心素养．因为，所以，解得，．故．8．B【解析】本题考查立体几何初步的知识，考查直观想象的核心素养．如图所示，取的中点F，连接，，．因为E，F分别为和的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，从而，所以为异面直线与所成的角．设，则，， 所以．9．D【解析】本题考查解三角形的知识，考查数学运算的核心素养．因为，所以，整理得，因为，所以．又，所以．因为的面积为，，所以，解得，，所以，则．10．A【解析】本题考查几何体的体积，考查直观想象与数学运算的核心素养．因为，，所以该青铜器的体积．11．B【解析】本题考查函数的新定义，考查推理论证能力与直观想象的核心素养． 令，，依题意有解，则，得或．当时，必须满足，解得；当时，必须满足，无解．综上，，即实数a的取值范围是．12．D【解析】本题考查导数在研究函数中的应用，考查逻辑推理的核心素养．因为的图象关于点对称，所以为奇函数，故A正确；因为的图象关于点对称，所以，对其两边取导数，得，所以的图象关于直线对称，故B正确；因为，所以（C为常数），由，得，即，令，，解得，，所以的图象关于直线对称，故C正确；因为，的图象都关于点对称，所以，故D错误． 13．【解析】本题考查线性规划的知识，考查数学运算与直观想象的核心素养．画出可行域（图略）知，当直线过点时，z取得最小值．14．【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养．因为，所以．15．【解析】本题考查排列组合的知识，考查数学抽象与数学建模的核心素养．9个车位要停放4辆车，基本事件的总数为，其中4辆车中恰有2辆车停放在相邻车位包含的基本事件的个数为，所以所求概率．16．1【解析】本题考查抛物线的性质，考查直观想象与数学运算的核心素养．抛物线C的方程可化为，所以．设，，则，，因为，所以．设直线l的方程为，与抛物线C的方程联立得，消去y得，，所以，，解得，即． 联立方程，解得，即．因为点M到直线l的距离，，所以，显然当时，的面积取得最小值1．17．解：（1）因为，所以，（1分）当时，，（3分）因为为等比数列，所以，解得，（5分）所以．（6分）（2）因为，（7分）所以，，（9分）两式相减得，（10分）即，（11分）所以．（12分）评分细则： 【1】第一问，写出，得1分，写出，累计得3分，证出是等比数列，且求出，累计得5分，写出的通项公式，累计得6分．【2】第二问，求出，累计得7分，求出，累计得10分，直到给出正确结论得12分．18．（1）证明：连接．因为四边形是菱形，所以．（2分）又平面，所以．（3分）因为，所以平面．（4分）又，所以平面就是平面，因为平面，所以．（5分）（2）解：设，相交于点O，以O为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系．（6分）设平面的法向量为，，，则，取，可得．（10分）取的中点G，连接．易证平面平面，因为是正三角形，所以，从而平面，即是平面的一个法向量． 因为，，所以，（11分）所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．（12分）评分细则：．【1】第一问，证出，得2分，证出，累计得3分，第一问全部证完，累计得5分．【2】第二问，建立空间直角坐标系，累计得6分，写出相关点和相关向量的坐标，累计得8分，计算出平面的法向量，累计得10分，写出平面的一个法向量，累计得11分，直至正确求出锐二面角的余弦值，累计得12分．19．解：（1）由题可知，可能的情况有①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次．（2分）故所求概率为．（4分）（2）他们在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率，（6分）因为，所以，因为，，，所以．（7分）又，所以．（9分）令，则，设， 当时，，（10分）他们小组在n轮游戏中获得“神投小组”称号的次数满足，由，则，所以理论上至少要进行625轮游戏．（11分）此时，，．（12分）评分细则：【1】第一问，会进行分类，得2分，正确求出概率，累计得4分．【2】第二问，求出他们在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率，累计得6分，求出，累计得9分，求出，累计得10分，整个题完全正确得12分．20．（1）解：因为，所以，解得．（2分）所以双曲线C的方程为，把点的坐标代入，得，解得，（3分）所以双曲线C的方程为．（4分）（2）证明：设，． 设直线的方程为，代入，得，于是，．①（6分）由，得，则，整理得．（8分）将①代入上式，可得，整理得．（10分）因为不在直线上，所以，所以，解得．即直线的斜率k为定值．（12分）评分细则：【1】第一问，正确写出，得2分，写出，累计得3分，求出C的方程，累计得4分．【2】第二问，根据韦达定理写出，，累计得6分，写出，累计得10分，算出，累计得12分．21．解：（1）当时，，则．（1分）令，得， 再令，则，易知在上单调递减，在上单调递增．（2分）又，所以当时，，当时，，（3分）故的单调递减区间为，单调递增区间为．（4分）（2）由，得，令，得．（5分）①当时，，只有一个根，不符合题意．（6分）②当时，，易知此时在上单调递减，在上单调递增，所以．又，所以当时，存在，使得，即在上有一个根．（7分）当时，，则，所以，取，则，所以，方程在上有一零点，所以有两个不同的根，符合题意．（8分） ③当时，由，得或．当，即时，由，得或，所以在，上单调递增，在上单调递减，因为的极大值，所以至多有一个根，不符合题意．（9分）当，即时，在R上单调递增，所以至多有一个根，不符合题意．（10分）当，即时，由，得或，所以在，上单调递增，在上单调递减．因为当，时，，所以．又，所以至多有一个根，不符合题意．（11分）综上，，即实数a的取值范围为．（12分）评分细则：【1】第一问，写出，得1分，正确判断出的单调区间，累计得2分，第一问都正确，累计得4分．【2】第二问，写出，累计得5分，每正确进行一次讨论，得1分，第二问都正确，累计得8分．【3】第三问，后续每讨论一种情况得1分，直至求出正确答案，累计得12分．【4】采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分．22．解：（1）先将曲线C的参数方程（为参数）化为普通方程， 得，（2分）再转化成极坐标方程，进一步化简得．（4分）（2）不妨设点A的极坐标为，点B的极坐标为，（5分）所以，，（7分）所以，（8分）所以，（9分）所以的最大值为．（10分）评分细则：【1】第一问，曲线C的极坐标方程写成或都不扣分，得4分．【2】第二问，写出A，B的极坐标方程，累计得5分，写出，，累计得7分，写出，累计得9分，求出最大值为 ，累计得10分．23．解：（1）不等式等价于或或，（1分）因为的解集为，（2分）的解集为，（3分）的解集为，（4分）所以不等式的解集为．（5分）（2）若，不等式等价于，即，（6分）令，则，所以，即或．（8分）若，不等式等价于，即或者，所以或者，解得或者．（9分）综上，或者，即实数a的取值范围是．（10分） 评分细则：【1】第一问，把不等式转化成不等式组，得1分，每求出一个不等式组的解集，得1分，正确做完第一问，累计得5分．【2】第二问，第一个讨论，并求出解集，累计得8分，直至最后写出正确结果，累计得10分．