河南省十市2023届高三数学（文）下学期开学考试试卷（Word版附解析）

高三文科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本试卷主要命题范围：高考范围.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（）A.B.C.D.4.我国传统剪纸艺术历史悠久，源远流长，最早可追潮到西汉时期.下图是某一窗花的造型，在长为3，宽为2的矩形中有大小相同的两个圆，两圆均与矩形的其中三边相切，在此矩形内任取一点，则该点取自两圆公共（图中阴影）部分的概率为（） A.B.C.D.5.古代名著《九章算术》中记载了求“方亭”体积的问题，方亭是指正四棱台，今有一个方亭型的水库，该水库的下底面的边长为20，上底面的边长为40，若水库的最大蓄水量为，则水库深度（棱台的高）为（）A.10B.20C.30D.406.已知抛物线C：，过焦点F的直线与C在第四象限交于M点，则（）A.3B.4C.5D.67.执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A.14B.15C.16D.178.某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：月份代号x1234567在线外卖规模y（百万元）111318★28★35其中4､6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23.若利用回归直线方程来拟合预测，且7月相应于点的残差为-0.6，则（）A.1.0B.2.0C.3.0D.4.09.已知等比数列的前4项和为30，且，则（）A.B.C.D. 10.记函数的最小正周期为T，若，且函数的对称，则当取得最小值时，（）A.2B.1C.-1D.-211.已知双曲线C：的左焦点为F，过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，与C交于P，Q两点，若P，F，Q四等分线段AB，则C的离心率为（）A.B.C.D.12.已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.B.2C.D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，若，则实数___________.14.记为等差数列的前n项和，已知，，则___________.15.写出与圆和都相切的一条直线的方程___________.16.已知函数（a，且）是偶函数，则___________，___________.（本题第1问2分，第2问3分）三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）若，求的值； （2）证明：为定值.18.（12分）青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握情况，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100分）都在区间中，并将数据分组，制成如下频率分布表：分数频率0.150.25m0.300.10（1）估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）用分层抽样的方法从这200份问卷得分在，，内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行调查，求这3人来自不同组（3人中没有2人在同一组）的概率.19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，，，.（1）证明：平面PCD⊥平面PBC；（2）若，求三棱锥P-ABC的体积.20.（12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围.21.（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点O，对称轴分别为x轴､y轴，且过A（-1，0），两点. （1）求E的方程；（2）设F为椭圆E的一个焦点，M，N为椭圆E上的两动点，且满足，当M，O，N三点不共线时，求△MON的面积的最大值.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为.（1）求曲线C的普通方程；（2）若l与C有两个不同公共点，求m的取值范围.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设函数，若对任意，都存在，使得成立，求实数a的取值范围. 高三文科数学参考答案､提示及评分细则1.B，所以.故选B.2.A，所以复数在复平面内对应的点为.故选A.3.C，则，解得，所以，则该切线的方程为，即.故选C.4.C如图所示，设两圆的圆心分别为，两圆相交于两点，则两圆互过圆心，连接与交于，则，所以，则，所以弓形的面积为，在矩形内任取一点，该点取自两圆公共部分的概率为.故选C.5.A设水库深度为，由题意，，解得，即.故选A.6.C由题意可知，的坐标为，则，所以，则抛物线的方程为，设，由，解得，所以.故选C. 7.B由题知时，，开始出现，故输出的的值为15.故选B.8.B，所以.因为相应于点的残差为，则点在回归直线上，即，解得，则.故选B.9.C设等比数列的公比为，前项和为，由，得，解得，由30，解得，所以.故选C.10.D由题意可知，，由，得，所以，因为，所以，又函数的图象关于点对称，所以，所以，因为，所以当时，取得最小值4，则，故.故选D.11.A不妨设交点的顺序自上而下为，则，由对称性可知，轴，则的方程为，代入，求得，代入，求得，则，所以，所以，则 ，所以的离心率为.故选A.12.D四棱锥的底面内接于圆，当底面为正方形时，底面面积最大（论证如下：设底面四边形的外接圆半径为，与的夹角为，则四边形的面积，当且仅当四边形是正方形时，四边形的面积取到最大值）.要使四棱锥的体积最大，则从顶点作底面的垂线过球心，该四棱锥为正四棱锥，设底面的边长为，四棱锥的高为，底面外接圆的半径为，由题意可知，，即，所以，则，四棱锥的体积为，令，则，由，得，由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，则当时，取得极大值，也就是最大值，此时.故选D.13.，由，得，解得.14.设等差数列的公差为，由两式相减得，解得，由，得，故.15.或或（答案不唯一，3个中任填一个即可）易知圆和外切，显然与这两圆都相切.设直线与圆和都相切，则且 ，所以，令，则，解得或，当时，解得，此时，直线方程即为；当时，，解得，当时，；当时，，所以直线方程为或.16.易知是奇函数，因为函数是偶函数，所以是奇函数，又知，根据奇函数的定义域关于原点对称，则，当时，，所以，所以，则，解得.经检验，时符合题意.17.（1）解：由及已知，得，又，所以，即，所以，又，则，所以-，则，所以-，解得，故.（2）证明：由题意知，（，所以，则， 由正弦定理，得，由余弦定理，得，整理，得，故为定值，得证.18.解：（1）由频率分布表可知，.这200份问卷得分的平均值估计为.（2）由分层抽样的方法可知，抽取的6人中，成绩在内的有2人，分别记为；成绩在内的有3人，分别记为；成绩在内的有1人，记为，则从这6人中随机抽取3人的所有基本事件为，，，共20个，记这3人来自不同组为事件，其基本事件有，，共6个，故这3人来自不同组的概率为.19.（1）证明：连结，因为底面平面，所以.因为，所以.又，所以.又平面平面，所以平面，又平面，故平面平面.（2）解：法一：由（1），得，所以 ，则的面积为，故三棱锥的体积为.法二：因为，所以，所以.在与中，由余弦定理得，因此，解得，所以.则的面积为，故三棱锥的体积为.20.解：（1），设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则，所以当时，，当时，，故的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）当时，恒成立，等价于在上恒成立. 设，则，设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以，则在上单调递增，故的最小值为，所以，所以实数的取值范围为.21.解：（1）设的方程为，由题意，解得，故的方程为.（2）由椭圆的对称性，不妨设为下焦点，则，所以，因为，所以直线的斜率为1，设直线的方程为，由消去并整理得，则，所以且. 所以原点到直线的距离为，则的面积为，当且仅当，即时，的面积最大，显然满足且，所以的面积的最大值为.22.解：（1）因为，且，所以，则曲线的普通方程为.（2）由，化为直角坐标方程为.由消去并整理得. 则解得，故的取值范围为.23.解：（1）当时，由，得；当时，恒成立；当时，由，得.综上，的解集为.（2）因为对任意，都存在，使得，所以.又，等号都能取到，所以，解得，所以实数的取值范围是.