河南省2023届高三数学（文）上学期12月摸底考试试卷（Word版含解析）

河南省名校2022-2023学年高三上学期12月摸底考试文科数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（每小题5分，共60分）1．设集合，则（    ）A．B．C．D．2．已知，，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（    ）A．60米B．61米C．62米D．63米4．已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（    ）A．函数的周期为2B．函数关于直线对称C．函数关于点中心对称D．5．如图，在直三棱柱中，，且分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A．B．C．D．6．在平行四边形中，､分别在边､上，，与相交于点，记，则（    ）A．B．C．D．7．一个几何体的三视图如图，它们为一个等腰三角形，两个直角三角形，则这个几何体的外接球表面积为（    ）A．B．C．D．8．在上有两个零点，，则（）A．B．C．D．9．已知正四棱锥的侧棱长为，则该正四棱锥体积的最大值为（    ） A．B．C．D．10．已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（    ）A．B．C．1D．211．已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）A．B．C．D．12．已知，，，则（    ）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．若满足约束条件，则的最大值为__________.14．已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________.15．已知的所有顶点都在球的表面上，，球的体积为，若动点在球的表面上，则点到平面的距离的最大值为__________.16．如图所示，在长方体中，，点是棱上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题:①四棱锥的体积恒为定值;②存在点，使得平面; ③对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面;④存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值.其中真命题的是_____________.（填写所有正确答案的序号）三、解答题（17题10分，其余每小题12分，共70分）17．已知数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.18．已知在中，角所对的边分别为，且.(1)求；(2)设点是边的中点，若，求的取值范围.19．如图，在几何体中，平面，，，.(1)证明：平面平面；(2)若，，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.20．已知函数，．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．21．如图，△ABC是正三角形，在等腰梯形ABEF中，，.平面ABC⊥平面ABEF，M，N分别是AF，CE的中点，. (1)证明：平面ABC；(2)求三棱锥N－ABC的体积.22．已知，函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)若曲线与直线有且只有一个公共点，求. 河南省名校2022-2023学年高三上学期12月摸底考试参考答案1．C解析：由，得，解得，所以，由，得，解得，所以，所以，2．A解析：充分性：∵，，，∴，当且仅当时，等号成立，∴，当且仅当时，等号成立，∴.必要性：当，时，成立，但不成立，即必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件．3．D解析：解：根据题意，，，所以，解得．4．C解析：∵为偶函数，∴，∴，故即，∴函数的图象关于直线对称.∵为奇函数，∴，∴，所以函数的图象关于点对称，故B错误，C正确；由及知，，∴，∴，即，∴，故∴函数的周期为4，A错误，，故D错误.5．A解析：如图，在棱上取一点，使得，取的中点，连接,，由于分别是棱的中点，所以，故四边形为平行四边形，进而, 又因为是的中点，所以,所以，则或其补角是异面直线与所成的角.设，则，从而，故,故异面直线与所成角的余弦值是.6．D解析：过点作平行于，交于点，因为，则为的中点，所以且，因为，所以，由可得：，所以，因为，所以，7．C解析：由三视图还原原几何体的直观图如下图所示：可以该几何体为三棱锥，其中平面，，，所以，为等边三角形， 如下图所示：圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心，且，可将三棱锥置于内，使得的外接圆为圆，其中圆的直径为，故三棱锥的外接球直径为，所以，该几何体的外接球的表面积为.8．D解析：其中,不妨设因为是的两个零点,所以即结合的范围知所以,即所以9．D 解析：如图，连结交于点，连结.根据正四棱锥的性质，可知平面.设底面正方形边长为，高为，则，.在中，有，即，则.则.设，则，令，解得（舍去负值）.又当时，；当时，.所以，当时，有唯一极大值，也是最大值.10．B解析：已知由正弦定理可知：，，整理得：，两边同除得：，根据余弦定理得：，即，，，，当且仅当，即时等号成立.又，当且仅当时，等号成立.综上所述：且，故得：，此时且，，.11．A解析：由题意得,令，，该函数在R上为单调增函数，且，故函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，令即直线与的图象有两个不同交点，又，当时，递增，当时，递减， 则，当时，，作出其图象如图：由图象可知直线与的图象有两个不同交点，需有，12．A解析：设，当时，有，当且仅当时，等号成立，所以是减函数，，即；当时，设，单调递增，，即，即；13．8解析：作出可行域，如图内部（含边界），作直线，在中，是直线的纵截距，向上平移该直线，增大，平移直线，当它过点时，为最大值．14．x2＋y2＋2x＋4y－5＝0解析：方法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得:,解得： 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.方法二：线段的中点坐标为，即，直线的斜率为，所以线段AB的垂直平分线的斜率为-2，所以线段AB的垂直平分线方程为，即2x＋y＋4＝0，由几何性质可知：线段AB的垂直平分线与的交点为圆心，联立，得交点坐标，又点O到点A的距离，即半径为，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.故答案为：x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.15．解析：因为，所以，即.设的外接圆的圆心为的外接圆的半径为，球的半径为，则，因为平面，所以，则.延长与球交于点，当点与点重合时，点到平面的距离取得最大值.16．①②④解析：对于①，由，平面， 可得到平面的距离为定值，所以四棱锥的体积为定值，故①正确;对于②，，得对角面为正方形，所以，易知平面，而平面，所以，若，，平面，所以平面，面，所以，，平面，所以有平面，故②正确;对于③，可作出过的平面与平行，如图所示：当点与棱的中点重合时，作的中点，连接，易知，平面，平面，所以平面，同理平面，，平面， 所以平面平面，易知：当点在线段内时，对应的点在棱上，而当点在线段内时，对应的点在棱上，故③错误.对于④，由面面平行的性质定理可得四边形为平行四边形，所以四边形的周长，将矩形绕棱向内旋转90度，使矩形和矩形共面，连接交于点，如下图所示：此时，四边形的周长取得最小值，故存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值，故④正确.综上：①②④正确.故答案为：①②④.17．解：（1）①，当时，②，①②得，即，又时，，∴为首项，公比的等比数列，故，∴（2），③④③④得∴ 18．解：（1）在中，依题意有，由正弦定理得：，而，即，则有，即，而，所以.（2）在中，由（1）知，，又，点是边的中点，则,于是得，显然，当且仅当时取等号，因此，，即，所以的取值范围是.19．解：（1）若分别为的中点，连接，所以且，又，，故、，所以为平行四边形，故，且、，所以为平行四边形，故且，而，因为平面，则平面，平面，所以，即，，在中，，故△为等腰三角形，则，平面，平面，故，所以，，面，故面，而面，所以面面.（2）由（1）知：面，故直线与平面所成角的平面角为， 所以，因为，，故，即，所以，且，又平面，故，则，而，所以，即直线与平面所成角的正弦值.20．（1）解：当时，，所以，，所以，故所求切线方程为．（2）解：因为在上恒成立，令，，则，令，则，所以在上单调递减，因为，，由零点存在定理知，存在唯一，使，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，从而．21．解：（1）取CF的中点D，连接DM，DN，∵M，N分别是AF，CE的中点，∴，，又∵平面ABC，平面ABC，∴平面ABC.又，∴，同理可得，平面ABC.∵平面MND，平面MND，，∴平面平面ABC.∵平面MND，∴平面ABC.（2）取AB的中点O，连接OC，OE.由已知得OAEF且OA=EF，∴OAFE是平行四边形，∴OEAF且OE=AF ∵△ABC是正三角形，∴OC⊥AB，∵平面ABC⊥平面ABEF，平面平面ABEF＝AB，∴OC⊥平面ABEF，又平面ABEF，∴OC⊥OE.设，，在Rt△COE中，由，解得，即.由题意∠FAB＝60°，M到AB的距离即为M到平面ABC的距离又平面ABC，∴.22．解：（1）解：当时，，函数的定义域为，，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，且．所以当时，，单调递减，当时，，单调递增．因此，当时，函数的减区间为，增区间为.（2）解：依题意，，的定义域为，.令，，所以，在上单调递增，，，故存在，使得.当时，，则，此时单调递减，当时，，则，此时单调递增，当时，取极小值，则也是函数唯一的极值点，由得，即，①等式①的两边同时取自然对数，则有，则．② 由①②得，当且仅当时，等号成立．当时函数取最小值，函数的图象过点，函数与有且只有一个交点．由，可得，即，令，其中，则.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，因此，.所以曲线与直线有且只有一个交点时，．