山东省烟台市2023届高三数学上学期期末学业水平诊断试卷（Word版附解析）

2022~2023学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【详解】，，故，.故选：D.2.已知，，则“”的一个充分不必要条件为（）A.B.C.D.【答案】B【详解】选项A：取，，满足，但不成立，A错误；选项B：由对数函数的定义域和单调性可知若，则；若，可能无意义，所以是的充分不必要条件，B正确； 选项C：取，，满足，但不成立，C错误；选项D：由指数函数的单调性可得若，则；若，则，所以是的充要条件，D错误；故选：B3.过点且与曲线相切的直线方程为（）A.B.C.D.【答案】B【详解】由，则，设切点坐标为，则切线的斜率，切线方程为，由切线过点，代入切线方程解得，则切线方程，即.故选：B4.米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能以及吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用.如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形边长分别为、，侧棱长为，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重千克，则该米斗盛装大米约（）A.千克B.千克C.千克D.千克【答案】C【详解】设该正棱台为，其中上底面为正方形，取截面，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，且，，，分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，由等腰梯形的几何性质可得，又因为，，所以，，所以，，因为，易知，故四边形为矩形，则，，所以，，故该正四棱台的高为，所以，该米斗的体积为，所以，该米斗所盛大米的质量为.故选：C.5.设分别为椭圆的左顶点和上顶点，为的右焦点，若到直线的距离为，则该椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【详解】由题意可得，所以直线的方程为，整理得，所以到直线的距离，所以①， 又因为椭圆中②，③，所以联立①②③得，解得，又因为，所以，故选：A6.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的点且，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【详解】以为坐标原点，为轴，垂直于方向为，建立平面直角坐标系，因为，,所以，即，且所以，所以，故选:C. 7.过直线上一点作圆的两条切线，，若，则点的横坐标为（）A.0B.C.D.【答案】D【详解】如下图，过直线上一点作圆的两条切线，，设圆心，连接，，可得，，则，所以，所以，因为点在直线上，所以设，，，解得：.故选：D.8.已知定义在上的函数满足：为偶函数，且；函数，则当时，函数的所有零点之和为（） A.B.C.D.【答案】A【详解】因为为偶函数，所以关于对称，所以当时，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，……函数为的图象向左平移个单位，的图象如下图所示，均关于对称，有14个交点，所以函数的所有零点之和为：.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图是某正方体的平面展开图，则在该正方体中（） A.B.平面C.与所成角为60°D.与平面所成角的正弦值为【答案】BC【详解】将展开图合成空间图形如下图并连接,,，，四边形为平行四边形，，若，则，显然不成立，故A错误，，平面，平面，平面，故B正确，设正方体棱长为1，则，故为正三角形，故，而，与所成角为，故C正确，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则,则,设平面的一个方向量，则，即，令，则，则，设与平面所成角为，则，故D错误.故选：BC.10.已知函数的图象关于直线对称，则（）A.的最小正周期为B.在上单调递增C.的图象关于点对称D.若，且在上无零点，则的最小值为【答案】ACD【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，即，解得， ，且，对于A，，故A正确；对于B，，所以，因为在上单调递减，在上单调递增，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，若，则，可得或者，，或，，且的半周期为，在上无零点，则的最小值为，故D正确.故选：ACD.11.已知，，且，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【详解】，，且，所以，故选项A正确； ，故选项B正确；要证，证，即证，由，，且，知，所以，故选项C正确；要证，即证，因为，所以，前后取得等号条件分别是和，所以不同时取得等号，故D选项正确；故选：ACD.12.已知过抛物线焦点的直线交于两点，交的准线于点，其中点在线段上，为坐标原点，设直线的斜率为，则（）A.当时，B.当时，C.存在使得D.存在使得【答案】ABD【详解】对于选项A.当时,过抛物线的焦点的直线方程为:,设该直线与抛物线交于,两点,联立方程组,整理可得:,则, 由抛物线的定义:,故A正确.对于选项B.当时,过抛物线的焦点的直线方程为:,设该直线与抛物线交于,两点,联立方程组整理可得:，则,则,所以，由抛物线的定义:又因为直线与抛物线的准线交于点,则，即，故B正确.对于选项C.设过抛物线的焦点的直线方程为:与抛物线交于两点,联立方程组,整理可得:则,，所以.若,则,故不存在，使得,故C不正确.对于选项D.设过抛物线的焦点的直线方程为:与抛物线交于两点,联立方程组,整理可得:,则，, 若,因为,,即,则,即:,可得:,即:,则,解得:,解得:.故存在使得,故D正确;故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则________.【答案】1【详解】由可知，，所以.故答案为：14.已知向量，，若，则的值为______.【答案】【详解】已知向量，，若，则有，∴.故答案为：15.“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设是一个“0，1数列”，定义数列：数列中每个0都变为“1，0，1”，中每个1都变为“0，1，0” ，所得到的新数列.例如数列：1，0，则数列：0，1，0，1，0，1.已知数列：1，0，1，0，1，记数列，，2，3，…，则数列的所有项之和为______.【答案】【详解】依题意，可知经过一次变换，每个1变成3项，其中2个0，1个1；每个0变成3项，其中2个1，1个0，因为数列：1，0，1，0，1，共有5项，3个1，2个0，所以有项，3个1变为6个0，3个1；2个0变为4个1，2个0；故数列中有7个1，8个0；有项，7个1变为14个0，7个1；8个0变为16个1，8个0；故数列中有23个1，22个0；有项，23个1变为46个0，23个1；22个0变为44个1，22个0；故数列中有67个1，68个0；所以数列的所有项之和为.故答案为：.16.在直四棱柱中，底面是边长为1的正方形，侧棱，为侧棱的中点，在侧面矩形内（异于点），则三棱锥体积的最大值为______.【答案】##【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， ，且和不同时成立，因为，所以有，所以是直角三角形，于是，设平面的法向量为，因此有，取，则，则，设点到平面的距离为，，三棱锥体积为，因为，所以当时，有最大值，显然满足和不同时成立，即，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求；（2）若，，求面积的最大值. 【答案】（1）（2）【小问1详解】由正弦定理可得，因为，所以，即，整理得：，因为，所以，所以，因为，所以.【小问2详解】在中，由余弦定理得：，即，整理得，当且仅当时，等号成立.所以，因为，所以，所以面积的最大值为.18.已知数列和的各项均不为零，是数列的前项和，且，，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）， （2）【小问1详解】因为，所以，两式相减得.又因为，所以，所以数列和都是以2为公差的等差数列.因为，所以在中，令，得，所以，，所以.对于数列，因为，且，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.【小问2详解】由，有，，两式相减得，，所以.19.如图，是以为斜边的等腰直角三角形，是等边三角形，，. （1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析;（2）.【小问1详解】取中点，连接，，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以.因为是等边三角形，所以.，平面，平面，所以平面.因为平面，故.【小问2详解】在中，，，，由余弦定理可得，，故如图，以，及过点垂直于平面的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，可得，所以，，，设为平面的一个法向量，则，即， 令，可得.设为平面的一个法向量，则，即，令，可得.所以，故平面与平面夹角的余弦值为.20.某工厂拟建造如图所示容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元.（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的. 【答案】（1），（2）见解析【小问1详解】设该容器的体积为，则，又，所以因为，所以.所以建造费用，因此，.【小问2详解】由（1）得，.由于，所以，令，得.若，即，当时，，为减函数，当时，，为增函数，此时为函数的极小值点，也是最小值点.若，即，当时，，为减函数，此时是的最小值点.综上所述，当时，建造费用最小时；当时，建造费用最小时.21.已知双曲线的焦距为，，为 的左、右顶点，点为上异于，的任意一点，满足.（1）求双曲线的方程；（2）过的右焦点且斜率不为0的直线交于两点，，在轴上是否存在一定点，使得为定值？若存在，求定点的坐标和相应的定值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在定点，使得为定值【小问1详解】设，，，则，又因为点在双曲线上，所以.于是，对任意恒成立，所以，即.又因为，，可得，，所以双曲线的方程为.【小问2详解】设直线的方程为：，，，由题意可知，联立，消可得，，则有，，假设存在定点， 则令，解得，此时，所以存在定点，使得为定值22.已知，，，为的导函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若存在使得对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【小问1详解】，则，当时，方程的根为，当，即时，当和时，，单调递增，当时，，单调递减，当，即，当和时，，单调递增，当时，，单调递减，当，即时，恒成立，函数在上单调递增，综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，当时，在 ，上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】存在实数使得对任意恒成立，即恒成立，令，则，因为，当时，恒成立；当时，，函数在上单调递增，且，，所以，存在，使得，且在上单调递减，在上单调递增，所以，于是，原命题可转化为存在使得在上成立，又因为，所以，所以存在，使得成立，令，，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以.