山东省烟台市2022-2023学年高一数学上学期期中诊断试卷（Word版含答案）

2022-2023学年度第一学期期中学业水平诊断高一数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知x，，则“x和y均为有理数”是“xy为有理数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.，B.，C，D.，4.下列命题中，正确的是（）A.若，则.B.若，则.C.若，则.D.若，则.5.已知函数，若，则是（）A.奇函数，在和单调递增B.奇函数，在和单调递减C.偶函数，在单调递增，在单调递减D.偶函数，在单调递减，在单调递增 6.已知函数，若，则（）A-4B.-1C.-4或-1D.-4或7.定义在R上的函数满足：①，②，③，则不等式的解集是（）A.或B.或C.或D.或8.已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（）A.B.C或D.或二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.满足集合，且，则集合（）A.B.C.D.10.已知函数，，设函数则（）A.是偶函数B.方程有四个实数根C.在区间上单调递增D.有最大值，没有最小值 11已知，，且，则（）A.B.C.D.12.已知函数的定义域为R，对任意的实数x，y，有，且当时，，则（）A.B.对任意的，恒成立C.函数在上单调递增D.若，则不等式的解集为第Ⅱ卷（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知集合，，则B中元素的个数为______．14.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________．15.已知，且，则的最小值为______．16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，．①若函数，则的值域为______；②若函数，则方程所有的解为______．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知函数的定义域为集合A，集合 ．（1）求集合A；（2）请在下面这两个条件中任选一个，补充在横线处，并给出问题的解答．①充分条件，②必要条件．是否存在实数m，使得是的______？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.已知是定义在R上的偶函数，当时，．（1）求解析式；（2）求不等式的解集．19.已知函数，二次函数满足，且不等式的解集为．（1）求，的解析式；（2）设，根据定义证明：在上为增函数．20.已知某企业原有职工500人，每人每年可为企业创利6.5万元．为应对新冠疫情给企业带来的不利影响，该企业决定实施减员增效策略，分流出一部分职工待岗，待岗人数不超过原有职工的4%，并且每年给每位待岗职工发放生活补贴0.5万元．据评估，当待岗职工人数x不超过原有职工2%时，留岗职工每人每年可为企业多创利万元；当待岗职工人数x超过原有职工2%时，留岗职工每人每年可为企业多创利0.96万元．设该企业实施减员增效策略后，年利润为y（单位：万元）．．（1）求y关于x的函数关系式；（2）为使企业的年利润y最大，应安排多少职工待岗？21.已知函数的定义域为R，且对任意的实数x，y，满足．（1）证明：； （2）著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意x，，，．设．①证明：；②已知，求在上的最小值．22.给定，若存在实数使得成立，则定义为的点．已知函数．（1）当，时，求的点；（2）设，，若函数在上存在两个相异的点，求实数t的取值范围；（3）对于任意的，总存在，使得函数存在两个相异的点，求实数t的取值范围． 答案1-8BADDCAAB9.AC10.ABD11.ACD12.BCD13.314.15.16.17.（1）函数有意义，，解得，所以集合.（2）选择①：是的充分条件，则，由（1）知，，解得，所以实数m的取值范围为.选择②：是的必要条件，则，由（1）知，，解得，所以实数m的取值范围为．18.（1）当时，有，而是偶函数，则，所以函数的解析式是.（2）依题意，函数在上单调递增，而是偶函数，由得：，于是得，即有，整理得：，解得， 所以不等式的解集为.19.（1）依题意，，因此，设二次函数，不等式为：，则是关于x的一元二次方程的两个实根，且，于是得，即，又，解得，，，于是得，所以，.（2）由（1）知，，任取，且，因，有，，，则，因此，所以函数在上为增函数．20.（1）依题意，，，即有且，当待岗人数不超过2%，即时，，当待岗人数超过2%，即时，， 所以y关于x的函数关系式是.（2）当且时，，当且仅当，即时取等号，当时，为减函数，而，则当时，，因为，因此当时，，所以为使企业年利润最大，应安排5人待岗.21.（1）令，得．（2）①因为，且，所以．②因为的图象在R上连续不断，所以的图象在R上连续不断，又，结合题目条件可知，．又，所以．从而．的对称轴为．当时，在上单调递减，所以，当时，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，；综上，当时，取最小值，当时，取最小值．22.（1）当，时，，依题意，，即，解得或，所以当，时，的点为1和3.（2）当，时，，依题意，在上有两个不同实数解，即在上有两个不同实数解，令，因此函数在上有两个零点，而，因此，解得，所以实数t的取值范围是．（3）因函数总存在两个相异的点，则方程，即恒有两个不等实根，依题意，对任意的，总存在使成立，即对任意的，总存在使成立，而恒成立，于是得存在，不等式成立，而，从而得不等式在上有解，又二次函数开口向上， 因此或，解得或，解得，或，则有或，所以实数t的取值范围是或．