湖北省武汉市新洲区一中2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

新洲一中2025届高一上学期阶段检测数学试卷考试时间：1月9日8：00-10：00一､单项选择题：每小题5分，共40分.在每小题给只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合和集合，再求其交集即可.【详解】集合为函数的值域，故，集合为函数的值域，故，∴.故选：A.2.已知角的终边经过点，则A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的定义可求出的值.【详解】由三角函数的定义可得.故答案为：D.【点睛】本题考查利用三角函数的定义计算余弦值，考查计算能力，属于基础题.3.设，且，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的性质和对数函数，指数函数，幂函数的单调性即可求解.【详解】对于A，当，对数没有意义，故选项A错误；对于B，因为，则，所以，故选项B正确；对于C，当时，，故选项C错误；对于D，因为幂函数在上单调递增，只有当时，才有，故选项D错误，故选：.4.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）A.3B.4C.6D.8【答案】C【解析】【分析】由弧度定义及扇形面积列式求得弧长与半径，即可得求得周长.【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，∵扇形圆心角的弧度数是4，∴，由，∴扇形的周长为.故选：C5.函数f(x)＝lnx－零点所在的区间为（）A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)【答案】B【解析】【分析】计算出，并判断符号，根据零点存在性定理可得答案.【详解】函数的定义域为，函数的图象是连续不断的，因为，，，，， 所以根据零点存性定理可知，函数在区间内存在零点.故选：B.【点睛】本题考查了零点存在性定理，属于基础题.6.已知，若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出函数解析式，再求出函数的单调减区间，然后结合已知条件可求出的取值范围.【详解】令，则，所以，所以在上递减，因为函数在区间上为减函数，所以，得，故选：A7.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的值域为B.在上为减函数C.的值域为D.在上为增函数【答案】C【解析】 【分析】由函数定义域求函数值域即可得A，C选项，根据复合函数增减性质可以判断BD.【详解】，，由函数在上单调递增，所以，又，所以的值域为，故C正确，A错误，令，由在单调递增，函数在上单调递增，所以在单调递增，由在单调递减，函数在上单调递增，所以在单调递减，故B，D错误，故选：C.8.已知函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数单调性，建立方程组，等价转化为二次方程求根，建立不等式组，可得答案.【详解】由函数，显然该函数在上单调递增，由函数在上的值域为，则，等价于存在两个不相等且大于等于的实数根，且在上恒成立，则， 解得.故选：D二､多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，且，则（）AB.C.D.为第三象限角【答案】ABC【解析】【分析】由已知可求出的值，即可依次判断每个选项的正误.【详解】，，，，故A正确；，故C正确；，故B正确；因为，且，所以为第四象限角，故D错误.故选：ABC.10.下列说法正确的是（）A.，则的最小值是2B.，则的最小值是C.，则的最小值是1 D.的最小值为9【答案】BD【解析】【分析】对于A，B，C，利用换元法及对勾函数的性质，结合函数单调性与最值的关系即可求解；对于D，利用同角三角函数的平方关系及商数关系，结合正余弦齐次式及基本不等式即可求解.【详解】对于A,令，则，由对勾函数知，在单调递增，在上单调递减；所以当时，，当时，，故A错误；对于B，令，则，，由对勾函数的性质知，在单调递增，当时，取得最小值为，所以当时，则的最小值是，故B正确；对于C，令，则，由对勾函数的性质知，在单调递增，当时，取得最小值为，所以当时，则的最小值是，故C错误；对于D，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9，故D正确.故选：BD. 11.已知函数，下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则或C.D.若有两个不同的零点，则【答案】BCD【解析】【分析】对于A，分和两种情况求解，对于B，和两种情况解不等式，对于C，先求，再求，对于D，画出函数图象，根据图象求解.【详解】对于A，当时，由，得，解得；当时，由，得，解得，综上或，所以A错误，对于B，当时，由，得，解得；时，由，得，解得，综上，或，所以B正确，对于C，因为，所以，所以C正确，对于D，的图象如图所示，有两个不同的零点，等价于方程有两个不等的实根， 则等价于与有两个不同的交点，因为，所以由图象可得，所以D正确，故选：BCD12.函数是奇函数，且，则下列正确的是（）A.B.C.的最大值为D.的最大值为【答案】BC【解析】【分析】根据奇函数的定义求得，再根据基本不等式“1”的妙用即可求解.【详解】因为函数是奇函数，所以时，即，所以，又因为，所以，即，因为，所以，所以当满足题意，所以A错误，B正确； ，因为，当且仅当即时取得等号，所以有最小值为，则有最大值为，C正确，D错误，故选:BC.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的增区间是____________．【答案】.【解析】【分析】根据对数函数的单调性，二次函数的单调性和复合函数的单调性求解.【详解】∵，∴或；又的底数为，∴减函数，其中，在单调递减，在单调递增，故答案为：14.若函数是幂函数，且在上单调递增，则___________.【答案】【解析】【分析】由题意可得求出的值，则可求出 的解析式，从而可求出.【详解】因为函数是幂函数，且在上单调递增，所以，解得，所以，所以，故答案为：215.函数的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的关系将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的图象和性质即可求解.【详解】函数，因为，所以当时，函数取最小值，故答案为：.16.已知函数，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】【分析】令，则不等式等价于，然后根据的奇偶性和单调性进行求解即可.【详解】令，则，∴不等式等价于，即.∵，∴的定义域为，，都有， ∴，∴为上的奇函数，∴又∵，且，，均为上的增函数，∴在上单调递增.∴，令，∵和均为上的增函数，∴在上单调递增，又∵，∴，综上所述，不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数单调性和奇偶性的综合运用，首先利用奇函数的性质将等价变换为，再利用单调性将与的大小关系转化为与的大小关系，同时，解不等式时，又构造了，利用了函数的单调性和特殊值进行求解.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（1）已知，，求值：；（2）已知，求值：.【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）利用指数的运算性质可得出，再利用对数的运算性质、换底公式化简可得所求代数式的值；（2）利用诱导公式可得出，然后利用诱导公式以及弦化切可求得所求代数式的值.【详解】解：（1）因为，由可得，则，因此，；（2）因为，故18.设不等式的解集为，记不等式的解集为.（1）当时，求集合；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先求出集合，然后再求两集合的交集；（2）由题意可得集合是集合的真子集，从而列不等式可求出实数的取值范围.【小问1详解】或，或 ，当时，则集合【小问2详解】或，"是“”的必要不充分条件，集合是集合的真子集，则，或或19.已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，理由见解析（2）增函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可；（2）利用单调性定义，作差后注意变形，分析差的正负即可；（3）由（1）（2）知函数是奇函数，在R上递增，转化为，根据单调性可得对任意的恒成立，分类讨论即可求解．【小问1详解】的定义域为，由，则，则， ，故函数的为奇函数.【小问2详解】结论：在上是增函数，下证明：设且，，即在上是增函数.【小问3详解】为奇函数且在上为增函数，不等式化为即对任意的恒成立①时，不等式化为恒成立，符合题意；②时，有即综上，的取值范围为20.已知函数.（1）若函数的定义域为，值域为，求实数的值；（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）由对数复合函数的单调性及值域可得，即可由二次函数的值域列式求得a；（2）由复合函数单调性及对数函数定义列式求解即可.【小问1详解】记①.由函数是减函数及函数的值域为可知.由①知的值域为，.【小问2详解】由题意得，解得，实数的取值范围是.21.为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入60万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为多少人？（2）若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数的最大值.【答案】（1）75人；（2）7.【解析】【分析】（1）根据题意列出不等式，解不等式即可；（2）根据题意列出不等式，进行常变量分离，利用基本不等式进行求解即可.【小问1详解】 依题意得解得，所以调整后的技术人员的人数最多75人【小问2详解】由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有：得整理得故有当且仅当时等号成立，所以，故正整数的最大值为722.定义函数，其中为自变量，为常数．（Ⅰ）若函数在区间上的最小值为，求的值；（Ⅱ）集合，，且，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）令，设，然后分、、三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，求得函数在区间上的最小值，结合已知条件可求得实数的值；（Ⅱ）计算得出，由得出 ，换元，求出的取值范围为，将方程变形为，根据题意可知，关于的方程在上有解，求得函数在区间上的值域，可求得实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）因为，令，则．①若，即，则函数在上为增函数，，矛盾；②若，即，则函数在上为减函数，，解得，矛盾；③若，即，则函数在上为减函数，在上为增函数，，解得或（舍）；综上所述，；（Ⅱ）由已知，所以，，由化简整理得，即，令，，则，当时，令，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在上单调递增， ，又，，则，即，所以，，整理得，此时，由知，在上有解，又在上是增函数，可得，因此，实数的取值范围为．【点睛】本题考查利用指数型函数在区间上的最值求参数，同时也考查了利用指数方程有解求参数，利用换元思想转化为二次函数与二次方程的问题是解答的关键，考查化归与转化思想、分类讨论思想的应用，属于中等题.