湖北省武汉市江岸区2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版含解析）

2022~2023学年度第一学期期末质量检测高一数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则的取值范围（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据集合间的包含关系求参数的取值范围.【详解】由解得即，所以，因为，所以，故选:B.2.命题“，都有”的否定是（）A.，使得B.，使得C，使得D.，使得【答案】A【解析】【分析】全称改存在，再否定结论即可.【详解】命题“，都有”的否定是“，使得”.故选：A3.已知，则等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简，求出，然后利用同角三角函数的商数关系即可求得.【详解】，则，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 .故选：B.4.已知函数且，则（）A.-5B.-3C.3D.随的值而定【答案】C【解析】分析】先推导，再根据求解即可【详解】由题意，，又，故.又，故故选：C5.已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分函数在R上的单调递减和单调递增求解.【详解】当函数是R上的单调递减函数，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 所以，解得，因为且，所以当时，不可能是增函数，所以函数在R上不可能是增函数，综上：实数a的取值范围为，故选：B6.已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（）A.1B.4C.8D.9【答案】D【解析】【分析】，后利用同角三角函数关系及基本不等式可得答案.【详解】由对任意的实数均成立，可得.，当且仅当，即时取等号.则.故选：D7.设，则（）A.B.第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 C.D.【答案】D【解析】【分析】分别判断出，，，即可得到答案.【详解】.因为，所以.所以；因为在R上为增函数，所以；因为在上为增函数，且所以，即；所以.故选：D8.设函数，其中，，，为已知实常数，，若，则（）A.对任意实数，B.存在实数，C.对任意实数，D.存在实数，【答案】A【解析】【分析】根据，可推出，整理化简后可得或，分类讨论，结合三角函数诱导公式化简，即可判断答案.【详解】由题意知，即，即，两式两边平方后可得，故或，若，则，故，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 此时，若，则，故，此时，若或，则，故对任意实数，，则A正确，错误，故选：A【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据已知等式化简得到m和n之间的关系，然后分类讨论，化简即可解决问题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下列三角函数值为负数的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据诱导公式，逐个选项进行计算，即可判断答案.【详解】对于A，，故A为正数；对于B，，故B为负数；对于C，，故C为负数；对于D，，故D为负数；故选：BCD10.下列计算或化简结果正确的是（）A.若，B.若，则C.若，则D.若为第二象限角，则【答案】AB第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】利用，结合三角函数在各个象限的符号，逐项进行化简、求值即得.【详解】对于A选项：，，故A正确；对于B选项：，则，故B正确；对于C选项：∵范围不确定，∴的符号不确定，故C错误；对于D选项：为第二象限角，,,故D错误.故选：AB.11.定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确的有（）A.方程有且仅有三个解B.方程有且仅有三个解C.方程有且仅有八个解D.方程有且仅有一个解【答案】ABD【解析】【分析】第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 通过利用和，结合函数和的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.【详解】由图象可知，对于方程，当或，方程只有一解；当时，方程只有两解；当时，方程有三解；对于方程，当时，方程只有唯一解.对于A选项，令，则方程有三个根，，，方程、、均只有一解，所以，方程有且仅有三个解，A选项正确；对于B选项，令，方程只有一解，方程只有三解，所以，方程有且仅有三个解，B选项正确；对于C选项，设，方程有三个根，，，方程有三解，方程有三解，方程有三解，所以，方程有且仅有九个解，C选项错误；对于D选项，令，方程只有一解，方程只有一解，所以，方程有且仅有一个解，D选项正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.12.已知函数，零点分别为，，给出以下结论正确的是（）A.B.C.D.第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 【答案】BD【解析】【分析】先说明的图象关于直线对称，由题意可得，且，化简可得，判断B;写出的表达式，利用基本不等式可判断，判断A;利用零点存在定理判断出，写出的表达式，由此设函数，根据其单调性可判断.【详解】对于函数，有，即函数的图象关于直线对称，由题意函数，的零点分别为，，可知为的图象的交点的横坐标，为的图象的交点的横坐标，如图示，可得，且关于直线对称，则，且，故，即，故B正确；由题意可知，所以，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 由于，即，A错误；因为，，且为单调减函数，故在上存在唯一的零点，即，故，设，则该函数为单调递增函数，故，且，故，故C错误，D正确，故选：【点睛】关键点点睛：解答本题要注意到函数图象的特点，即对称性的应用，解答的关键在于根据题意推得，且关于直线对称，从而可得，且，然后写出以及的表达式，问题可解.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知.若，则的值为_________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式化简，结果为，结合可得第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 ，再利用诱导公式化简为，即得答案.【详解】由题意，由可得，故，故答案为：14.若正数，满足，，则值为__________.【答案】【解析】【分析】根据对数的运算性质列出方程组求出即可求解.【详解】因为，所以，又因为，所以，联立解得，所以，故答案为：.15.己知实数，且，则的最大值是_______________．【答案】2【解析】第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 【分析】由已知可得，令，构造函数，根据函数的单调性，即可求出最大值.【详解】解：由，可知，则，且有，令，，可知在上单调递减，，即的最大值是2，故答案为：2.16.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）间的关系为，其中，是正的常数.如果在前5h消除了10%的污染物，那么经过_______h污染物减少50%（精确到1h）？取，【答案】33【解析】【分析】代入给定的公式即可求解.【详解】由题知，当时，解得，当时，，解得：，所以，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 当时，则有：，即，解得：.故答案为：33.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.若，，且.（1）解关于的不等式的解集（解集用的三角值表示）；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据题意，用的三角函数值替换的三角函数值，从而解一元二次不等式即可；(2)利用基本不等式求解.【小问1详解】，∴，，因为所以，∴原不等式解集；【小问2详解】，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 当且仅当即时取得等号.18.中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具，成为世界上最早发明计时工具国家之一.铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了会与时针重合，一天内分针和时针重合次.（1）建立关于的函数关系；（2）求一天内分针和时针重合的次数.【答案】（1）.（2）22次.【解析】【分析】（1）计算出分针以及时针的旋转的角速度，由题意列出等式，求得答案；（2）根据时针旋转一天所需的时间，结合（1）的结果，列出不等式，求得答案.【小问1详解】设经过分针就与时针重合，为两针一天内重合的次数.因为分针旋转的角速度为，时针旋转的角速度为，所以，即.【小问2详解】因为时针旋转一天所需的时间为（），所以，于是,故时针与分针一天内只重合22次.19.在平面直角坐标系中，是坐标原点，角的终边与单位圆的交点坐标为，射线绕点按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点，点的纵坐标关于的函数为.第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 （1）求函数的解析式，并求的值；（2）若，，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据特殊值对应的特殊角及三角函数的定义，结合函数值的定义即可求解；（1）根据（1）的结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系及商数关系即可求解.【小问1详解】因为，且，所以，由此得.【小问2详解】由知，即由于，得，与此同时，所以由平方关系解得：，.20.已知函数（为常数）.第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 （1）当，求的值；（参考数据：，）（2）若函数为偶函数，求在区间上的值域.【答案】（1）0.3（2）【解析】【分析】(1)结合指数和对数运算公式计算；(2)根据偶函数的性质列方程求，判断函数的单调性，利用单调性求值域.【小问1详解】当时，，此时【小问2详解】函数的定义域为，由偶函数的定义得恒有即：也就是恒有,所以当时，，因为函数为上的增函数，所以在单调递减，∴，故在上值域.21.武汉城市圈城际铁路，实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系.第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 据悉一辆城际列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额（元）与发车时间间隔（分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比；当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为.（1）求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式；（2）由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值.【答案】（1）.（2）时，,【解析】【分析】（1）由题意设当时的函数表达式，由时满载求得比例系数，进而求得当时表达式，写为分段函数形式，即得答案；（2）由题意可得，，采用换元并结合二次函数性质,求得答案.【小问1详解】当时，设，a为比例系数，由时满载可知，即，则，当时，，故当时，,故.【小问2详解】第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 由题意可得，，化简得，，令，则，当，即时，符合题意，此时.22.已知函数，，是常数.（1）若恒成立，求的取值范围；（2）设函数，试问，函数是否有零点，若有，求的取值范围；若没有，说明理由.【答案】（1）（2）没有，理由见解析【解析】【分析】（1）利用分离参数法解决函数恒成立问题，结合定义法证明函数的单调性及单调性与最值的关系即可求解；（2）根据已知条件及函数零点的定义，结合函数最值即可求解.【小问1详解】若恒成立，即恒有设，任取，且满足，由于，由不等式性质可得，即，所以函数在上单调递减,所以,所以，即；第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 所以的取值范围为.【小问2详解】由题意可知，即设，问题转化为求的最小值，由题意可知，此时，此时没有零点.第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司