河南省郑州市第一中学2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

25届高一上期阶段性评价数学试题说明：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）满分150分，考试时间120分钟.2．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（答题卡）中.一中第Ⅰ卷（选择题、填空题，共80分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求）1.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】，，因此，.故选：A.2.（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式与三角函数中两角差的余弦公式即可得到答案详解】原式故选：D 3.设函数，若是奇函数，则的值是（）A.2B.C.4D.【答案】D【解析】【分析】根据为奇函数，可求得，代入可得答案.【详解】若是奇函数，则，所以，，.故选：D.4.函数的图象是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据函数值的正负确定.【详解】解：，因为，所以是偶函数，故排除AD，当时，令，得或，当或时，，当时，，故选：B 5.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用对数函数、指数函数单调性并结合“媒介”数即可比较判断作答.【详解】函数在上单调递增，而，则，，函数在R上单调递减，，则，即，所以a，b，c的大小关系为.故选：C.6.下列命题中正确的个数是（）①命题“”的否定是“”②函数的零点所在区间是③若，则④命题，命题，命题是命题的充要条件A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】①根据特称命题的否定格式进行判断；②根据函数零点的存在性定理判断；③根据三角函数和角的正切公式进行展开计算；④根据命题充分条件和必要条件的性质判断.【详解】对于①，根据特称命题的否定格式可知①正确；对于②，，，根据零点存在性定理可知②正确; 对于③，，展开可得，故③错误.对于④，充分性证明，当，则，充分性成立；必要性证明，，，必要性不成立，故命题是命题的充分不必要条件，故④错误.故选:B7.“不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”，每天进步一点点，前进不止一小点.今日距离高考还有936天，我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是；而把看作是每天“退步”率都是1%.高考时是.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过（    ）天（参考数据：）A.200天B.210天C.220天D.230天【答案】D【解析】【分析】由题设有，应用指对数互化及对数的运算性质求值即可.【详解】设经过天后，“进步”的值是“退步”的值的100倍，则，即天.故选：D.8.已知函数的最小正周期为2，且函数图像过点，若在区间内有4个零点，则的取值范围为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据最小正周期求出，根据函数图像过点求出的值，再根据复合函数画出外层函数的图像，求出右端点的范围.【详解】的最小正周期为2又函数过点，即，又又，若在区间内有4个零点，如图，则满足所以 故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题中正确的是（）A.存在实数，使B.函数是偶函数C.若是第一象限角，则是第一象限或第三象限角D.若是第一象限角，且，则【答案】BC【解析】【分析】利用二倍角公式判断A，利用诱导公式及余弦函数判断B，根据象限角的概念判断C，利用特殊值判断D；【详解】解：对于A，，故不存在实数，使，故A错误；对于B，函数偶函数，故B正确：对于C，因为是第一象限角，所以，所以，所以是第一象限或第三象限角，故C正确；对于D，取，，满足、是第一象限的角，且，而．故D错误．故选：BC． 10.二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由题知，，进而根据对称性得判断即可得答案.【详解】解：由二次函数图象开口向下知：，对称轴为，即，故.又因为，所以.故选：ACD.11.已知为正数，，则下列说法正确的是（    ）A.B.的最小值为1C.最小值为8D.的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】由结合基本不等式，求得的最大值，的最小值，判断选项正误.【详解】因为，为正数，，所以，即，得，所以，当且仅当时，等号成立. 同理，解得，当且仅当时，等号成立.对于A，，所以，当时，等号成立，所以A错误；对于B，，当时，等号成立，所以B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，所以C正确；对于D，设，则，所以，即，则，得，解得，所以D正确.故选：BCD.12.设函数的定义域为，且满足，，当时，.则下列说法正确的是（）A.B.当时，的取值范围为C.为奇函数D.方程仅有3个不同实数解【答案】BC【解析】【分析】根据，推导出，所以的周期为8，可判断A；根据函数性质求出，，当时，，从而确定的取值范围，可判断B；根据得到关于中心对称，从而关于原点中心对称，即为奇函数，可判断C；画出与的图象 ，数形结合求出交点个数，即可求出方程的根的个数，可判断D.【详解】因为，所以，因为，故，所以，即，所以，所以，所以的周期为8，因为，所以因为，所以，因为时，，所以，故，A错误；当，，所以，当，，，所以，综上：当时，的取值范围为，B正确；因为，所以关于对称，故关于原点中心对称，所以为奇函数，C正确；画出与的图象，如下：显然两函数图象共有4个交点，其中，所以方程仅有4个不同实数解，D错误.故选：BC第Ⅱ卷（填空题、解答题共70分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.点是第__________象限角终边上的点.【答案】四【解析】【分析】确定角的象限,由三角函数符号得出点坐标的正负，从而得结论．【详解】，是第二象限角，从而是第二象限角，∴，，在第四象限，故答案为：四．14.函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则______．【答案】【解析】【分析】根据指数幂的运算性质，结合待定系数法进行求解即可.【详解】对于函数函数，当时，，所以，设，把点A的坐标代入该幂函数的解析式中，，故答案为：15.将函数的图像上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图像，若方程在上有且仅有两个实数根，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】根据图像变换，先求出的解析式，然后作出时， 的图像，利用数形结合的办法求解.【详解】图像上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到，接着向左平移个单位长度，得到，即，记，当时，，下作出，的图像如下：结合图像可知，当时，两者图像有两个交点，即有两个实数根.故答案为：16.已知，，若存在实数，使得成立，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】根据已知条件及不等式的性质，利用绝对值不等式的等价条件，再将不等式成立问题转化为函数的最值问题，结合基本不等式及一次函数的性质即可求解.【详解】由于，故不等式两边同时除以，得，令 ，即不等式在上有解，去掉绝对值即得，即，即在上有解，设，，即且即可.因为，所以，由，当且仅当，即时，等号成立，故，即，故，由在上，，即，故，综上，的取值范围为，即的取值范围为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设全集，集合，集合，其中.（1）当时，求；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解分式不等式和一元二次不等式可分别求得集合 ，根据补集和交集定义可求得结果；（2）解含参数的一元二次不等式可求得集合；根据充分不必要条件的定义可知Ü，即Ü，根据包含关系可构造不等式组求得结果.【小问1详解】由得：，解得：，即，；当时，，解得：，即；.【小问2详解】由（1）知：；由得：，即，是的充分不必要条件，Ü，Ü，且等号不会同时取到，解得：，即实数的取值范围为.18.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，以角的终边为始边，逆时针旋转得到角．Ⅰ求的值；Ⅱ求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】Ⅰ由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．Ⅱ先根据题意利用任意角的三角函数的定义求得、 的值，再利用二倍角公式求得、的值，再利用两角和的余弦公式求得的值．【详解】解：Ⅰ角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，．Ⅱ以角的终边为始边，逆时针旋转得到角，．由Ⅰ利用任意角的三角函数的定义可得，，，．．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式，两角和的余弦公式的应用，属于中档题．19.已知函数（1）设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；（2）已知集合①求集合；②当时，函数的最小值为，求实数的值．【答案】（1）（2）①；②的值为或5【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可； （2）①由题知解得，再解对数不等式即可得答案；②由题知，进而结合①还原，转化为求，的最小值问题，再分类讨论求解即可.【小问1详解】解：根据题意，当时，，当时，，则，因为函数是定义在上的奇函数，所以，，所以，【小问2详解】解：①，即所以，所以，，解得所以，②由①可得所以，函数等价转化为，，下面分三种情况讨论求解： 当，即，在上是增函数，所以，，解得，与矛盾，舍；当，即时，在上是减函数，所以，解得，满足题意；当，即时，，解得或（舍）综上：的值为或520.已知，且的最小正周期为.（1）求关于x的不等式的解集；（2）求在上单调区间.【答案】（1）（2）单调递增区间为和，单调递减区间为【解析】【分析】（1）首先利用两角差的正弦公式及二倍角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由的取值范围，求出的范围，再跟正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】解：因为所以 即，由及的最小正周期为，所以，解得；由得，，解得，所求不等式的解集为【小问2详解】解：，，在和上递增，在上递减，令，解得；令，解得；令，解得；所以在上的单调递增区间为和，单调递减区间为；21.近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足（k为常数，且），日销售量 （单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示：x10152025305055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）给出以下四个函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．【答案】（1）选②，（2）【解析】【分析】（1）由第10天的日销售收入为505元，求出，再根据表中数据可知时间变换时，先增后减，则选模型②，再利用待定系数法求出参数，即可得解；（2）分和，两种情况讨论，结合基本不等式和函数的单调性即可得出答案.【小问1详解】解：因为第10天的日销售收入为505元，则，解得，由表格中的数据知，当时间变换时，先增后减，函数模型：①；③；④都是单调函数，所以选择模型②：，由，可得，解得， 由，解得，所以日销售量与时间的变化的关系式为；【小问2详解】解：由（1）知，所以，即，当时，，当且仅当时，即时等号成立，当时，为减函数，所以函数的最小值为，综上可得，当时，函数取得最小值.22.已知函数,，集合．（1）若集合中有且仅有个整数，求实数的取值范围；（2）集合，若存在实数，使得，求实数b的取值范围．【答案】（1）；（2）． 【解析】【分析】（1）根据条件解不等式，即，分、、得到集合，通过二次函数的对称轴分析，又集合中有且仅有3个整数，故个整数只可能是，然后由集合列出不等式组，解不等式组即可得的取值范围；（2）分和两种情况分别写出集合，对应的解集，根据列出不等式组，综合利用不等式的性质，求出的取值范围即可．【小问1详解】由，由于对称轴为，所以，集合中有且仅有个整数，所以集合的个整数只可能是，若即时，集合与题意矛盾，所以；若即时，集合，则解得，若即时，集合，则解得，综上所述实数的取值范围是；【小问2详解】若即时，集合，，因为，所以即解得，若即时，集合，则设集合，因为，即，如图所示， 则即得，所以可得，所以，所以又因为，所以即.综上所述的取值范围是．【点睛】本题考查利用不等式的整数解求参数，由于二次函数的零点之间的大小不确定，需对参数进行讨论，考查了分类讨论思想的应用，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，正确理解并表达集合是解题的关键，属于难题.