河南省信阳高级中学2022-2023学年高一数学上学期期末考试试题（Word版附解析）

信阳高中2025届高一上学期期末考试数学试题考试时间：120分钟分值：150分第I卷（选择题）一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先解二次不等式得出集合，然后利用集合交集运算得出集合，最后判断元素与集合间的关系.【详解】由，又，所以，所以，故选项A错误，，故选项B正确，，故选项C错误，，故选项D错误，故选：B.2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可解出. 【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得：“，”的否定为，.故选：B.3.如果角的终边经过点，则（）A.B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意求得，再根据同角三角函数间的关系化简，代入计算可得选项．【详解】因为角的终边经过点，所以，所以，故选：C．4.若关于x的不等式对于一切实数x都成立，则实数a的范围是（）A.；B.；C.；D.．【答案】C【解析】【分析】，其中，据此可得答案.【详解】关于x的不等式对于一切实数x都成立， 则，其中.又，则由基本不等式有：，当且仅当，即时取等号.则.故选：C5.在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每转一圈，则后的长为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，求解出，然后结合圆的垂径定理，借助三角函数即可完成求解. 【详解】由题意可知，一个质点在圆O上每逆时针方向转一圈，那么后，到达P点，所以，而在中，且为圆的半径，取的中点T，如图，则，所以，则，所以故选：C6.函数的部分图像大致为（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】研究函数奇偶性和区间的函数值的正负，利用排除法即得结果.【详解】函数，定义域为R，对于任意的自变量x，，故函数是奇函数，图象关于原点中心对称，故CD错误；又，故时，，即，故A正确，B错误.故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7.已知定义域为的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则，，的大小关系是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据已知等式判断出函数的周期性，再根据奇函数的性质和单调性进行判断即可.【详解】，由此可知函数的周期为4，函数是奇函数，，所以有：，，因为在区间是减函数，，所以，即，故选：B8.已知函数，则函数的零点个数是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】确定函数的值域，利用换元法令，则 ，则将函数的零点问题转化为函数的图象的交点问题，作函数图象，确定其交点以及其横坐标范围，再结合的图象，即可确定的零点个数.【详解】已知，当时，，当时，，作出其图象如图示：可知值域为，设，则，则函数的零点问题即为函数的图象的交点问题，而，作出函数的图象如图示：可知：的图象有两个交点，横坐标分别在之间，不妨设交点横坐标为， 当时，由图象和直线可知，二者有两个交点，即此时有两个零点；当时，由图象和直线可知，二者有3个交点，即此时有3个零点，故函数的零点个数是5，故选：B.【点睛】本题考查了复合函数的零点个数的确定问题，综合性较强，涉及到函数的值域以及分段函数的性质的应用和数形结合的思想方法，解答的关键是采用换元法将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的的0分.）9.下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】利用定义法逐一判断奇偶性，并结合常见函数性质判断单调性，即得结果.【详解】选项A中，，定义域为R，满足，故是偶函数，又由二次函数性质知区间单调递增，故符合题意； 选项B中，，定义域为R，满足，故是偶函数，在区间上，是递增函数，故符合题意；选项C中，，定义域为，满足，故偶函数，但由幂函数性质知在区间单调递减，故不符合题意；选项D中，，定义域为R，恒成立，故不是偶函数，故不符合题意.故选：AB.10.若，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，且，则D.若，，则【答案】ABD【解析】【分析】根据不等式性质，利用做差法，函数性质等比较大小即可得答案.【详解】解：对于A选项，若，则，，，所以，所以，故A选项正确；对于B选项，若，则若，所以，故B选项正确；对于C选项，当，满足，且，此时，故C选项错误；对于D选项，若，，则，，，所以 ，故.故D选项正确；故选：ABD【点睛】本题考查不等式的大小比较，解题的关键在于根据题意，利用不等式性质或者作差法进行大小比较，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称D.若实数使得方程在上恰好有三个实数解，则一定有【答案】ACD【解析】【分析】首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．【详解】,故函数的最小正周期为,故正确;当时,故错误;当时,故正确; 当实数时,使得方程在上恰好有三个实数解则一定有,故正确.故选:.【点睛】本题考查正弦型函数的周期性、奇偶性和对称性，难度一般.12.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则下列结论中正确的是（）A.函数的图象关于点成中心对称图形B.函数的图象关于点成中心对称图形C.函数的图象的对称中心为D.函数的图象关于直线成轴对称图形函数为偶函数【答案】ACD【解析】【分析】函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，据此逐一判断即可.【详解】若函数的图象关于点成中心对称图形，则奇函数，即，故A正确B错误；若，则因为是奇函数，所以函数的图象的对称中心为，即C正确；若函数的图象关于直线成轴对称图形，则函数为偶函数，故D正确；故选：ACD 第II卷（非选择题）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.一个面积为2的扇形，所对的弧长为1，则该扇形的圆心角为_________弧度．【答案】【解析】【分析】求出扇形的半径后可求圆心角的弧度数.【详解】设扇形的半径为，则，故，故圆心角的弧度数为，故答案为：.14.已知函数，若，，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】先利用已知条件，结合图象确定的取值范围，设，即得到是关于t的二次函数，再求二次函数的取值范围即可.【详解】先作函数图象如下：由图可知，若，，设，则，，由知，；由知，； 故，，故时，最小值，时，最大值为，故的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题解题关键是数形结合，通过图象判断的取值范围，才能分别找到与相等函数值t的关系，构建函数求值域来突破难点.15.化简：________.【答案】－1【解析】【详解】原式)(.故答案为【点睛】本题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.16.已知实数x，y满足，则的最小值是______．【答案】【解析】【分析】根据等式结构特点转化后可构造函数，根据函数单调可得，由指数、对数的运算性质化简后由均值不等式求解. 【详解】由原式可得，且令，则原式即为，因为在上单调递增，所以，所以，则，当且仅当时，即时等号成立.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据所给方程，利用指数、对数的运算性质，得到方程右边为，构造函数得出是解题关键.四､解答题（本题共6小题，共70分.除17题10分外，其余每题12分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步藂）17.已知，，关于x的不等式的解集为（1）求m，n的值；（2）正实数a，b满足，求的最小值．【答案】（1），；（2）9．【解析】【分析】（1）利用不等式解集的端点为方程的根，由韦达定理即求；（2）代入，可得，再利用基本不等式的乘“”法求得最值即可.【详解】（1）根据题意，不等式的解集为，即方程的两根为和n，则有解可得， 正实数a，b满足，即，变形有，则，当且仅当，时，取等号．∴的最小值为9．18.在①不等式的解集为，②不等式的解集为.这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，并解决该问题.问题：设（1）当时，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）选①根据对数函数的性质可得集合，选②根据指数函数的性质可得集合，然后根据补集及交集的定义运算即得；（2）由题可得Ü，然后分，讨论结合条件即得.【小问1详解】选①，由，可得，所以，即，所以；选②，由，可得，所以，即，所以；当时，，所以或，又， 所以；【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以Ü，当时，，解得，满足题意；当时，则或，所以；综上，的取值范围为或.19.已知（1）化简；（2）若=2，求的值.【答案】（1）=（2）2【解析】【分析】（1）利用诱导公式即可化简.（2）利用同角三角函数的基本关系化简并将（1）中的数据代入即可.【详解】解：（1）.（2）由（1）知，【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式以及同角三角函数的基本关系“齐次式”的运算，需熟记公式，属于基础题. 20.已知函数的部分图象如图所示..（1）求f(x)的解析式；（2）将y=f(x)的图象先向右平移个单位，再将图象上的所有点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数为y=g(x),求y=g(x)在上的最大值与最小值.【答案】（1）（2）最小值与最大值分别为【解析】【分析】（1）根据图象求出函数的周期，由，可求出，再由特殊点以及求出，然后由求出，从而得出答案.（2）利用图象的平移伸缩变换求出，再根据三角函数的性质即可求解.【详解】解：（1）观察图象，，.（2）将图象右平移个单位，得到的图象， 再将图象上的所有点横坐标变为原来的倍得到，当，y=g(x)在上的最小值与最大值分别为【点睛】本题考查了由三角函数的图像求解析式以及三角函数的平移伸缩变换、三角函数的性质，属于基础题.21.已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足.(1)求函数f(x)和g(x)的表达式；(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；(3)若方程在上恰有一个实根，求实数m取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性列出，解方程组即可求解.（2）由（1）令利用换元法将不等式转化为，再采用分离参数法转化为，求出的最小值即可求解.（3）根据题意令，将方程转化为在(1,2)上恰有一个实根，根据一元二次方程根的分布即可求解.【详解】解：（1），①.即，②联立①②解得. （2）对恒成立，即对恒成立，令为减函数，，，即恒成立.而上单调递减，，a的取值范围为（3）在恰有一个实根，即在上恰有一个实根，令，在(1,2)上恰有一个实根，当时，得，由可知无解；当时，又则有或解得，综上m的取值范围为【点睛】本题考查了函数的奇偶性求解析式、不等式恒成立求参数的取值范围以及根据方程根的个数求参数的取值范围，考查了一元二次方程根的分布，考查了分类讨论的思想，综合性比较强，属于难题.22.对于函数，，，如果存在实数a，b使得 ，那么称为，的生成函数.（1）设，，，，生成函数.若不等式在上有解，求实数的取值范围；（2）设函数，，是否能够生成一个函数.且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够求函数的解析式，否则说明理由.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意新定义得到的解析式，然后将问题转化为在上有解，利用换元法转化为二次函数求解最值即可；（2）利用待定系数法设，根据，得到对任意恒成立，从而得到，再利用换元法以及对勾函数进行分析求解，即可得到答案．【小问1详解】解：由题意可得，，，，，所以，不等式在上有解，等价于在上有解，令，则，由在上单调递减，所以当时，取得最大值，故．【小问2详解】 解：设，则．由，得，整理得，即，即对任意恒成立，所以．所以．设，令，则，由对勾函数的性质可知在单调递减，上单调递增，∴在单调递增，∴，且当时取到“”．∴，又在区间的最小值为，∴，且，此时，．所以．