2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全真模拟试卷（Word版含答案）

2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学能力测试本试卷共6页，22题。全卷满分150分，考试用时120分钟。祝考试顺利注意事项：1.答题前，请先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。特别说明：经过很久的打磨，本卷的命题人和审定人前后进行了数次审定和删改，最终确定该版本。本卷除个别试题外，均为原创题，试题3、4、7、10、11、22为汇编题，如有不妥，请原创作者联系QQ：3114104207并备注名为“试题争议解决”进行说明，经确认将立即删除有关试题。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。1、已知集合与，则（）。A、B、C、D、2、一个简单几何体的三视图都一样，则其可能是（）。A、圆锥B、正四棱台C、正方体D、圆台3、[2020年北京人大附中高三]记数列的前项和为，则“数列是—14—学科网（北京）股份有限公司 等差数列”是“数列为常数列”的（）。A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4、[2020年新课标全国一卷改编]4名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排1名，则不同的安排方法共有（）种。A、24B、18C、12D、65、在平行四边形中，，，设交于点，则（）。A、8B、7C、6D、56、古希腊学者阿波罗尼斯发现，已知平面上两点、与动点，若始终满足，则点的轨迹是一个圆，这个圆又被称为“阿波罗尼斯圆”，其半径为。中，，，则的面积的最大值为（）。A、B、C、D、7、若点和点分别是双曲线的中心和左焦点，点在其右支上，则的最小值是（）。A、B、C、D、8、已知、、，则（）。A、B、—14—学科网（北京）股份有限公司 C、D、一、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9、设函数，则下列说法中不正确的是（）。A、是关于任意垂直于轴的直线对称B、是关于点中心对称C、是周期函数D、，使得10、[2021年5月华师一附中押题卷]已知复数，则下列说法中正确的有（）。A、的虚部是B、在复平面上对应的点位于第二象限C、D、11、对于四面体，则下列说法中正确的有（）。A、若，则直线、、与底面所成的角相等B、若，，则点在底面内的投影是的内心C、四面体的四个面不可能全是直角三角形D、若四面体的棱长全部为，则其内切球表面积为—14—学科网（北京）股份有限公司 12、数列中，，，其中为前项和，则下列说法中正确的有（）。A、B、C、D、一、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、在的展开式中，项系数是_______________。14、若圆与圆有且只有一条公切线，则实数的值是_______________。15、在三角形中，角、、的对边分别为、、，满足：。以三边为直径向外作半圆，三个半圆上分别取点、、，以三边为轴分别向上翻折、、，使得、、重合，则翻折后得到的三棱锥体积最大为_______________。16、设函数、，则和的图像在上有_______________个交点。四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17、（本小题满分10分）在单位正方体的八个顶点中任选三个，这三个点顺次连接成一个三角形。请回答下列问题：（I）在这个三角形所在平面将该正方体分为两个部分的条件下，这两部分等体积的概率是多少？（II）记这个三角形的面积为，求的分布列与数学期望。18、（本小题满分12分）锐角三角形中，边上的高为，—14—学科网（北京）股份有限公司 长度为，角、、的对边分别为、、，且。请回答下列问题：（I）求值；（II）求的取值范围。19、（本小题满分12分）如图，圆锥顶点为，且侧面积为底面积的两倍，底面半径为，底面圆心为，若底面圆两条直径分别为、，且，设为的中点。请回答下列问题：（I）试在线段上找一点，使得平面；（II）求二面角的平面角的正弦值。20、（本小题满分12分）已知恒正等比数列首项为，且是和的等比中项。请回答下列问题：（I）求前项和与积；（II）出于方便，我们将的结果记为，称为“的阶乘”。令，求数列的前项和。21、（本小题满分12分）在平面直角坐标系中有点、，点是平面内一个动点，直线和直线的斜率之积为。请回答下列问题：（I）求点的轨迹；（II）记点纵坐标的最大值取到的位置为点，当和不重合时，过—14—学科网（北京）股份有限公司 作直线的垂线，垂足为，求下列表达式的取值范围：（i）；（ii）。22、（本小题满分12分）[2021年绵阳市高三第三次诊断考试]已知函数。请回答下列问题：（I）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；（II）当时，求证：。2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学能力测试参考答案—14—学科网（北京）股份有限公司 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。12345678BCBCBCAD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9101112ABBCDADABCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、14、15、16、2四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17、（I）三角形分为以下三种（图见下页）：A：三个顶点位于正方体的同一个表面内B：三个顶点构成等边三角形C：三个顶点中有两个位于某一条棱上，另一个顶点位于与前述棱平行且相对的棱上（1分）任取一个三角形，事件总数为个，A类三角形一共有24个，B类三角形一共8个，C类三角形一共24个（3分）—14—学科网（北京）股份有限公司 （A类三角形）（B类三角形）（C类三角形）三类三角形所在平面中，B类和C类都可以将正方体分为两个部分，其中C类可以将正方体分为体积相等的两部分，故在这个三角形所在平面将该正方体分为两个部分的条件下，这两部分等体积的概率是（4分）（II）A类三角形的面积是，概率是（5分）B类三角形的面积是，概率是（6分）C类三角形的面积是，概率是（7分）故分布列如下：（8分）数学期望（10分）18、（I）根据几何关系，（1分）故（2分）因此，故，由于，故（4分）（II）由于，故（6分）—14—学科网（北京）股份有限公司 因此目标式化为，由正弦定理又化为（7分）考虑该式子分母即可。由，用三角恒等变换，（9分）而，故，（10分）因此（11分）因此（12分）19、（I）点位于如右图位置，处于线段的靠近的三等分点的位置，即（2分）连接并取中点，连接、、、、，线段交于点。由相似关系推出（3分）故，因此，故，由于不在平面内，故平面（4分）另一方面，、分别为线段、的中点，故，由于不在平面内，故平面（5分）另一方面，，于是可以得到平面平面，故平面—14—学科网（北京）股份有限公司 。（6分）（II）由于侧面积是底面积的2倍，设，则，可得（7分）如右图，由于、、两两垂直建立空间直角坐标系，写出相关坐标、、，计算得到、（8分）并设平面的某一个法向量为，由得（9分）可以令，则、，故平面的某一个法向量为（10分）而平面的一个法向量是（11分）因此，故二面角的平面角的正弦为（12分）20、（I）设，故，，，由题，（1分）得到，解得，，（2分）因为该数列是恒正的，故，（3分）前项和（4分）—14—学科网（北京）股份有限公司 前项积（5分）（II）由题，（6分）故，由裂项（10分）故（12分）21、（I）设，则，（1分）则（2分）化简为，或（3分）（II）（i）由题，，而，故考虑的取值范围即可（4分）当和很接近时，接近于零。直线的方程是，设与直线平行且与椭圆相切的直线为（5分）代入，化为，用判别式为零的条件知道，解得（6分）故使得最大的点即与椭圆的切点，该直线到的直线的距离为（6.5分）而，故，因此（7分）（ii），故考虑的取值范围即可（9分）—14—学科网（北京）股份有限公司 并设，则，，故（10分）而，故（11分）由于，所以（12分）22、（I）求导，，由于在上单调递增，故（1分）该不等式即，记，（2分）因此在上单调递增，故（3分）因此（4分）（II）由（I）可知，，并令，故（5分）另一方面，，，所以，使得（6分）在上，，，单调递减；在上，，，单调递增，故（8分）另外，由知道，取对数知道（9分）故（10分）通过基本不等式结合，，即（12分）—14—学科网（北京）股份有限公司 2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学能力测试考点分析题号涉及考点难度系数分值1集合的运算A52三视图A53数列、充分条件与必要条件A54排列与组合A55平面向量A56解三角形C57双曲线B58导数与大小比较D59函数的简单性质A510复数的概念与计算A511立体几何C512数列与放缩法E513二项式定理A514圆与圆的位置关系C515立体几何与基本不等式C516导数与零点个数E5171条件概率的计算A4172分布列与数学期望B6181几何关系A4182解三角形B8191线面平行的证明B6192二面角的求解B6201等比数列A5202裂相求和法C7211曲线与方程A32121椭圆曲线D42122椭圆曲线E5221导数与函数增减性B4222导数证明不等式E8合计：A类题56分；B类题35分；C类题27分；D类题9分；E类题23分。985参考线118.8分；211参考线93.4分。—14—学科网（北京）股份有限公司 —14—学科网（北京）股份有限公司