浙江省杭州学军中学2022-2023学年高二数学上学期期末试题（Word版含答案）

杭州学军中学2022学年第一学期期末考试高二数学试卷一、单选题：（本大题共8小题，每小题6分，共48分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线的准线方程为（）A.B.C.D.2.若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.3.已知空间两不同直线m，n，两不同平面，，下列命题正确的是（）A.若且，则B.若且，则C.若且，则D.若不垂直于，且，则不垂直于4.直线的方程为：，若直线不经过第二象限，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.5.若a，b是异面直线，下列四个命题中正确的是（）A.过不在a，b上任一点P，必可作直线与a，b都平行B.过不在a，b上任一点P，必可作直线与a，b都相交C.过不在a，b上任一点P，必可作直线与a，b都垂直D.过不在a，b上任一点P，必可作平面与a，b都平行。6.已知圆与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p等于（）A.B.C.D.7.已知菱形ABCD边长为1，，对角线AC与BD交于点O，将菱形ABCD沿对角线BD折成平面角为的二面角，若，则折后点О到直线AC距离的最值为（）学科网（北京）股份有限公司 A.最小值为，最大值为B.最小值为，最大值为C.最小值为，最大值为D.最小值为，最大值为8.已知椭圆：内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A，C和B，D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆T的离心率为（）A.B.C.D.二、多选题（每小题6分，全部选对得6分，部分选对得3分，选错得0分，共24分）9.如图，长方体被平面BCFE截成两个几何体，其中E，F分别在和上，且，则以下结论正确的是（）A.B.平面C.几何体为棱台D.几何体为棱柱10.已知曲线：，下列结论正确的是（）A.若，则是椭圆，其焦点在轴上B.若，则是双曲线，其焦点在轴上C.若，，则是两条直线D.若，则是圆11.若，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则（）A.的取值范围是B.能构成空间的一个基底C.“”是“P，A，B，C四点共面”的必要不充分条件D.12.如图，过双曲线C：右支上一点Р作双曲线的切线分别交两渐近线于A，B两点，交x轴于点D，，分别为双曲线的左、右焦点，О为坐标原点，则下列结论正确的是（）学科网（北京）股份有限公司 A.B.C.D.若存在点P，使，且，则双曲线C的离心率三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.以，为端点的线段的垂直平分线方程是___________.14.若圆锥的侧面面积为，底面面积为，则该圆锥的母线长为____________.15.已知是抛物线上的动点，记点到直线：的距离为，则的最小值为____________.16.已知球О是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E在线段BD上，且，过点E作球О的截面，则所得截面圆面积的取值范围是___________.四、解答题（本大题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）等差数列的前项和为，已知，，求（1）数列通项公式；（2）的前项和的最小值.18.（本题满分12分）已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，.（1）求四棱锥的体积；（2）是否存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1?若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由。学科网（北京）股份有限公司 19.（本题满分12分），分别为椭圆：的左、右焦点，B为短轴的一个端点，E是椭圆上的一点，满足，且的周长为.（1）求椭圆C的方程；（2）三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三.角形，是以B为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形，求的面积。20.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，，，，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（1）在直线PA上找一点M，使得直线平面，并求的值；（2）若直线CD到平面PBE的距离为，求平面PBE与平面PBC夹角的正弦值.21.（本题满分12分）已知点，在双曲线：上.（1）求双曲线E的方程；（2）直线与双曲线E交于M，N两个不同的点（异于A，B），过M作x轴的垂线分别交直线AB，直线AN于点，，当时，证明：直线过定点.学科网（北京）股份有限公司 杭州学军中学2022学年第一学期期末考试高二数学参考答案与评分标准一、单选题（每小题6分，共48分）CDCCCBBA二、多选题（每小题6分，全部选对得6分，部分选对得3分，选错得0分，共24分）9.ABD10.BC11.BD12.BCD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.14.215.16.四、解答题（本大题共5小题，共58分）17.（1）由已知得解得所以.（2）.当或6时，有最小值-30.18.（1）∵侧面为正方形，∴，又∵，且，∴平面，又∵，∴平面，取BC中点G，则，∴平面B.∴.（2）以为原点，分别以BA，BC，所在直线建立空间直角坐标系，如图，学科网（北京）股份有限公司 则，，，设，则，，.设与，均垂直的向量为，则取，∴异面直线BF，DE的距离，解得或.∴或.故存在点D在直线上，使得异面直线BF，DF的距离为1，且此时或.19（1）设，由，得.∵点E在椭圆C上，∴，即.①∵的周长为，∴，即.②联立①②解得，，∴.∴椭圆的方程为.（2）不妨设M，N分别在y轴左、右侧，设：，则：.由消去得.∴点的横坐标.以代k得点的横坐标.∴，.∵，∴.学科网（北京）股份有限公司 即.解得，，.的面积.当时，；当时，.20.（1）（方法1）设，∵平面，平面，平面平面，∴.又∵G为AC的中点，∴P为AM的中点，∴.（方法2）在四棱锥中，，异面直线PA与CD所成的角为.即，，又AB、CD为两相交直线，则平面ABCD，取PD中点F，连接EF，又，则，则平面ABCD，又四边形ABCD中，，，，，则，则三直线BE、AD、EF两两互相垂直，以E为原点，分别以ED、EB、EF所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图：设，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，则，学科网（北京）股份有限公司 设，则由直线平面PBE，可得，即，则，解之得，则，又，则（2）由直线CD到平面PBE的距离为，得点C到平面PBE的距离为，又，为平面PBE的一个法向量，则，即，解之得，则，，，设平面的一个法向量为，又，则，即，令，则，，则设平面PBE与平面PBC夹角为，则，又，则.21.（1）由题知，，得，所以双曲线的方程为.（2）由题意知，当轴时，Q与N重合，由可知：P是MQ的中点，显然不符合题意，故的斜率存在，设的方程为，联立，消去得，则，即，且，学科网（北京）股份有限公司 设，，，，方程为，令，得，AN方程为，令得，由，得，即，即，即，将，代入得即，所以，得或，当，此时由，得，符合题意；当，此时直线经过点A，与题意不符，舍去所以的方程为，即，所以过定点.学科网（北京）股份有限公司