广东省东莞市七校2023届高三数学上学期12月联考试卷（Word版含解析）

东莞市七校2022-2023学年高三上学期12月联考数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1.设集合，则AB=（）A.B.C.D.2.已知复数，为的共轭复数，则（）A.B.2C.D.3.已知，则（）A.B.C.D.4.在中，已知为上一点，若，则（    ）A．B．C．D．5.2022年11月，第五届中国国际进口博览会在上海举行，组委员会安排5名工作人员去A，B，C，D这4个场馆，其中A场馆安排2人，其余场馆各1人，则不同的安排方法种数为（    ）A．240B．120C．60D．486.若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（    ）A．2B．C．D． 7.已知，，，则（）A.B.C.D.8.若函数图象在点处的切线方程为，则的最小值为（）A.B.C.D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9.已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ）A．是等差数列B．C．公差D．10.分别是正方体的棱的中点，则（）A.平面B.C.直线与直线相交D.与平面所成的角大小是11.已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，则（    ）A．在上单调递增B．是的一个对称中心C．是奇函数D．在区间上的值域为12.对于函数，下列说法正确的是（）A.在上单调递增，在上单调递减B.若方程有个不等的实根，则C.当时，D.设，若对，，使得成立，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上．13.已知，则_____.14.已知一个球的表面积在数值上是它的体积的倍，则这个球的半径是_______. 15.已知函数是偶函数，则________．16.古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知，为圆的内接四边形的两条对角线，且，若，则实数的最小值为．四、解答题:本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列的前项和为，且.（1）证明：数列为等比数列.（2）若，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）在“双减”政策背景之下，某校就推进学校、家庭、社会体育教育的“一体化”，实现“教会、勤练、常赛”的核心任务．学校组织人员对在校学生“是否喜爱运动”做了一次随机调查．共随机调查了18名男生和12名女生，调查发现，男、女生中分别有12人和6人喜爱运动，其余不喜爱．喜欢运动不喜欢运动总计男女总计（1）根据以上数据完成以下列联表：根据小概率值的独立性检验，能否据此推断性别与喜爱运动有关？（2）从被调查的女生中抽取3人，若其中喜爱运动的人数为，求的分布列及数学期望．0.400.250.100.010 0.7081.3232.7066.635附参考公式及参考数据：，其中．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，，且，是的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值.20.（本小题满分12分）在中，内角A，B，C所对的边分别为，且．求：(1)A；(2)的取值范围．21.（本小题满分12分）已知点P（2，）为椭圆C：）上一点，A，B分别为C的左、右顶点，且△PAB的面积为5．（1）求C的标准方程；（2）过点Q（1，0）的直线l与C相交于点G，H（点G在x轴上方），AG，BH与y轴分别交于点M，N，记，分别为△AOM，△AON（点O为坐标原点）的面积，证明为定值． 22.（本小题满分12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，函数存在两个零点，求证：. 东莞市七校2022-2023学年高三上学期12月联考数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案DCBACDBD1.因为集合，所以.故选：D2.由题：，，，所以.3.解析：，故选B4.因为，所以.5.分为两步，第一步：安排2人去A场馆有种结果；第二步：安排其余3人到剩余3个场馆，有种结果，所以不同的安排方法种数为.6.双曲线：的一条渐近线不妨为：，圆的圆心，半径为：2，双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为，可得圆心到直线的距离为：，所以，，，又，即.故选：D．7.依题意，，显然函数在上单调递增，而，即，又 在R上单调递增，于是得，即，所以有.故选：B8.由求导得：，于是得，函数图象在点处的切线方程为，整理得：，从而得，，令，则，当时，，当时，，于是得在上单调递减，在上单调递增，则，所以的最小值为.故选：D二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.9.AB10.ABD11.AB12.BD9.当时，，当时，，符合，故，所以，，所以数列是等差数列，首项为，公差，A正确；，B正确；因为公差，所以数列是递减数列，所以，CD错误；10.对A，因为正方体中且，故四边形为平行四边形，故.又由中位线性质可得，且平面，平面，故平面.故平面，故A正确；对B，由A同理可得，，故成立，故B正确；对C，易得所在的平面为，显然不在平面内，故直线与直线异面，故C错误；对D，由B，与平面所成的角即与平面所成的角，即，易得为，故D正确；故选：ABD11.因为，所以 ，因为函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，，，所以，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到，即，所以为偶函数，故C错误；对于A：当时，因为在上单调递减，所以在上单调递增，故A正确；对于B：，故是的一个对称中心，故B正确；对于D：因为，所以，所以，所以，故D错误；故选：AB12.函数的定义域为，，当或时，，当时，，在，上都单调递减，在上单调递增，A不正确；当时，的图象在x轴上方，且在时，，在上的图象在x轴下方，显然是偶函数，在方程中，或时，方程有两个不等实根，时，方程无实根，时，方程有个不等的实根，B正确；因，则有，即，于是得，C不正确；当时，的值域为，当时，的值域为，因对，，使得成立，从而得，即得，D正确.故选：BD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上．13.：14.；15.；16.13.解析：由的展开式的通项为，令，得，所以；方法二，令得 14.设球的半径为，则根据球的表面积公式和体积公式，可得，，化简得.15.由题意知：是偶函数，则，即：,即：即：，解得：.故答案为：.16.根据圆内接四边形的性质可知;,所以，即，在中，,故，由题意可知：,则，所以，故，当且仅当时等号取得，又，所以，则，则实数的最小值为，故答案为：四、解答题:本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.17.（本小题满分10分）解：（1）证明：因为，所以当时，，可得；……………1分当时，由可得，…………………………………………………2分所以，所以.……………………………………………………4分 是首项为，公比为的等比数列.…………………………………………………5分（2）由（1）知，……………………………………………………………7分所以，…………………………………………………………………8分…………10分18.（本小题满分12分）解：由题得喜爱运动不喜爱运动总计男12618女6612总计181230………………………2分假设是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：………………………………………………5分因此，没有充分的把握判断喜爱运动与性别有关.…………………………………………………6分（2）喜爱运动的人数为的取值分别为：0，1，2，3，…………………………………………7分则有：；；；.…………………………………………10分 所以喜爱运动的人数为的分布列为：0123………………………………………11分故数学期望…………………………………12分19.（本小题满分12分）证明：（1）设与交于，连接．因为为正方形的对角线，所以为中点，且，因为是的中点，所以，因为，所以…………………………2分因为平面底面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以……………………………………4分因为平面，，所以平面；…………………………………5分（2）因为，为的中点，所以因为平面底面，平面平面，所以平面，……………6分因为，所以，以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为4，则，故则，，，，， 所以，……………………………………………………………8分设平面的一个法向量，因为，所以，令，则，所以，………………9分取平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，，…………………………………………………………11分所以，所以平面与平面夹角的正弦值为.………………………………………………12分19.（本小题满分12分）解：（1）因为，所以,…………………………………………………………………………2分因为，，…………………………………………4分因为.……………………………………………………………………6分（2）由正弦定理，………………………………………8分…………………………………………………………9分 ，………………………………………………………11分因为，所以，所以，所以，所以的取值范围是.………………………………………12分21.（本小题满分12分）解：（1）因为△PAB面积为5，点P（2，）为椭圆C：上一点，所以有；…………………………………………………4分（2）由题意可知直线l的斜率不为零，故设方程为，……………………………………5分与椭圆方程联立为：，………………………………6分设，因为，所以，，………………………………………7分直线AG的方程为：，令，得，即，同理可得：，………………………………………………………………………………9分 ，…………………………………………10分因为，所以有，于是有，因此为定值.…………12分解法二：当直线的斜率不存在时，方程为，此时，，直线AG的方程为：，令得，直线BH的方程为：，令得，…………………………………………………………………………7分当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，且，，由方程组得：，…………………………………………………………………8分直线AG的方程为：，令得直线BH的方程为：，令得…………………………………… 9分…………………………10分又，即，即………………11分，因此为定值.…………………12分22.（本小题满分12分）解（1）由题设，，………………………………1分①当，即时，，在R上单调递增；……………………………………2分②当，即时，令，得当，，单调递减；当，，单调递增.…………………………………………4分综上，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.……………………………………………………………………………5分（2）当时，，又，得：，∴两式相减得，又，可得……………6分 法一：要证，只需证，两边同除以得：，令，故只需证即可.令，，……………………………………………9分令，则，∴当时，，故在上单调递减，即，∴在上单调递增，故，故原命题得证.………………………………12分法二：令，，，即，两式相减得，要证，即只需证，即证，即，即，令，只需证即可.令，则当时，，故在上单调递增，∴，故原命题得证，原不等式成立.………………………………………………12分